álgebra ética

En álgebra conmutativa , un álgebra étale sobre un cuerpo es un tipo especial de álgebra , isomorfa a un producto finito de extensiones de cuerpo separables finitas . Un álgebra étale es un tipo especial de álgebra separable conmutativa .

Sea K un cuerpo. Sea L un álgebra K asociativa unitaria conmutativa . Entonces L se llama álgebra K étale si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[ 1 ]}

El${\displaystyle \mathbb {Q} }$-álgebra${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$es étale porque es una extensión de cuerpo separable finita.

El${\displaystyle \mathbb {R} }$-álgebra${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2})}$de números duales no es étale, ya que${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2})\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \simeq \mathbb {C} [x]/(x^{2})}$.

Sea G el grupo de Galois absoluto de K. Entonces, la categoría de álgebras étales K es equivalente a la categoría de conjuntos finitos G con acción continua G. En particular, las álgebras étales de dimensión n se clasifican mediante clases de conjugación de homomorfismos de grupos continuos de G al grupo simétrico S _n . Estas se globalizan, por ejemplo, a la definición de grupos fundamentales étales y se categorizan a la teoría de Galois de Grothendieck .

• Bourbaki, N. (1990), Álgebra. II. Capítulos 4–7. , Elementos de Matemáticas, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-19375-8, MR 1080964 
• Milne, James , Teoría de camposhttp://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf