Parrilla (criptología)

El método de la parrilla ( en polaco : metoda rusztu ), ^{[ 1 ]} en criptología , fue un método utilizado principalmente al principio, antes de la llegada del ciclómetro , por los matemáticos-criptólogos de la Oficina de Cifrado Polaca para descifrar los cifrados de la máquina Enigma alemana . ^[²^] La máquina de cifrado de rotor Enigma cambia los caracteres del texto plano en texto cifrado utilizando una permutación diferente para cada carácter, y así implementa un cifrado de sustitución polialfabético .

Fondo

La marina alemana comenzó a usar máquinas Enigma en 1926; se llamaba Funkschlüssel C ("Cifrado de radio C"). ^{[ 3 ]} Para el 15 de julio de 1928, ^{[ 4 ]} el Ejército alemán ( Reichswehr ) había introducido su propia versión de la Enigma: la Enigma G ; una Enigma I revisada (con placa de conexiones ) apareció en junio de 1930. ^{[ 5 ]} La Enigma I utilizada por el ejército alemán en la década de 1930 era una máquina de 3 rotores. Inicialmente, solo había tres rotores etiquetados como I , II y III , pero podían disponerse en cualquier orden al colocarlos en la máquina. El criptólogo polaco Marian Rejewski identificó las permutaciones de los rotores como $L$ , $M$ y $N$ ; el cifrado producido por los rotores se alteraba a medida que se cifraba cada carácter. La permutación más a la derecha ( $N$ ) cambiaba con cada carácter. Además, había una placa de conexiones que realizaba un cifrado adicional.

El número de posibles configuraciones diferentes de cableado del rotor es:

26^{3}=17,536

El número de posibles configuraciones diferentes de cableado del reflector es: ^{[ 6 ]}

{\frac {26!}{2^{13}\,13!}}=7,905,853,580,625

Una forma quizás más intuitiva de llegar a esta cifra es considerar que 1 letra puede conectarse a cualquiera de las 25. Eso deja 24 letras por conectar. La siguiente letra elegida puede conectarse a cualquiera de las 23. Y así sucesivamente.

$25*23*21*19...*3*1=7,905,853,580,625$

El número de posibles cableados diferentes del panel de enchufes (para seis cables) es: ^{[ 7 ]}

{\frac {26!}{2^{6}\,6!\,14!}}=100,391,791,500

Para cifrar o descifrar, el operador realizó los siguientes ajustes de clave de máquina: ^{[ 8 ]}

el orden del rotor ( Walzenlage )
los ajustes del anillo ( Ringstellung )
las conexiones del cuadro eléctrico ( Steckerverbindung )
una posición inicial del rotor ( Grundstellung )

A principios de la década de 1930, los alemanes distribuían mensualmente una lista secreta con todos los ajustes diarios de la máquina. Sabían que sería una insensatez cifrar el tráfico diario con la misma clave, por lo que cada mensaje tenía su propia clave. Esta clave correspondía a la posición inicial del rotor elegida por el remitente (por ejemplo, YEK). La clave debía transmitirse al operador receptor, por lo que los alemanes decidieron cifrarla utilizando el ajuste de tierra diario preestablecido ( Grundstellung ). El receptor utilizaba los ajustes diarios de la máquina para todos los mensajes. Ajustaba la posición inicial del rotor de la Enigma al ajuste de tierra y descifraba la clave. A continuación, ajustaba la posición inicial del rotor a la clave y descifraba el cuerpo del mensaje.

La máquina Enigma se utilizaba con comunicaciones por radio, por lo que las letras a veces se corrompían durante la transmisión o la recepción. Si el destinatario no tenía la clave de mensaje correcta, no podía descifrar el mensaje. Los alemanes decidieron enviar la clave de mensaje de tres letras dos veces para evitar errores de transmisión. En lugar de cifrar la clave de mensaje "YEK" una vez y enviar la clave cifrada dos veces, los alemanes duplicaron la clave de mensaje a "YEKYEK" ("clave duplicada"), cifraron la clave duplicada con la configuración de tierra y enviaron la clave duplicada cifrada. El destinatario podía entonces reconocer una clave de mensaje ilegible y aun así descifrar el mensaje. Por ejemplo, si el destinatario recibía y descifraba la clave duplicada como "YEKYEN", podía probar ambas claves de mensaje, "YEK" y "YEN"; una produciría el mensaje deseado y la otra, un galimatías.

La clave doble encriptada fue un grave error criptográfico, ya que permitía a los criptoanalistas conocer dos cifrados de la misma letra, separados por tres posiciones, para cada una de las tres letras. Los criptógrafos polacos explotaron este error de diversas maneras. Marian Rejewski utilizó la clave doble y algunas claves diarias conocidas, obtenidas por un espía, para determinar el cableado de los tres rotores y el reflector. Además, los codificadores a menudo no elegían claves aleatorias seguras, sino claves débiles como "AAA", "ABC" y "SSS". Posteriormente, los polacos utilizaron las claves débiles dobles para encontrar las claves diarias desconocidas. El método de la rejilla fue una de las primeras explotaciones de la clave doble para recuperar parte de la configuración diaria. El ciclómetro y la bomba criptológica fueron explotaciones posteriores de la clave doble.

Mensaje de ejemplo

La máquina Enigma era una máquina de rotor electromecánica con un codificador que constaba (de derecha a izquierda) de un tambor de entrada, tres rotores y un reflector. Estuvo disponible comercialmente desde principios de la década de 1920 y fue modificada para su uso por el ejército alemán, que la adoptó más adelante en la década.

Frode Weierud proporciona el procedimiento, los ajustes secretos y los resultados que se utilizaron en un manual técnico alemán de 1930. ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

Configuración diaria (clave secreta compartida): Orden de las ruedas: II I III Ringstellung : 24 13 22 (XMV) Reflector: A Panel de conexiones: AM, FI, NV, PS, TU, WZ Grundstellung: 06 15 12 (FOL) Clave de mensaje elegida por el operador: ABL Cifrado a partir de FOL: PKPJXI Mensaje a enviar y los grupos resultantes de texto plano de 5 letras: Feindliche Infanteriekolonne beobachtet. Anfang Südausgang Bärwalde. Ende 3 km ostwärts Neustadt. FEIND LIQEI NFANT ERIEK OLONN EBEOB AQTET XANFA NGSUE DAUSG ANGBA ERWAL DEXEN DEDRE IKMOS TWAER TSNEU STADT Mensaje resultante: 1035 – 90 – 341 – PKPJX IGCDS EAHUG WTQGR KVLFG XUCAL XVYMI GMMNM FDXTG NVHVR MMEVO UYFZS LRHDR RXFJW CFHUH MUNZE FRDIS IKBGP MYVXU Z

La primera línea del mensaje no está cifrada. El "1035" es la hora, el "90" es el número de caracteres cifrados con la clave del mensaje y el "341" es un indicador del sistema que le indica al destinatario cómo se cifró el mensaje (es decir, usando Enigma con una clave diaria específica). Las primeras seis letras del cuerpo ("PKPJXI") son la clave duplicada ("ABLABL") cifrada usando la configuración de clave diaria y comenzando el cifrado en la configuración básica "FOL". El destinatario descifraría las primeras seis letras para recuperar la clave del mensaje ("ABL"); luego configuraría los rotores de la máquina en "ABL" y descifraría los 90 caracteres restantes. Nótese que Enigma no tiene números, puntuación ni diéresis . Los números se escribían con letras. La mayoría de los espacios se ignoraban; se usaba una "X" para el punto. Las diéresis usaban su ortografía alternativa con una "e" al final. Se usaban algunas abreviaturas: se usaba una "Q" para "CH".

Cuando Rejewski inició su ataque en 1932, le pareció obvio que las primeras seis letras eran la clave doble cifrada. ^{[ 11 ]}

Cifrado de clave

La configuración diaria de la clave y la configuración base permutarán los caracteres de la clave del mensaje de diferentes maneras. Esto se puede demostrar cifrando seis letras iguales para las 26 letras:

AAAAAA -> PUUJJN BBBBBB -> TKYWXV CCCCCC -> KZMVVY DDDDDD -> XMSRQK EEEEEE -> RYZOLZ FFFFFF -> ZXNSTU GGGGGG -> QRQUNT HHHHHH -> SSWYYS IIIIII -> WNOZPL JJJJJJ -> MQVAAX KKKKKK -> CBTTSD LLLLLL -> OWPQEI MMMMMM -> JDCXUO NNNNNN -> YIFPGA OOOOOO -> LPIEZM PPPPPP -> AOLNIW QQQQQQ -> GJGLDR RRRRRR -> EGXDWQ SSSSSS -> HHDFKH TTTTTT -> BVKKFG UUUUUU -> VAAGMF VVVVVV -> UTJCCB WWWWWW -> ILHBRP XXXXXX -> DFRMBJ AAAAAA -> NEBHHC ZZZZZZ -> FCEIOE

A partir de esta información, se pueden hallar las permutaciones para cada una de las seis claves de mensaje. Etiquete cada permutación como ABCDEF . Estas permutaciones son secretas: el enemigo no debe conocerlas.

{\begin{aligned}A=&{\binom {\texttt {abcdefghijklmnopqrstuvwxyz}}{\texttt {ptkxrzqswmcojylagehbvuidnf}}}&={\texttt {(ap)(bt)(ck)(dx)(er)(fz)(gq)(hs)(iw)(jm)(lo)(ny)(uv)}}\\B=&{\binom {\texttt {abcdefghijklmnopqrstuvwxyz}}{\texttt {ukzmyxrsnqbwdipojghvatlfec}}}&={\texttt {(au)(bk)(cz)(dm)(ey)(fx)(gr)(hs)(in)(jq)(lw)(op)(tv)}}\\C=&{\binom {\texttt {abcdefghijklmnopqrstuvwxyz}}{\texttt {uymsznqwovtpcfilgxdkajhrbe}}}&={\texttt {(au)(by)(cm)(ds)(ez)(fn)(gq)(hw)(io)(jv)(kt)(lp)(rx)}}\\D=&{\binom {\texttt {abcdefghijklmnopqrstuvwxyz}}{\texttt {jwvrosuyzatqxpenldfkgcbmhi}}}&={\texttt {(aj)(bw)(cv)(dr)(eo)(fs)(gu)(hy)(iz)(kt)(lq)(mx)(np)}}\\E=&{\binom {\texttt {abcdefghijklmnopqrstuvwxyz}}{\texttt {jxvqltnypaseugzidwkfmcrbho}}}&={\texttt {(aj)(bx)(cv)(dq)(el)(ft)(gn)(hy)(ip)(ks)(mu)(oz)(rw)}}\\F=&{\binom {\texttt {abcdefghijklmnopqrstuvwxyz}}{\texttt {nvykzutslxdioamwrqhgfbpjce}}}&={\texttt {(an)(bv)(cy)(dk)(ez)(fu)(gt)(hs)(il)(jx)(mo)(pw)(qr)}}\\\end{aligned}}

Nótese que las permutaciones son productos de 13 transposiciones disjuntas . Para la permutación A , no solo se transforma "A" en "P", sino que también se transforma "P" en "A". Esto permite que la máquina encripta y descifre mensajes.

Augustin-Louis Cauchy introdujo la notación de dos líneas en 1815 y la notación cíclica en 1844. ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}

La característica de Rejewski

Rejewski hizo un descubrimiento increíble. Sin conocer la configuración del panel de conexiones, la posición del rotor, la configuración del anillo ni la conexión a tierra, pudo descifrar todas las claves de mensajes diarios. Solo necesitaba suficientes mensajes y algunos operadores de código que utilizaran claves de mensajes no aleatorias.

La clave del mensaje tiene tres caracteres de longitud, por lo que la clave duplicada tiene seis caracteres de longitud. Rejewski etiquetó las permutaciones para los caracteres sucesivos de la clave del mensaje como ABCDEF . No sabía cuáles eran esas permutaciones, pero sí sabía que las permutaciones A y D cifraban la misma letra de la clave del mensaje, que B y E cifraban la misma letra, y que C y F cifraban la misma letra. Si $p i$ son las letras (desconocidas) del texto plano de la clave del mensaje y $c i$ son las letras (conocidas) correspondientes del texto cifrado, entonces

{\begin{aligned}p_{1}&=c_{1}A^{-1}&=p_{4}&=c_{4}D^{-1}\\p_{2}&=c_{2}B^{-1}& =p_{5}&=c_{5}E^{-1}\\p_{3}&=c_{3}C^{-1}&=p_{6}&=c_{6}F^{-1}\\\end{alineado}}

Las ecuaciones se pueden multiplicar por D , E y F respectivamente para simplificar los segundos miembros:

{\begin{aligned}p_{1}D&=c_{1}A^{-1}D&=p_{4}D&=c_{4}\\p_{2}E&=c_{2}B^{-1}E&=p_{5}E&=c_{5}\\p_{3}F&=c_{3}C^{-1}F&=p_{6}F&=c_{6}\\\end{aligned}}

Los valores del texto plano son desconocidos, por lo que esos términos simplemente se eliminan para dejar:

{\begin{aligned}c_{1}A^{-1}D&=c_{4}\\c_{2}B^{-1}E&=c_{5}\\c_{3}C^{-1}F&=c_{6}\\\end{aligned}}

Las ecuaciones anteriores describen un camino a través de las permutaciones. Si $c 1$ pasa por la inversa de $A$ , entonces produce $p 1.$ Si ese carácter pasa por $D$ , entonces el resultado es $c 4$ .

Rejewski también sabía que las permutaciones de Enigma eran autoinversas: el cifrado y el descifrado de Enigma eran idénticos. Esto significa que $AA = I,$ donde $I$ es la permutación identidad. En consecuencia, $A = A - 1.$ Por lo tanto:

{\begin{aligned}c_{1}AD&=c_{4}\\c_{2}BE&=c_{5}\\c_{3}CF&=c_{6}\\\end{aligned}}

Las ecuaciones anteriores muestran la relación entre los caracteres clave duplicados. Aunque Rejewski desconocía las permutaciones individuales ABCDEF , un único mensaje le indicó cómo se permutaban caracteres específicos mediante las permutaciones compuestas AD , BE y CF.

A partir de muchos mensajes, Rejewski pudo determinar completamente las permutaciones compuestas. En la práctica, se necesitaron unos 60 mensajes para determinar las permutaciones. ^{[ 15 ]}

Rejewski registró las tres permutaciones con una notación cíclica que denominó característica. Rejewski (1981 , p. 217) da un ejemplo:

{\begin{aligned}AD&={\texttt {(dvpfkxgzyo)(eijmunglht)(bc)(rw)(a)(s)}}\\BE&={\texttt {(blfqveoum)(hjpswizrn)(axt)(cgy)(d)(k)}}\\CF&={\texttt {(abviktjgfcqny)(duzrehlxwpsmo)}}\\\end{aligned}}

En esta notación, el primer ciclo de permutación $AD$ asignaría d a v, v a p, p a f, ..., y a o, y o volvería a d.

Marks y Weierud dan un ejemplo de Alan Turing que muestra que estos ciclos pueden completarse cuando alguna información es incompleta. ^{[ 16 ]}

Además, las permutaciones de Enigma eran simples transposiciones, lo que significaba que cada permutación ABCDEF solo transponía pares de caracteres. Estos pares de caracteres debían provenir de ciclos diferentes de la misma longitud. Además, cualquier emparejamiento entre dos ciclos determinaba todos los demás pares en esos ciclos. En consecuencia, las permutaciones A y D debían transponer a y s porque (a) y (s) son los únicos ciclos de longitud uno y solo hay una forma de emparejarlos. Hay dos formas de emparejar (bc) y (rw) porque b debe emparejarse con r o w. De manera similar, hay diez formas de emparejar los ciclos restantes de diez caracteres. En otras palabras, Rejewski ahora sabía que solo había veinte posibilidades para las permutaciones ^A y D. De manera similar, había 27 candidatos para B y E , y 13 candidatos para C y F. ^[¹⁷ ]

Claves débiles

En este punto, los polacos explotarían las debilidades en la selección de claves de mensajes por parte de los codificadores para determinar cuáles eran las correctas. Si los polacos lograban adivinar correctamente la clave de un mensaje en particular, esa suposición serviría como base para dos ciclos en cada una de las tres características.

Los polacos interceptaron muchos mensajes; necesitarían unos 60 mensajes con la misma clave diaria para determinar la característica, pero podrían tener muchos más. Desde el principio, Rejewski identificó los seis caracteres que componían la clave del mensaje. ^{[ 18 ]} Si los codificadores elegían claves de mensaje aleatorias, no cabría esperar mucha correlación en los seis caracteres cifrados. Sin embargo, algunos codificadores eran negligentes. ¿Qué pasaría si, de cien mensajes, hubiera cinco mensajes de cinco estaciones diferentes (es decir, cinco codificadores diferentes) que usaran la misma clave de mensaje "PUUJJN"? ^{[ 19 ]} Que todos llegaran a la misma clave sugiere que usaban una clave muy simple o muy común. Los polacos llevaban un registro de las diferentes estaciones y de cómo estas elegían las claves de mensaje. Al principio, los codificadores solían usar claves simples como "AAA" o "BBB". ^{[ 20 ]}

El resultado final fue que, sin conocer la configuración del tablero de conexiones de la Enigma, las posiciones del rotor ni la configuración del anillo, Rejewski determinó cada una de las permutaciones ABCDEF y, por lo tanto, todas las claves de mensajes del día. ^{[ 21 ]}^{[ 22 ]}

Inicialmente, Rejewski utilizó el conocimiento de las permutaciones ABCDEF (y un manual obtenido de un espía francés) para determinar el cableado del rotor. Tras aprender dicho cableado, los polacos utilizaron las permutaciones para determinar el orden del rotor, las conexiones del panel de conexiones y la configuración de los anillos mediante pasos adicionales del método de la rejilla.

Siguiendo con el ejemplo de 1930

Utilizando la clave diaria del manual técnico de 1930 mencionado anteriormente, Rejewski pudo encontrar (con suficientes mensajes) las siguientes características:

{\begin{aligned}AD&={\texttt {(pjxroquctwzsy)(kvgledmanhfib)}}\\BE&={\texttt {(kxtcoigweh)(zvfbsylrnp)(ujd)(mqa)}}\\CF&={\texttt {(yvxqtdhpim)(skgrjbcolw)(un)(fa)(e)(z)}}\\\end{aligned}}

Aunque teóricamente existen 7 billones de posibilidades para cada una de las permutaciones ABCDEF , las características anteriores han reducido las permutaciones A y D a solo 13 posibilidades, B y E a solo 30 posibilidades, y C y F a solo 20 posibilidades. La característica para CF tiene dos ciclos unitarios, (e) y (z) . ^[²³^] Estos ciclos unitarios deben emparejarse en las permutaciones individuales, por lo que la característica para CF implica que "E" y "Z" se intercambian tanto en las permutaciones C como F.

{\begin{aligned}C&={\texttt {(ez)...}}\\F&={\texttt {(ez)...}}\\\end{aligned}}

El emparejamiento de "E" y "Z" se puede comprobar en las permutaciones originales (secretas) dadas anteriormente.

Rejewski sabría ahora que los indicadores con el patrón "..E..E" provenían de una clave de mensaje "..Z"; de manera similar, un indicador de "..Z..Z" provenía de una clave de mensaje "..E". En el tráfico del día, podría encontrar indicadores como "PKZJXZ" o "RYZOLZ" ; ¿podría uno de estos indicadores ser la clave de mensaje común (perezosa) "EEE"? La característica limita el número de permutaciones posibles a un número pequeño, lo que permite algunas comprobaciones sencillas. "PKZJXZ" no puede ser "EEE" porque requiere que "K" y "E" se intercambien en B , pero tanto "K" como "E" forman parte del mismo ciclo en BE : (kxtcoigweh) . ^[²⁴^] Las letras que se intercambian deben provenir de ciclos distintos de la misma longitud. La clave repetitiva también podría confirmarse porque podría revelar otras claves repetitivas. ^[²⁴^]

El indicador "RYZOLZ" es un buen candidato para la clave de mensaje "EEE", y determinaría inmediatamente ambas permutaciones A y D. Por ejemplo, en AD , la clave de mensaje supuesta "EEE" requiere que "E" y "R" se intercambien en A y que "E" y "O" se intercambien en D.

{\begin{aligned}A&={\texttt {(er)...}}\\D&={\texttt {(eo)...}}\\\end{aligned}}

Si "E" se intercambia con "R" en A (nótese que un carácter proviene del primer ciclo en AD y el otro carácter proviene del segundo ciclo), entonces la letra que sigue a "E" (es decir, "D") se intercambiará con la letra que precede a "R" (es decir, "X").

{\begin{aligned}A&={\texttt {(er)(dx)...}}\\D&={\texttt {(eo)...}}\\\end{aligned}}

Eso se puede continuar para obtener todos los caracteres para ambas permutaciones.

{\begin{aligned}A&={\texttt {(er)(dx)(jm)(ap)(ny)(hs)(fz)(iw)(bt)(ck)(uv)(gq)(lo)}}\\D&={\texttt {(eo)(lq)(gu)(cv)(kt)(bw)(iz)(fs)(hy)(np)(ag)(mx)(dr)}}\\\end{aligned}}

Esta notación característica es equivalente a las expresiones dadas para las permutaciones A y D de 1930 dadas anteriormente, ordenando los ciclos de manera que la letra más antigua esté primero.

{\begin{aligned}A&={\texttt {(ap)(bt)(ck)(dx)(er)(fz)(gq)(hs)(iw)(jm)(lo)(ny)(uv)}}\\D&={\texttt {(aj)(bw)(cv)(dr)(eo)(fs)(gu)(hy)(iz)(kt)(lq)(mx)(np)}}\\\end{aligned}}

La clave de mensaje adivinada de "EEE" que produce el indicador "RYZOLZ" también determinaría el emparejamiento de los ciclos de 10 de longitud en la permutación BE .

{\begin{aligned}B&={\texttt {(ey)(hs)(kb)(xf)(tv)(cz)(op)(in)(gr)(wl)...}}\\E&={\texttt {(le)(rw)(ng)(pi)(zo)(vc)(ft)(bx)(sk)(yh)...}}\\\end{aligned}}

Eso determina la mayor parte de B y E , y solo quedarían tres variaciones posibles para el par (ujd) y (mqa) . Aún quedan 20 variaciones posibles para C y F. En este punto, los polacos podrían descifrar todas las primeras y cuartas letras de las claves diarias; también podrían descifrar 20 de las 26 segundas y quintas letras. La creencia de los polacos en estas permutaciones podría comprobarse examinando otras claves y viendo si eran claves típicas utilizadas por los criptoanalistas.

Con esa información, podrían buscar y encontrar otras posibles claves de mensaje débiles que determinarían el resto de las permutaciones ABCDEF . Por ejemplo, si los polacos tuvieran un indicador "TKYWXV", podrían descifrarlo como "BB.BB."; al comprobar los ciclos de CF , se revelaría que el indicador es consistente con la clave de mensaje "BBB".

El modelo de Rejewski

Rejewski modeló la máquina como una permutación formada por permutaciones del panel de conexiones ( $S$ ), el cableado del teclado/lámparas a los rotores ( $H$ ), los tres rotores ( $LMN$ ) y el reflector ( $R$ ). La permutación para cada posición de la llave duplicada era diferente, pero estaban relacionadas por una permutación $P$ que representaba un solo paso de un rotor ( $P$ es conocida). Rejewski supuso que los rotores izquierdo y central no se movían mientras se cifraba la llave duplicada. Las seis letras de la llave duplicada, por consiguiente, se muestran en las permutaciones ABCDEF: ^{[ 25 ]}

{\begin{aligned}A&=SH(P^{1}NP^{-1})LMRM^{-1}L^{-1}(P^{1}N^{-1}P^{-1})H^{-1}S^{-1}\\B&=SH(P^{2}NP^{-2})LMRM^{-1}L^{-1}(P^{2}N^{-1}P^{-2})H^{-1}S^{-1}\\C&=SH(P^{3}NP^{-3})LMRM^{-1}L^{-1}(P^{3}N^{-1}P^{-3})H^{-1}S^{-1}\\D&=SH(P^{4}NP^{-4})LMRM^{-1}L^{-1}(P^{4}N^{-1}P^{-4})H^{-1}S^{-1}\\E&=SH(P^{5}NP^{-5})LMRM^{-1}L^{-1}(P^{5}N^{-1}P^{-5})H^{-1}S^{-1}\\F&=SH(P^{6}NP^{-6})LMRM^{-1}L^{-1}(P^{6}N^{-1}P^{-6})H^{-1}S^{-1}\\\end{aligned}}

Rejewski simplificó estas ecuaciones creando $Q$ como un reflector compuesto formado por el reflector real y dos rotores situados más a la izquierda:

Q=LMRM^{-1}L^{-1}

La sustitución produce:

{\begin{aligned}A&=SH(P^{1}NP^{-1})Q(P^{1}N^{-1}P^{-1})H^{-1}S^{-1}\\B&=SH(P^{2}NP^{-2})Q(P^{2}N^{-1}P^{-2})H^{-1}S^{-1}\\C&=SH(P^{3}NP^{-3})Q(P^{3}N^{-1}P^{-3})H^{-1}S^{-1}\\D&=SH(P^{4}NP^{-4})Q(P^{4}N^{-1}P^{-4})H^{-1}S^{-1}\\E&=SH(P^{5}NP^{-5})Q(P^{5}N^{-1}P^{-5})H^{-1}S^{-1}\\F&=SH(P^{6}NP^{-6})Q(P^{6}N^{-1}P^{-6})H^{-1}S^{-1}\\\end{aligned}}

El resultado son seis ecuaciones con cuatro incógnitas ( SHNQ ). ^{[ 26 ]} Rejewski tenía una máquina Enigma comercial, e inicialmente pensó que $H$ sería la misma. En otras palabras, Rejewski supuso que

H={\binom {qwertzuioasdfghjkpyxcvbnml}{abcdefghijklmnopqrstuvwxyz}}

Más tarde, Rejewski se dio cuenta de que su suposición era errónea. Entonces Rejewski adivinó (correctamente) que $H$ era simplemente la permutación identidad:

H={\binom {abcdefghijklmnopqrstuvwxyz}{abcdefghijklmnopqrstuvwxyz}}

Eso aún dejaba tres incógnitas. Rejewski comenta:

Así pues, tenía un sistema de seis ecuaciones con tres incógnitas: S, N y Q. Mientras me devanaba los sesos pensando en cómo resolver ese sistema de ecuaciones, el 9 de diciembre de 1932, de forma totalmente inesperada y en el momento más oportuno, me entregaron una fotocopia de dos tablas de claves diarias para septiembre y octubre de 1932. ^{[ 26 ]}

Contar con las claves diarias significaba que ahora se conocía $S.$ Las permutaciones conocidas se desplazaron al lado izquierdo de las ecuaciones mediante premultiplicación y postmultiplicación.

{\begin{aligned}H^{-1}S^{-1}ASH&=(P^{1}NP^{-1})Q(P^{1}N^{-1}P^{-1})\\H^{-1}S^{-1}BSH&=(P^{2}NP^{-2})Q(P^{2}N^{-1}P^{-2})\\H^{-1}S^{-1}CSH&=(P^{3}NP^{-3})Q(P^{3}N^{-1}P^{-3})\\H^{-1}S^{-1}DSH&=(P^{4}NP^{-4})Q(P^{4}N^{-1}P^{-4})\\H^{-1}S^{-1}ESH&=(P^{5}NP^{-5})Q(P^{5}N^{-1}P^{-5})\\H^{-1}S^{-1}FSH&=(P^{6}NP^{-6})Q(P^{6}N^{-1}P^{-6})\\\end{aligned}}

$Las permutaciones P$ más a la izquierda y más a la derecha del lado derecho (que también eran conocidas) se movieron a la izquierda; a los resultados se les asignaron los nombres de variables UVWXYZ :

{\begin{aligned}U&=P^{-1}H^{-1}S^{-1}ASHP^{1}&=(NP^{-1})Q(P^{1}N^{-1})\\V&=P^{-2}H^{-1}S^{-1}BSHP^{2}&=(NP^{-2})Q(P^{2}N^{-1})\\W&=P^{-3}H^{-1}S^{-1}CSHP^{3}&=(NP^{-3})Q(P^{3}N^{-1})\\X&=P^{-4}H^{-1}S^{-1}DSHP^{4}&=(NP^{-4})Q(P^{4}N^{-1})\\Y&=P^{-5}H^{-1}S^{-1}ESHP^{5}&=(NP^{-5})Q(P^{5}N^{-1})\\Z&=P^{-6}H^{-1}S^{-1}FSHP^{6}&=(NP^{-6})Q(P^{6}N^{-1})\\\end{aligned}}

Luego, Rejewski multiplicó cada ecuación por la siguiente:

{\begin{aligned}UV&=(NP^{-1})Q(P^{1}N^{-1})(NP^{-2})Q(P^{2}N^{-1})&=NP^{-1}(QP^{-1}QP)P^{1}N^{-1}\\VW&=(NP^{-2})Q(P^{2}N^{-1})(NP^{-3})Q(P^{3}N^{-1})&=NP^{-2}(QP^{-1}QP)P^{2}N^{-1}\\WX&=(NP^{-3})Q(P^{3}N^{-1})(NP^{-4})Q(P^{4}N^{-1})&=NP^{-3}(QP^{-1}QP)P^{3}N^{-1}\\XY&=(NP^{-4})Q(P^{4}N^{-1})(NP^{-5})Q(P^{5}N^{-1})&=NP^{-4}(QP^{-1}QP)P^{4}N^{-1}\\YZ&=(NP^{-5})Q(P^{5}N^{-1})(NP^{-6})Q(P^{6}N^{-1})&=NP^{-5}(QP^{-1}QP)P^{5}N^{-1}\\\end{aligned}}

A continuación, Rejewski eliminó la subexpresión común $(Q P - 1 Q P)$ sustituyendo su valor obtenido del producto anterior. ^{[ 27 ]}

{\begin{aligned}VW&=NP^{-1}N^{-1}(UV)NP^{1}N^{-1}\\WX&=NP^{-1}N^{-1}(VW)NP^{1}N^{-1}\\XY&=NP^{-1}N^{-1}(WX)NP^{1}N^{-1}\\YZ&=NP^{-1}N^{-1}(XY)NP^{1}N^{-1}\\\end{aligned}}

El resultado es un conjunto de cuatro ecuaciones con una sola incógnita: $NPN - 1$ .

Volvamos al ejemplo de 1930.

Para el ejemplo de 1930 anterior,

 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ Un ptkxrzqswmcojylagehbvuidnf B ukzmyxrsnqbwdipojghvatlfec C uymsznqwovtpcfilgxdkajhrbe D jwvrosuyzatqxpenldfkgcbmhi E jxvqltnypaseugzidwkfmcrbho F nvykzutslxdioamwrqhgfbpjce

se transforman en las permutaciones $UVWXYZ :$

 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ U gkvlysarqxbdptumihfnoczjew V gnfmycaxtrzsdbvwujliqophek W uekfbdszrtcyqxvwmigjaopnlh X jelfbdrvsaxctqyungimphzkow Y ltgmwycsvqxadzrujohbpiekfn Z mskpiyuteqcravzdjlbhgnxwfo

y luego se multiplicaron para producir los cinco productos sucesivos:

 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ UV = azoselgjuhnmwiqdtxcbvfkryp = (a)(e)(g)(y)(hj)(rx)(bzpdscoqt)(flmwkniuv) VW = sxdqlkunjihgfeopatyrmvwzbc = (o)(p)(v)(w)(ij)(rt)(asybxzcdq)(elgumfkhn) WX = pbxdefiwgmlonkhztsrajyuqcv = (b)(d)(e)(f)(gi)(rs)(apzvycxqt)(hwujmnklo) XY = qwaytmoihlkgbjfpzcvdusnxre = (k)(p)(u)(x)(hi)(sv)(aqzetdyrc)(bwnjlgofm) YZ = rhuaxfkbnjwmpolgqztsdeicyv = (f)(j)(q)(y)(bh)(st)(arzvexcud)(gkwinolmp)

Ahora el objetivo es encontrar el único mapa que preserve la estructura y que transforme UV en VW, VW en WX, WX en XY y XY en YZ. Se encuentra mediante la suscripción a la notación de ciclos. Cuando $UV$ se mapea a $VW$ , el mapa debe emparejar ciclos de la misma longitud. Eso significa que (a)en $UV$ debe mapearse a uno de (o)(p)(v)(w)en $VW$ . En otras palabras, adebe mapearse a uno de opvw. Estos se pueden probar sucesivamente.

 UV = (a)(e)(g)(y)(hj)(rx)(bzpdscoqt)(flmwkniuv) VW = (o) (p)(v)(w)(ij)(rt)(asybxzcdq)(elgumfkhn) VW = (o)(p)(v)(w)(ij)(rt)(asybxzcdq)(elgumfkhn) WX = (b)(d)(e)(f)(gi)(rs)(apzvycxqt)(hwujmnklo) WX = (b)(d)(e)(f)(gi)(rs)(apzvycxqt)(hwujmnklo) XY = (k)(p)(u)(x)(hi)(sv)(aqzetdyrc)(bwnjlgofm) XY = (k)(p)(u)(x)(hi)(sv)(aqzetdyrc)(bwnjlgofm) YZ = (f)(j)(q)(y)(bh)(st)(arzvexcud)(gkwinolmp)

Pero adebe asignarse lo mismo oen cada emparejamiento, por lo que también se determinan otras asignaciones de caracteres:

 UV = (a)(e)(g)(y)(hj)(rx)(bzpdscoqt)(flmwkniuv) VW = (o) (p)(v)(w)(ij)(rt)(asybxzcdq)(elgumfkhn) VW = (o)(p)(v)(w)(ij)(rt)(asybxzcdq)(elgumfkhn) WX = (ohwujmnkl) (b)(d)(e)(f)(gi)(rs)(apzvycxqt) WX = (b)(d)(e)(f)(gi)(rs)(apzvycxqt)(hwujmnklo) XY = (ofmbwnjlg) (k)(p)(u)(x)(hi)(sv)(aqzetdyrc) XY = (k)(p)(u)(x)(hi)(sv)(aqzetdyrc)(bwnjlgofm) YZ = (olmpgkwin) (f)(j)(q)(y)(bh)(st)(arzvexcud)

En consecuencia, se descubren y son consistentes los mapas de caracteres para sybxzcdq, pzvycxqt, y qzetdyrc. Dichos mapas pueden ser explotados:

 UV = (a)(e)(g)(y)(hj)(rx)(bzpdscoqt)(flmwkniuv) VW = (o)(p) (w) (ij)(umfkhnelg)(xzcdqasyb) (v)(rt) VW = (o)(p)(v)(w)(ij)(rt)(asybxzcdq)(elgumfkhn) WX = (f)(b) (ig)(ohwujmnkl)(pzvycxqta) (d)(e)(rs) WX = (b)(d)(e)(f)(gi)(rs)(apzvycxqt)(hwujmnklo) XY = (u)(k)(p) (ih)(ofmbwnjlg) (x)(sv)(aqzetdyrc) XY = (k)(p)(u)(x)(hi)(sv)(aqzetdyrc)(bwnjlgofm) YZ = (f) (j) (hb)(olmpgkwin)(udarzvexc) (q)(y)(st)

Lo cual determina el resto del mapa y se suscribe consistentemente:

 UV = (a)(e)(g)(y)(hj)(rx)(bzpdscoqt)(flmwkniuv) VW = (o)(p)(v)(w)(tr)(ij)(umfkhnelg)(xzcdqasyb) VW = (o)(p)(v)(w)(ij)(rt)(asybxzcdq)(elgumfkhn) WX = (e)(f)(b)(d)(sr)(ig)(ohwujmnkl)(pzvycxqta) WX = (b)(d)(e)(f)(gi)(rs)(apzvycxqt)(hwujmnklo) XY = (u)(k)(p)(x)(vs)(ih)(ofmbwnjlg)(tdyrcaqze) XY = (k)(p)(u)(x)(hi)(sv)(aqzetdyrc)(bwnjlgofm) YZ = (q)(f)(y)(j)(ts)(hb)(olmpgkwin)(udarzvexc)

El mapa resultante con suscripciones sucesivas:

Mapa resultante: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ ounkpxvtsrqzcaeflihgybdjwm = (aoepfxjrishtgvbuywdkqlzmcn) UV = (a)(e)(g)(y)(hj)(rx)(bzpdscoqt)(flmwkniuv) VW = (o)(p)(v)(w)(tr)(ij)(umfkhnelg)(xzcdqasyb) WX = (e)(f)(b)(d)(gi)(sr)(ycxqtapzv)(jmnklohwu) XY = (p)(x)(u)(k)(vs)(hi)(wnjlgofmb)(rcaqzetdy) YZ = (f)(j)(y)(q)(bh)(ts)(darzvexcu)(inolmpgkw)

El mapa nos da $NPN - 1$ , pero también es conjugado (conserva la estructura). Por consiguiente, los 26 valores posibles para $N$ se obtienen al suscribir $P$ de 26 maneras posibles.

El modelo anterior ignoró el ajuste del anillo (22) y el ajuste de tierra (12) del rotor derecho, ambos conocidos porque Rejewski tenía las llaves diarias. El ajuste del anillo hace girar el tambor en sentido contrario en 21; el ajuste de tierra lo adelanta en 11. Por consiguiente, la rotación del rotor es de -10, que también es 16.

 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ Directo ounkpxvtsrqzcaeflihgybdjwm gpsquvbyxwortzmcekdafnljih desplazado = (agbpcsdqeufvnzhyixjwlrkomt) Suscríbete a P de diferentes maneras: (abcdefghijklmnopqrstuvwxyz) (bcdefghijklmnopqrstuvwxyza) * cableado real del rotor (cdefghijklmnopqrstuvwxyzab) ... (zabcdefghijklmnopqrstuvwxy) rotor * ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ bdfhjlcprtxvznyeiwgakmusqo

Parrilla

La rejilla física se utilizó para determinar tanto el rotor situado más a la derecha, su posición inicial, como la configuración del panel de conexiones.

Lámina inferior

Rejewsky observó que $S$ está cerca de la permutación identidad (a principios de la década de 1930, solo 12 de las 26 letras se veían afectadas por el tablero de conexiones). Trasladó todas las letras, excepto la $Q,$ al lado izquierdo de las ecuaciones mediante premultiplicación o postmultiplicación. El sistema de ecuaciones resultante es:

{\begin{aligned}(P^{1}N^{-1}P^{-1})S^{-1}AS(P^{1}NP^{-1})&=Q\\(P^{2}N^{-1}P^{-2})S^{-1}BS(P^{2}NP^{-2})&=Q\\(P^{3}N^{-1}P^{-3})S^{-1}CS(P^{3}NP^{-3})&=Q\\(P^{4}N^{-1}P^{-4})S^{-1}DS(P^{4}NP^{-4})&=Q\\(P^{5}N^{-1}P^{-5})S^{-1}ES(P^{5}NP^{-5})&=Q\\(P^{6}N^{-1}P^{-6})S^{-1}FS(P^{6}NP^{-6})&=Q\\\end{aligned}}

En este punto, $Q$ es desconocido, pero es el mismo para cada ecuación. Rejewski no conoce $N$ , pero sabe que es uno de los rotores (I, II y III), y conoce el cableado para cada uno de esos rotores. Solo había tres rotores y 26 rotaciones iniciales posibles. En consecuencia, solo hay 84 valores posibles para $N.$ Rejewski puede examinar cada valor posible para ver si la permutación $de Q$ es consistente. Si no hubiera conectores ( $S$ fuera la identidad), entonces cada ecuación produciría el mismo $Q.$

En consecuencia, hizo una hoja inferior para cada rotor posible (tres hojas). Cada hoja inferior constaba de 31 líneas (26 + 5 para formar seis líneas contiguas). Cada línea contenía la permutación escalonada de un rotor conocido. ^{[ 28 ]} Por ejemplo, una hoja inferior adecuada para el rotor III es:

{\begin{aligned}P^{0}&NP^{-0}&\ {\texttt {bdfhjlcprtxvznyeiwgakmusqo}}\\P^{1}&NP^{-1}&\ {\texttt {cegikboqswuymxdhvfzjltrpna}}\\P^{2}&NP^{-2}&\ {\texttt {dfhjanprvtxlwcgueyiksqomzb}}\\&...&...\\P^{25}&NP^{-25}&\ {\texttt {pcegikmdqsuywaozfjxhblnvtr}}\\P^{0}&NP^{-0}&\ {\texttt {bdfhjlcprtxvznyeiwgakmusqo}}\\P^{1}&NP^{-1}&\ {\texttt {cegikboqswuymxdhvfzjltrpna}}\\P^{2}&NP^{-2}&\ {\texttt {dfhjanprvtxlwcgueyiksqomzb}}\\P^{3}&NP^{-3}&\ {\texttt {egizmoquswkvbftdxhjrpnlyac}}\\P^{4}&NP^{-4}&\ {\texttt {fhylnptrvjuaescwgiqomkxzbd}}\\\end{aligned}}

A principios de la década de 1930, el orden de los rotores era el mismo durante un mes o más, por lo que los polacos generalmente sabían qué rotor estaba en la posición más a la derecha y solo necesitaban usar una lámina inferior. Después del 1 de noviembre de 1936, el orden de los rotores cambiaba todos los días. Los polacos podían usar el método del reloj para determinar el rotor más a la derecha, por lo que la rejilla solo necesitaba examinar la lámina inferior de ese rotor. ^{[ 29 ]}

Lámina superior

Para la hoja superior, Rejewski escribió las seis permutaciones de $la A$ a la $F.$

A: abcdefghijklmnopqrstuvwxyz srwivhnfdolkygjtxbapzecqmu (..abertura......................) ... F: abcdefghijklmnopqrstuvwxyz wxofkduihzevqscymtnrglabpj (..abertura......................)

Había seis ranuras para que las permutaciones de la hoja inferior se vieran en el lugar correcto.

La hoja superior se deslizaría entonces a través de todas las posiciones posibles del rotor $N$ , y el criptoanalista buscaría consistencia con alguna permutación $Q$ desconocida pero constante . Si no existe una $Q$ consistente , se prueba la siguiente posición.

Esto es lo que mostraría la parrilla para las permutaciones anteriores en su alineación consistente:

A: abcdefghijklmnopqrstuvwxyz ptkxrzqswmcojylagehbvuidnf 17 fpjtvdbzxkmoqsulyacgeiwhnr (visible a través de la rendija) B: abcdefghijklmnopqrstuvwxyz ukzmyxrsnqbwdipojghvatlfec 18 oisucaywjlnprtkxzbfdhvgmqe (visible a través de la hendidura) C: abcdefghijklmnopqrstuvwxyz uymsznqwovtpcfilgxdkajhrbe 19 hrtbzxvikmoqsjwyaecguflpdn (visible a través de la hendidura) D: abcdefghijklmnopqrstuvwxyz jwvrosuyzatqxpenldfkgcbmhi 20 qsaywuhjlnprivxzdbftekocmg (visible a través de la hendidura) E: abcdefghijklmnopqrstuvwxyz jxvqltnypaseugzidwkfmcrbho 21 rzxvtgikmoqhuwycaesdjnblfp (visible a través de la hendidura) F: abcdefghijklmnopqrstuvwxyz nvykzutslxdioamwrqhgfbpjce 22 ywusfhjlnpgtvxbzdrcimakeoq (visible a través de la rendija)

En la permutación $A$ , el criptoanalista sabe que (c k)hay intercambio. Puede ver cómo el rotor III desordenaría esas letras mirando la primera línea (el alfabeto en orden) y la línea visible a través de la ranura. El rotor se transforma cen jy se transforma ken m. Si ignoramos los steckers por el momento, eso significa que la permutación $Q$ intercambiaría (j m). Para que $Q$ sea consistente, debe ser la misma para las seis permutaciones $ABCDEF .$

Mira la rejilla cerca de la permutación $D$ para comprobar si su $Q$ también se intercambia (j m). A través de la ranura, encuentra la letra jy busca en la misma columna dos líneas más arriba para encontrar h. Eso nos dice que el rotor, cuando ha avanzado tres posiciones, ahora se mapea hen j. De manera similar, el rotor avanzado se mapeará yen m. Al observar la permutación $D$ , se intercambia (h y), por lo que las dos pruebas son consistentes.

De manera similar, en la permutación $A$ , el intercambio y (d x)implican que (t h)el intercambio en $Q.$ Observando la permutación $E$ , (e l)el intercambio y también implican que (t h)el intercambio en $Q.$

Todas estas pruebas serían consistentes si no hubiera secuencias de caracteres (steckers), pero estas secuencias complican la situación al ocultar dichas coincidencias. Si alguna de las letras involucradas en la prueba está insertada en una secuencia de caracteres, no parecerá una coincidencia.

El efecto de la permutación del rotor se puede eliminar para dejar el $valor de Q$ implícito en las permutaciones $ABCDEF$ . El resultado (junto con el valor real de $Q$ ) es:

 -: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ P(R): vyzrilptemqfjsugkdnhoaxwbc Q(B): myqvswpontxzaihgcuejrdfkbl Q(C): vcbrpmoulxwifzgeydtshakjqn Q(D): kyirhulecmagjqstndopfzxwbv Q(E): vemgkkdtwufzcxrysoqhjainpl Q(F): wvlrpqsmjizchtuefdgnobayxk P: vyqrpkstnmfzjiuecdghoaxwbl (esta Q real es desconocida para el criptoanalista)

La mayoría de las letras en una permutación implícita son incorrectas. Un intercambio en una permutación implícita es correcto si dos letras no están steckeradas. Aproximadamente la mitad de las letras están steckeradas, por lo que se espera que solo una cuarta parte de las letras en una permutación implícita sean correctas. Varias columnas muestran correlaciones; la columna Atiene tres ^caracteresv e (a v)intercambio en la $Q$ real ; la columna Dtiene cuatro rcaracteres e (d r)intercambio en $Q.$ ^[³⁰ ]

Rejewski (1981 , p. 222) describe la posibilidad de escribir las seis $Q$ implícitas para las 26 posiciones posibles del rotor. Rejewski afirma: «Si la permutación $S$ fuera realmente la identidad, entonces... para una [posición inicial] particular obtendríamos el mismo valor para todas las expresiones $Q$ y de esta manera encontraríamos la configuración del tambor $N.$ Sin embargo, la permutación $S$ existe, por lo que para ninguna [posición inicial] las expresiones $Q$ serán iguales entre sí, pero entre ellas habrá cierta similitud para una [posición inicial] particular, ya que la permutación $S$ no cambia todas las letras».

Rejewski afirma que escribir todas las posibles $Q$ "sería demasiado laborioso", por lo que desarrolló el método de la cuadrícula. ^{[ 28 ]} "Luego, la cuadrícula se mueve a lo largo del papel en el que están escritas las conexiones del tambor hasta que encuentra una posición donde aparecen algunas similitudes entre las diversas expresiones $Q.$ ... De esta manera, se encuentran simultáneamente la configuración del tambor $N$ y los cambios resultantes de la permutación $S.$ Este proceso requiere una concentración considerable, ya que las similitudes que mencioné no siempre se manifiestan claramente y pueden pasar desapercibidas con mucha facilidad." ^{[ 28 ]} La referencia no describe qué técnicas se utilizaron. Rejewski sí afirmó que el método de la cuadrícula requería pares de letras sin conectar. ^{[ 31 ]}

La permutación $A$ tiene los intercambios (ap)(bt)(ck).... Si asumimos que el intercambio (ap)no está steckerado, eso implica $Q$ intercambios (fl). Las otras cinco permutaciones $BCDEF$ se pueden verificar rápidamente para un par no steckerado que sea consistente con $Q$ intercambios (fl), esencialmente verificando la columna Fpara otras filas con lsin calcular toda la tabla. No se encuentran ninguna, por lo que (ap)tendría al menos un stecker, por lo que se abandona la suposición de que no está steckerado. El siguiente par se puede adivinar como no steckerado. El intercambio (bt)implica $Q$ intercambios (pg); eso es consistente con (lw)en $B$ , pero esa suposición no funciona porque ty westán steckerados.

A: b↔t B: l↔w C: k←t D: x→m E: m→u F: j←x ↓ ↓ ↓ ↓ * ↑ ↑ * ↑ * * ↑ btlwxtkzzfjk ↓ ↓ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ P: p↔gp↔gp↔gp↔gp↔gp↔g adivinar (b)(t) no está conectado en S lleva a adivinar (l)(w) no está conectado en S C encuentra stecker (kx) D encuentra stecker (zm) E encuentra stecker (fu) F encuentra (j)

Seguir esas conjeturas conduce finalmente a una contradicción:

A: f↔z B: m→d C: p←l D: f→s E: p!x F: ↓ ↓ ↑ * * ↑ ↑ * ↑ ↑ umzyrluark ↓ ↓ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ P: e↔qe↔qe↔qe↔qe↔qe↔q La explotación (fz) en A conduce al intercambio (eq) en Q B encuentra (dy) steckered C encuentra (pr) steckered D encuentra (como) steckered E encuentra (px) steckerado, ¡pero p ya está steckerado a r! fallo

El tercer intercambio (ck)implica $Q$ intercambios (jm); esta vez la permutación $D$ con un no acoplado (hy)sería consistente con $Q$ intercambios (jm).

A: c↔k B: C: D: h↔y E: F: ↓ ↓ ↑ ↑ ckixnjhyuigu ↓ ↓ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ P: j↔mj↔mj↔mj↔mj↔mj↔m adivinar (c)(y) no está conectado en S lleva a adivinar (h)(y) no está conectado en S

En este punto, se supone que las letras chkyno están agrupadas. A partir de esa suposición, se pueden resolver todos los agrupamientos para este problema en particular. Los intercambios conocidos (supuestos) en S $se$ utilizan para encontrar intercambios en $Q$ , y esos intercambios se utilizan para extender lo que se sabe sobre $S.$

Usando esas letras no steckeradas como semillas se encuentra (hy)intercambio en $E$ e implica (kf)que está en $Q$ ; de manera similar, (cy)intercambio en $F$ e implica (uo)que está en $Q.$ Examinando (uo)en las otras permutaciones se encuentra (tu)que es un stecker.

A: B: C: D: E: h↔y F: ↓ ↓ jaosivvshywe ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑ P: k↔fk↔fk↔fk↔fk↔fk↔f explotar (hy) en E A: B: C: t←k D: E: F: c↔y * ↑ ↓ ↓ oldaukfwmjcy ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑ P: u↔ou↔ou↔ou↔ou↔ou↔o explotar (cy) en F muestra (tu) están en S

Eso añade letras tua las semillas. Esas letras también eran desconocidas anteriormente, por lo que se puede obtener más información volviendo a revisar: $S$ también tiene (g)(if)(x).

A: c↔k B: f→x C: D: h↔y E: t→f F: g←t ↓ ↓ ↑ * ↑ ↑ ↑ * * ↑ ckixnjhyuigu ↓ ↓ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ P: j↔mj↔mj↔mj↔mj↔mj↔m Saber (tu) en S lleva a (g)(if) en S entonces (si) en S se puede usar para encontrar (x) en S

La consulta (kf)(uo)en $Q$ proporciona más información:

A: B: o←p C: f→n D: n→p E: h↔y F: z→e * ↑ ↑ * ↑ * ↓ ↓ ↑ * jaosivvshywe ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑ P: k↔fk↔fk↔fk↔fk↔fk↔f explotar (si) en S conduce a (nv) en S (nv) en S conduce a stecker (ps) (ps) en S conduce a (o) (wz) en S conduce a (e) A: o→l B: C: t←k D: i→z E: F: c↔y ↑ * * ↑ ↑ * ↓ ↓ oldaukfwmjcy ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑ P: u↔ou↔ou↔ou↔ou↔ou↔o explotar (si) en S conduce a stecker (wz) en S (o) en S conduce a (l) en S

Otra visita aprovecha al máximo (jm):

A: c↔k B: fx C: v→j D: h↔y E: t→f F: g←t ↓ ↓ ↑ * ↑ * ↑ ↑ ↑ * * ↑ ckixnjhyuigu ↓ ↓ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ P: j↔mj↔mj↔mj↔mj↔mj↔m Saber (nv) en S lleva a (j) en S

Esa adición lo completa aún más:

A: j→m B: o←p C: f→n D: n→p E: h↔y F: z→e ↑ * * ↑ ↑ * ↑ * ↓ ↓ ↑ * jaosivvshywe ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑ P: k↔fk↔fk↔fk↔fk↔fk↔f La explotación (j) en S conduce a (am) en S A: o→l B: d←m C: t←k D: i→z E: a↔j F: c↔y ↑ * * ↑ * ↑ ↑ * ↑ ↑ ↓ ↓ oldaukfwmjcy ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑ P: u↔ou↔ou↔ou↔ou↔ou↔o La explotación de (j)(am) en S conduce a (d) en S. Q = ( (fk)(jm)(ou)... ) Faltan 10 emparejamientos S = ( (am)(c)(d)(fi)(g)(h)(j)(k)(l)(nv)(o)(ps)(tu)(wz)(x)(y)... ) 22 caracteres hasta ahora: falta beqr han encontrado los 6 steckers, por lo tanto (b)(e)(q)(r)

Ahora se conoce todo $S tras examinar 3 intercambios en$ $Q.$ El resto de $Q$ se puede encontrar fácilmente.

Cuando se encuentra una coincidencia, el criptoanalista aprende tanto la rotación inicial de $N como la$ ^permutación del tablero de conexiones ( Stecker ) $S.$ ^[²⁸ ]

Recuperación de las posiciones absolutas del rotor para la clave de mensaje.

En este punto, no se conocen las posiciones de los rotores para la permutación $Q. Es decir, no se conocen las posiciones iniciales (y posiblemente el orden) de los rotores$ $L$ y $M.$ Los polacos aplicaron fuerza bruta probando todas las posiciones iniciales posibles ( $262 = 676$ ) de los dos rotores. ^{[ 28 ]} Con tres rotores, saber qué rotor estaba en la posición $N$ significaba que solo había dos formas posibles de cargar los otros dos rotores.

Más tarde, los polacos desarrollaron un catálogo de todas las permutaciones $Q.$ El catálogo no era grande: había seis combinaciones posibles de dos rotores izquierdos con $262 = 676$ configuraciones iniciales, por lo que el catálogo contenía 4056 entradas. Tras utilizar la parrilla, los polacos consultaban $Q$ en el catálogo para conocer el orden y las posiciones iniciales de los otros dos rotores. ^{[ 29 ]}

Inicialmente, los alemanes cambiaban el orden de los rotores con poca frecuencia, por lo que los polacos solían conocerlo antes de empezar a trabajar. El orden de los rotores cambiaba cada trimestre hasta el 1 de febrero de 1936. Luego, cambiaba cada mes hasta el 1 de noviembre de 1936, fecha en la que se cambiaba diariamente. ^{[ 29 ]}

Recuperación del engaste del anillo

El criptoanalista ya conocía el diagrama de conexiones, el orden de los rotores y la configuración absoluta de los rotores para la clave duplicada, pero desconocía la configuración del anillo. También sabía cuál debía ser la configuración de la clave del mensaje, pero esta era inútil sin conocer la configuración del anillo. La configuración del anillo podía ser cualquiera, lo que significaba que los polacos no sabían cómo posicionar los rotores para el cuerpo del mensaje. Todo el trabajo realizado hasta ese momento se había centrado en explotar la clave duplicada. Para determinar la configuración del anillo, la atención se desplazó ahora al mensaje en sí.

Aquí, los alemanes cometieron otro error. Cada mensaje solía comenzar con el texto "ANX", que en alemán significa "a:" y la "X" representa un espacio. Los polacos también aplicaron la fuerza bruta. Probaban hasta $26³ = 17 576 configuraciones$ para encontrar aquellas que producían "ANX". Una vez encontradas, el criptoanalista utilizaba la configuración absoluta de los rotores para determinar la configuración del anillo. De esta forma, se recuperaba la clave diaria completa.

Posteriormente, los polacos perfeccionaron la técnica de búsqueda por fuerza bruta. Analizando algunos mensajes, pudieron determinar la posición del rotor más a la derecha; por consiguiente, solo sería necesario probar 676 posiciones de rotor. Rejewski ya no recuerda cómo funcionaba este truco.^{[ 32 ]}

Rechazar

El método de la parrilla es descrito por Marian Rejewski como "manual y tedioso" ^{[ 2 ]} y, al igual que la bomba criptológica posterior, como "basado... en el hecho de que las conexiones de los enchufes [en el conmutador de la Enigma, o "panel de conexiones"] no cambiaban todas las letras". Sin embargo, a diferencia de la bomba, "el método de la parrilla requería pares sin cambios de letras sin cambios [en lugar de] solo letras sin cambios". ^{[ 31 ]}

Inicialmente, el panel de conexiones solo intercambiaba seis pares de letras. Esto dejaba más de la mitad del alfabeto sin afectar por la permutación $S.$ El número de conectores cambió el 1 de agosto de 1936; entonces se podían intercambiar entre cinco y ocho pares de letras.^{[ 33 ]} Los caracteres adicionales intercambiados redujeron la efectividad del método de cuadrícula, por lo que los polacos comenzaron a buscar otros métodos. El resultado fue el ciclómetro y el catálogo de tarjetas correspondiente; ese método era inmune a los steckers.

El método de la rejilla se aplicó incluso en diciembre de 1938 para descifrar el cableado de dos rotores Enigma recientemente introducidos por los alemanes. (Esto fue posible gracias a que una red del Sicherheitsdienst , si bien había introducido los nuevos tambores IV y V, continuó utilizando el antiguo sistema para cifrar las claves de mensaje individuales).^{[ 34 ]}

El 15 de septiembre de 1938, la mayoría de las redes alemanas dejaron de cifrar la clave doble con una configuración común (la configuración de tierra). Los polacos habían podido aprovechar todos los mensajes en una red usando la misma configuración de máquina para cifrar la clave doble. Ahora la mayoría de las redes dejaron de hacerlo; en su lugar, el operador elegiría su propia configuración de tierra y la enviaría sin cifrar al destinatario. ^{[ 35 ]} Este cambio frustró el método de la rejilla y el catálogo de tarjetas del ciclomómetro. Una red, la red Sicherheitsdienst (SD), continuó usando una configuración de tierra común, y esa red se usó para la ingeniería inversa de los nuevos rotores (IV y V) que se introdujeron. ^{[ 36 ]} El tráfico de la red SD estaba doblemente codificado, por lo que el método ANX no funcionaría. ^{[ 37 ]} El método de la rejilla a veces fallaba después de que los alemanes aumentaran el número de conexiones del panel de enchufes a diez el 1 de enero de 1939. Cuando la red SD cambió al nuevo protocolo de clave de mensaje el 1 de julio de 1939, el método de la rejilla (y el método del ciclómetro) dejaron de ser útiles. ^{[ 36 ]}

Aquí hay un ejemplo del nuevo procedimiento de mensajes para un mensaje del 21 de septiembre de 1938. ^{[ 38 ]}

2109 -1750 - 3 TLE - FRX FRX - 1TL -172= HCALN UQKRQ AXPWT WUQTZ KFXZO MJFOY RHYZW VBXYS IWMMV WBLEB DMWUW BTVHM RFLKS DCCEX IYPAH RMPZI OVBBR VLNHZ UPOSY EIPWJ TUGYO SLAOX RHKVC HQOSV DTRBP DJEUK SBBXH TYGVH GFICA CVGUV OQFAQ WBKXZ JSQJF ZPEVJ RO -

La abreviatura "3 TLE" (en alemán , Teile , partes) indica que se trata de un mensaje de 3 partes; la abreviatura "1TL" (en alemán , Teil , parte) indica que esta es la primera parte; la abreviatura "172" indica que el mensaje contiene 172 caracteres (incluida la clave del mensaje). Para este mensaje, la configuración de tierra "FRX" se transmite dos veces en texto plano; la configuración de tierra debería ser diferente para cada mensaje en la red. En consecuencia, los polacos no pudieron encontrar las sesenta claves de mensaje necesarias cifradas con la misma configuración de tierra. Sin el volumen de mensajes con la misma clave, no pudieron determinar la característica, por lo que no pudieron determinar las permutaciones ABCDEF ni utilizar la rejilla. Para este mensaje, se utilizaron las configuraciones diarias (orden del rotor, tablero de conexiones y configuración del anillo) con "FRX" para descifrar los primeros seis caracteres ("HCALN U") y obtener la clave de mensaje duplicada ("AGIAGI").

Para descifrar estos mensajes, los polacos utilizaron otras técnicas para explotar la clave de mensaje duplicada.

Véase también

Matriz de permutación

Notas

↑ Marian Rejewski, Solución matemática del cifrado Enigma, trad. Christopher Kasparek, Cryptologia, vol. 6, número 1, págs. 1-18, pág. 17, enero de 1982
1 2 Rejewski 1984e , pág. 290
↑ Kahn 1991 , págs. 39–41, 299.
↑ Kahn 1991 , págs. 41, 299.
^ Kruh y Deavours 2002 , pág. 97.
↑ Rejewski 1981 , p. 215. Considere el número de maneras de ordenar 26 letras distintas (26!) y empareje las letras seleccionadas. Las letras emparejadas se intercambian, así que divida entre 2¹³ para tener en cuenta los dos ordenamientos de cada par. El orden en que se enumeran los pares no importa, así que divida entre el número de maneras de ordenar los 13 pares (13!).
↑ Rejewski 1981 , pág. 216 Toma el número de maneras de ordenar 26 letras distintas y empareja las primeras 12 letras; divide por 2⁶ porque los pares se pueden intercambiar (AB es lo mismo que BA), divide por 6! porque el orden de los pares no importa, y divide por 14! porque el orden de los últimos 14 caracteres no importa.
↑ Lisicki 1979 , pág. 68, Bild 1, Beispiel (Ejemplo)
↑ "CryptoCellar de Frode Weierud | Mensaje de prueba de Enigma de 1930" . Archivado del original el 30 de octubre de 2014. . Consultado el 07/10/2014 ., citando 1930 "Schlüsselanleitung zur Chiffriermachine Enigma I" ["Instrucciones para el uso de claves en la máquina Cypher 'Enigma I'"]
↑ Se puede comprobar con un simulador. Por ejemplo, seleccione Enigma I, elija el reflector A (en ese momento, los alemanes solo tenían un reflector), configure el orden de las ruedas (II, I, III), configure los anillos (24, 13, 22), configure los enchufes (AM, FI, NV, PS, TU, WZ), active el panel de conexiones y configure las ruedas en la posición de tierra ("FOL"). Al escribir ABLABL en el cuadro de entrada, debería aparecer PKPJXI como resultado.
↑ Rejewski 1981 , p. 217 afirma: "El hecho de que las primeras seis letras de cada mensaje formaran su clave de tres letras, cifrada dos veces, era obvio, y no me detendré en el asunto".
↑ Wussing, Hans (2007), La génesis del concepto de grupo abstracto: una contribución a la historia del origen de la teoría abstracta de grupos , Courier Dover Publications, pág. 94, ISBN 9780486458687Cauchy utilizó por primera vez su notación de permutación —en la que las disposiciones se escriben una debajo de la otra y ambas se encierran entre paréntesis— en 1815.
↑ Harkin, Anthony A.; Harkin, Joseph B. (abril de 2004), "Geometría de los números complejos generalizados" (PDF) , Mathematics Magazine , 77 (2): 118–129 , doi : 10.1080/0025570X.2004.11953236 , S2CID 7837108En la página 129 se da a entender que se utilizaron ambas notaciones en 1815.
↑ Cauchy, Augustin-Louis (1987), «Augustin Louis Cauchy sobre la teoría de las permutaciones», en Fauvel, John; Gray, Jeremy (eds.), The History of Mathematics: A Reader , Macmillan Press en colaboración con The Open University, pp. 506–507 , ISBN 9780333427910
↑ Rejewski 1981 , pág. ??
↑ Marks, Philip; Weierud, Frode (enero de 2000), "Recuperando el cableado de la Umkehrwalze A de Enigma" (PDF) , Cryptologia , 24 (1): 55–66 , CiteSeerX 10.1.1.622.1584 , doi : 10.1080/0161-110091888781 , S2CID 4473786 (página 3 del PDF)
↑ Tuma, Jirí (2003), Permutation Groups and the Solution of German Enigma Cipher (PDF) , Frode Weierud, p. 51, archivado del original (PDF) el 30-10-2014 , recuperado el 12-09-2014
↑ Rejewski 1981 , pág. ?
↑ Lisicki (1979 , pp. 72–74) proporciona una tabla de ejemplo con 65 claves de mensaje, pero solo 40 de ellas eran distintas. Dieciséis claves se repitieron al menos una vez. La clave cifrada "SYX SCV" se utilizó cinco veces; correspondía a la clave de mensaje "AAA". La clave de mensaje cifrada "RJL WPX" se utilizó cuatro veces; correspondía a "BBB".
↑ Rejewski (1981 , p. 218) afirma: «Cuando supuse por primera vez que habría muchas claves del tipo aaa , bbb , etc., era solo una hipótesis que, por suerte, resultó ser cierta. Se siguió muy de cerca la evolución de los gustos de los criptógrafos y se descubrieron otras preferencias».
↑ Rejewski 1981 , p. 218, afirma: «Así, se resolvió uno de los misterios del cifrado Enigma: el secreto de la clave del mensaje. Es interesante que no fuera necesario conocer la posición de los tambores ni las claves diarias —es decir, ninguno de los demás secretos del cifrado Enigma— para obtener el resultado».
↑ Rejewski, Marian (1980), "Una aplicación de la teoría de las permutaciones para descifrar el cifrado Enigma" (PDF) , Applicaciones Mathematicae , 16 (4), archivado del original (PDF) el 30-10-2014. De esta manera, un conocimiento preciso de las preferencias de los criptógrafos junto con el teorema del producto de transposiciones nos permite encontrar la única solución real.
↑ Más tarde conocida como "hembra".
1 2 Rejewski 1981 , pág. 218
↑ Rejewski 1981 , pág. 219, ecuación 3 con $H$ eliminada
1 2 Rejewski 1981 , pág. 219
↑ Rejewski 1981 , pág. 220
1 2 3 4 5 Rejewski 1981 , pág. 222
1 2 3 Rejewski 1981 , pág. 223
↑ Uno de losDintercambios es accidental debido a que un conector doble mapea un intercambio diferente.
1 2 Rejewski 1984c , pág. 242
↑ Rejewski 1981 , p. 223 : «...pronto nos dimos cuenta de que si alguna parte del mensaje comenzaba con ANX , varias posiciones del tambor N serían imposibles y ya no debían considerarse. Dado que había una docena de mensajes al día en los que se podía esperar encontrar las letras ANX al principio, normalmente era posible descartar, simplemente mediante cálculos, todas las posiciones imposibles del tambor N, dejando solo una o dos para considerar. (Ya no recuerdo qué cálculos había que realizar ni en qué principios teóricos se basaban.)»
↑ Rejewski 1981 , pág. 224
↑ Rejewski 1984d , pág. 268
↑ Rejewski 1981 , págs. 225–226
1 2 Rejewski 1981 , pág. 227
↑ Rejewski 1981 , pág. 225
↑Archivado el 30-10-2014 en Wayback Machine , transcrito de Cryptologia, CA Deavours y Louis Kruh, "The Turing Bombe: Was It Enough?", Cryptologia, Vol. XIV, No.4, octubre de 1990, pp. 331-349, en la página 342.

Referencias

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Kozaczuk, Władysław (1984), Enigma: Cómo se descifró el cifrado de máquina alemán y cómo lo leyeron los aliados en la Segunda Guerra Mundial, editado y traducido por Christopher Kasparek [una traducción revisada y ampliada de W kręgu enigmy , Varsovia, Książka i Wiedza, 1979, complementada con apéndices de Marian Rejewski], Frederick, MD, Publicaciones Universitarias de América, ISBN 978-0-89093-547-7.
Kruh, L.; Deavours, C. (2002). "El enigma comercial: los comienzos de la criptografía computacional". Cryptologia . 26 : 1–16 . doi : 10.1080/0161-110291890731 . S2CID 41446859 .
Lisicki, Tadeusz (1979), "Die Leistung des polnischen Entzifferungsdienstes bei der Lösung des Verfahrens der deutschen »Enigma«-Funkschlüsselmachine" [ Los métodos que utilizó la Oficina de Cifrado Polaca para resolver la máquina de cifrado Enigma alemana ] (PDF) , en Rohwer, J.; Jäkel, E. (eds.), Die Funkaufklärung und ihre Rolle im Zweiten Weltkrieg [ La radiointeligencia y su papel en la Segunda Guerra Mundial ] (en alemán), Stuttgart: Motorbuch Verlag, págs. 66 a 81, archivado desde el original (PDF) el 19 de octubre de 2014 , consultado el 12 de octubre de 2014
Rejewski, Marian (julio de 1981), "Cómo los matemáticos polacos descifraron el enigma" (PDF) , Annals of the History of Computing , 3 (3): 213– 234, doi : 10.1109/MAHC.1981.10033 , S2CID 15748167
Rejewski, Marian (1984c), Resumen de nuestros métodos para reconstruir ENIGMA y reconstruir claves diarias, y de los esfuerzos alemanes para frustrar esos métodos: Apéndice Cde Kozaczuk 1984 , págs. 241–45
Rejewski, Marian (1984d), Cómo los matemáticos polacos resolvieron Enigma: Apéndice Dde Kozaczuk 1984 , págs. 246–71
Rejewski, Marian (1984e), La solución matemática del cifrado Enigma: Apéndice Ede Kozaczuk 1984 , págs. 272-291

Enlaces externos

Contribuciones polacas a la informática, http://chc60.fgcu.edu/EN/HistoryDetail.aspx?c=1 Archivado el 13 de julio de 2014 en Wayback Machine
Gaj, Kris; Orlowski, Arkadiusz (mayo de 2003), «Hechos y mitos de Enigma: Rompiendo estereotipos», en Biham, Eli (ed.), Avances en criptología — EUROCRYPT 2003: Conferencia internacional sobre la teoría y las aplicaciones de las técnicas criptográficas , Varsovia, Polonia: Springer-Verlag, pp. 106–122 , ISBN 978-3-540-14039-9, LNCS 2656Véase también https://www.iacr.org/archive/eurocrypt2003/26560106/26560106.doc
Casselman, Bill (noviembre de 2009), Marian Rejewski y el primer avance en Enigma , Columna destacada, Sociedad Matemática Estadounidense , consultado el 15 de noviembre de 2014.
Casselman, Bill (diciembre de 2013), El ataque polaco a Enigma II: hojas de Zygalski , Columna de artículos, Sociedad Matemática Estadounidense , consultado el 15 de noviembre de 2014.
Inteligencia de señales del Eje europeo en la Segunda Guerra Mundial según lo revelado por las investigaciones de "TICOM" y por otros interrogatorios a prisioneros de guerra y material capturado, principalmente alemán: Volumen 2 — Notas sobre criptografía y criptoanálisis alemanes de alto nivel ; ver página 76: Los suizos cambiaban el cableado de los rotores cada 3 meses, pero los alemanes descifraban el cableado porque algunos mensajes se enviaban dos veces durante el cambio trimestral. La empresa que fabricaba los rotores les decía a los alemanes el nuevo cableado croata de los rotores.
Bauer pág. 419

[1] Marian Rejewski, Solución matemática del cifrado Enigma, trad. Christopher Kasparek, Cryptologia, vol. 6, número 1, págs. 1-18, pág. 17, enero de 1982

[RejewskiKozaczuk290-2] 1 2 Rejewski 1984e , pág. 290

[FOOTNOTEKahn199139–41,_299-3] Kahn 1991 , págs. 39–41, 299.

[FOOTNOTEKahn199141,_299-4] Kahn 1991 , págs. 41, 299.

[FOOTNOTEKruhDeavours200297-5] Kruh y Deavours 2002 , pág. 97.

[6] Rejewski 1981 , p. 215. Considere el número de maneras de ordenar 26 letras distintas (26!) y empareje las letras seleccionadas. Las letras emparejadas se intercambian, así que divida entre 2¹³ para tener en cuenta los dos ordenamientos de cada par. El orden en que se enumeran los pares no importa, así que divida entre el número de maneras de ordenar los 13 pares (13!).

[7] Rejewski 1981 , pág. 216 Toma el número de maneras de ordenar 26 letras distintas y empareja las primeras 12 letras; divide por 2⁶ porque los pares se pueden intercambiar (AB es lo mismo que BA), divide por 6! porque el orden de los pares no importa, y divide por 14! porque el orden de los últimos 14 caracteres no importa.

[8] Lisicki 1979 , pág. 68, Bild 1, Beispiel (Ejemplo)

[9] "CryptoCellar de Frode Weierud | Mensaje de prueba de Enigma de 1930" . Archivado del original el 30 de octubre de 2014. . Consultado el 07/10/2014 ., citando 1930 "Schlüsselanleitung zur Chiffriermachine Enigma I" ["Instrucciones para el uso de claves en la máquina Cypher 'Enigma I'"]

[10] Se puede comprobar con un simulador. Por ejemplo, seleccione Enigma I, elija el reflector A (en ese momento, los alemanes solo tenían un reflector), configure el orden de las ruedas (II, I, III), configure los anillos (24, 13, 22), configure los enchufes (AM, FI, NV, PS, TU, WZ), active el panel de conexiones y configure las ruedas en la posición de tierra ("FOL"). Al escribir ABLABL en el cuadro de entrada, debería aparecer PKPJXI como resultado.

[11] Rejewski 1981 , p. 217 afirma: "El hecho de que las primeras seis letras de cada mensaje formaran su clave de tres letras, cifrada dos veces, era obvio, y no me detendré en el asunto".

[12] Wussing, Hans (2007), La génesis del concepto de grupo abstracto: una contribución a la historia del origen de la teoría abstracta de grupos , Courier Dover Publications, pág. 94, ISBN 9780486458687Cauchy utilizó por primera vez su notación de permutación —en la que las disposiciones se escriben una debajo de la otra y ambas se encierran entre paréntesis— en 1815.

[13] Harkin, Anthony A.; Harkin, Joseph B. (abril de 2004), "Geometría de los números complejos generalizados" (PDF) , Mathematics Magazine , 77 (2): 118–129 , doi : 10.1080/0025570X.2004.11953236 , S2CID 7837108En la página 129 se da a entender que se utilizaron ambas notaciones en 1815.

[14] Cauchy, Augustin-Louis (1987), «Augustin Louis Cauchy sobre la teoría de las permutaciones», en Fauvel, John; Gray, Jeremy (eds.), The History of Mathematics: A Reader , Macmillan Press en colaboración con The Open University, pp. 506–507 , ISBN 9780333427910

[15] Rejewski 1981 , pág. ??

[16] Marks, Philip; Weierud, Frode (enero de 2000), "Recuperando el cableado de la Umkehrwalze A de Enigma" (PDF) , Cryptologia , 24 (1): 55–66 , CiteSeerX 10.1.1.622.1584 , doi : 10.1080/0161-110091888781 , S2CID 4473786 (página 3 del PDF)

[17] Tuma, Jirí (2003), Permutation Groups and the Solution of German Enigma Cipher (PDF) , Frode Weierud, p. 51, archivado del original (PDF) el 30-10-2014 , recuperado el 12-09-2014

[18] Rejewski 1981 , pág. ?

[19] Lisicki (1979 , pp. 72–74) proporciona una tabla de ejemplo con 65 claves de mensaje, pero solo 40 de ellas eran distintas. Dieciséis claves se repitieron al menos una vez. La clave cifrada "SYX SCV" se utilizó cinco veces; correspondía a la clave de mensaje "AAA". La clave de mensaje cifrada "RJL WPX" se utilizó cuatro veces; correspondía a "BBB".

[20] Rejewski (1981 , p. 218) afirma: «Cuando supuse por primera vez que habría muchas claves del tipo aaa , bbb , etc., era solo una hipótesis que, por suerte, resultó ser cierta. Se siguió muy de cerca la evolución de los gustos de los criptógrafos y se descubrieron otras preferencias».

[21] Rejewski 1981 , p. 218, afirma: «Así, se resolvió uno de los misterios del cifrado Enigma: el secreto de la clave del mensaje. Es interesante que no fuera necesario conocer la posición de los tambores ni las claves diarias —es decir, ninguno de los demás secretos del cifrado Enigma— para obtener el resultado».

[22] Rejewski, Marian (1980), "Una aplicación de la teoría de las permutaciones para descifrar el cifrado Enigma" (PDF) , Applicaciones Mathematicae , 16 (4), archivado del original (PDF) el 30-10-2014. De esta manera, un conocimiento preciso de las preferencias de los criptógrafos junto con el teorema del producto de transposiciones nos permite encontrar la única solución real.

[23] Más tarde conocida como "hembra".

[Rejewski218-24] 1 2 Rejewski 1981 , pág. 218

[25] Rejewski 1981 , pág. 219, ecuación 3 con $H$ eliminada

[Rejewski_1981_219-26] 1 2 Rejewski 1981 , pág. 219

[27] Rejewski 1981 , pág. 220

[Rejewski1981p222-28] 1 2 3 4 5 Rejewski 1981 , pág. 222

[Rejewski_1981_223-29] 1 2 3 Rejewski 1981 , pág. 223

[30] Uno de losDintercambios es accidental debido a que un conector doble mapea un intercambio diferente.

[Harvnb|Rejewski|1984c|p=242-31] 1 2 Rejewski 1984c , pág. 242

[32] Rejewski 1981 , p. 223 : «...pronto nos dimos cuenta de que si alguna parte del mensaje comenzaba con ANX , varias posiciones del tambor N serían imposibles y ya no debían considerarse. Dado que había una docena de mensajes al día en los que se podía esperar encontrar las letras ANX al principio, normalmente era posible descartar, simplemente mediante cálculos, todas las posiciones imposibles del tambor N, dejando solo una o dos para considerar. (Ya no recuerdo qué cálculos había que realizar ni en qué principios teóricos se basaban.)»

[33] Rejewski 1981 , pág. 224

[34] Rejewski 1984d , pág. 268

[35] Rejewski 1981 , págs. 225–226

[Rejewski227-36] 1 2 Rejewski 1981 , pág. 227

[37] Rejewski 1981 , pág. 225

[38] Archivado el 30-10-2014 en Wayback Machine , transcrito de Cryptologia, CA Deavours y Louis Kruh, "The Turing Bombe: Was It Enough?", Cryptologia, Vol. XIV, No.4, octubre de 1990, pp. 331-349, en la página 342.

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