conjunto η

En matemáticas, un conjunto η ( conjunto eta ) es un tipo de conjunto totalmente ordenado introducido por Hausdorff ( 1907 , pág. 126, 1914 , capítulo 6, sección 8) que generaliza el tipo de orden η de los números racionales.  

Si${\displaystyle \alpha }$es un ordinal entonces un${\displaystyle \eta _{\alpha }}$un conjunto es un conjunto totalmente ordenado en el que para cualesquiera dos subconjuntos${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$de cardinalidad menor que${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$, si cada elemento de${\displaystyle X}$es menos que cada elemento de${\displaystyle Y}$entonces hay algún elemento mayor que todos los elementos de${\displaystyle X}$y menos que todos los elementos de${\displaystyle Y}$.

El único conjunto numerable no vacío η ₀ (salvo isomorfismo) es el conjunto ordenado de los números racionales.

Supongamos que κ  =  ℵ _α es un cardinal regular y sea X el conjunto de todas las funciones f de κ a {−1,0,1} tales que si f ( α )  =  0 entonces f ( β )  =  0 para todo β  > α , ordenado lexicográficamente . Entonces X es un conjunto η _α . El límite directo de todos estos órdenes es isomorfo a la clase de números surrealistas . 

Un conjunto denso totalmente ordenado sin puntos finales es un conjunto η _α si y solo si es saturado ℵ _α .

Cualquier conjunto η _α X es universal para conjuntos totalmente ordenados de cardinalidad como máximo ℵ _α , lo que significa que cualquier conjunto de este tipo puede estar incrustado en X .

Para cualquier ordinal α dado , cualesquiera dos conjuntos η _α de cardinalidad ℵ _α son isomorfos (como conjuntos ordenados). Un conjunto η _α de cardinalidad ℵ _α existe si ℵ _α es regular y Σ _{β < α} 2 ^{ℵ _β}  ≤  ℵ _α .

• Alling, Norman L. (1962), "Sobre la existencia de cuerpos reales cerrados que son conjuntos η _α de potencia ℵ _α .", Trans. Amer. Math. Soc. , 103 : 341– 352, doi : 10.1090/S0002-9947-1962-0146089-X , MR 0146089 
• Chang, Chen Chung ; Keisler, H. Jerome (1990) [1973]. Teoría de modelos . Estudios en lógica y fundamentos de las matemáticas (3.ª  ed.). Elsevier. ISBN 978-0-444-88054-3.
• Felgner, U. (2002), "Die Hausdorffsche Theorie der ηα-Mengen und ihre Wirkungsgeschichte" (PDF) , Hausdorff Gesammelte Werke , vol. II ,  Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag, págs. 645–674 
• Hausdorff (1907), "Untersuchungen über Ordnungstypen V", Ber. über die Verhandlungen der Königl. Sächs. Ges. Der Wiss. Zu Leipzig. Matemáticas-física. Clase , 59 : 105– 159Traducción al inglés en Hausdorff (2005)
• Hausdorff, F. (1914), Grundzüge der Mengenlehre , Leipzig: Veit & Co
• Hausdorff, Felix (2005), Plotkin, JM (ed.), Hausdorff sobre conjuntos ordenados , Historia de las Matemáticas, vol.  25, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3788-5, MR 2187098