teoría ω-completa

En lógica matemática , una teoría ω-completa es una teoría formal de lógica de primer orden que contiene aritmética, de tal manera que siempre que demuestra cada instancia de una fórmula que corresponde a un número natural, también demuestra la proposición universal correspondiente. Una teoría con la propiedad complementaria se denomina ω-incompleta . La ω en el nombre se refiere al conjunto de los números naturales .

La terminología se estableció en el artículo de 1958 titulado "La aritmética clásica y la ω-completa" de Andrzej Grzegorczyk , Andrzej Mostowski y Czesław Ryll-Nardzewski . ^{[ 1 ]}

Consideremos un lenguaje de primer orden que contiene términos para los números naturales.${\displaystyle {\bar {0}},{\bar {1}},{\bar {2}},\ldots }$Por ejemplo, el lenguaje estándar para la aritmética de Peano contiene los dos símbolos${\displaystyle 0,S}$, con las cuales podemos escribir los términos para todos los números naturales:${\displaystyle 0,S0,SS0,\dots }$.

Dejar${\displaystyle T}$ser una teoría en el lenguaje.${\displaystyle T}$es ω-completa si y solo si, para cada fórmula${\displaystyle \varphi (x)}$con una variable libre ,$${\displaystyle T\vdash \varphi ({\bar {n}}){\text{ para todo }}n\in \omega \quad \Longrightarrow \quad T\vdash \forall x\,\varphi (x).}$$La implicación puede parecer obvia. Sin embargo, hay que distinguir entre${\displaystyle \vdash }$, lo cual es una consecuencia dentro de la teoría de objetos, y${\displaystyle \implies }$, que es una consecuencia en la metateoría. Una teoría es ω-completa si puede realizar esta consecuencia dentro de la teoría de objetos, en lugar de realizarla fuera en la metateoría.

Es posible que una teoría sea ω-incompleta, porque la teoría puede tener un modelo.${\displaystyle {\mathcal {M}}}$con enteros no estándar . En el modelo, podemos tener${\displaystyle {\mathcal {M}}\models \varphi ({\bar {0}}),{\mathcal {M}}\models \varphi ({\bar {1}}),\dots }$, pero no obstante tienen${\displaystyle {\mathcal {M}}\not \models \varphi (c)}$para un determinado número entero no estándar${\displaystyle c}$en el modelo.

Un ejemplo débil estándar es la aritmética de Robinson.${\displaystyle Q}$. Demuestra cada instancia de${\displaystyle 0+{\bar {n}}={\bar {n}}}$, mientras que la oración universal${\displaystyle \forall x(0+x=x)}$va más allá de sus teoremas. Esto se puede demostrar computacionalmente construyendo un modelo no estándar computable de${\displaystyle Q}$, en el cual${\displaystyle 0+c\neq 0}$para un elemento entero no estándar${\displaystyle c}$. Respectivamente,${\displaystyle Q}$es ω-incompleto. ^{[ 2 ]}

La aritmética de Peano corrige muchos fallos débiles de ese tipo, pero los argumentos de incompletitud estándar siguen produciendo ω-incompletitud bajo la suposición de consistencia habitual. En particular, el segundo teorema de incompletitud de Gödel proporciona un ejemplo. Consideremos una numeración de Gödel de todas las demostraciones en PA, y sea${\displaystyle \varphi ({\bar {n}})}$significa "Si el número${\displaystyle n}$es una prueba válida en PA, entonces su conclusión no lo es${\displaystyle 0=1}$". Entonces,${\displaystyle PA\vdash \varphi ({\bar {0}}),PA\vdash \varphi ({\bar {1}}),\dots }$, pero${\displaystyle PA\not \vdash \forall x\varphi (x)}$por incompletitud. Este argumento se aplica a cualquier teoría axiomatizada recursivamente que contenga PA. ^{[ 3 ]}

La ω-completitud está estrechamente relacionada con la ω-consistencia . Una teoría es ω-consistente cuando ninguna fórmula${\displaystyle \psi (x)}$produce ambas la oración existencial${\displaystyle \exists x\,\psi (x)}$y cada instancia numérica${\displaystyle \neg \psi ({\bar {n}})}$. ^{[ 2 ]} Las dos nociones marcan diferentes patrones sintácticos en el estudio de las teorías formales.

Según el teorema de completitud , una teoría consistente es ω-incompleta si y solo si puede extenderse a una teoría consistente pero ω-inconsistente.

La ω-completitud también está relacionada con la regla ω ,$${\displaystyle A(0),A(1),A(2),\ldots \;\Rightarrow \;\forall n\,A(n).}$$Los sistemas de prueba que utilizan la regla ω incorporan directamente en el sistema de prueba el paso desde todas las instancias numéricas hasta la conclusión universal.

• Teoremas de incompletitud de Gödel
• Aritmética de Peano
• consistencia ω
• regla ω

• "Teoremas de incompletitud de Gödel" . Enciclopedia de filosofía de Stanford . 8 de octubre de 2025. Consultado el 17 de abril de 2026 .
• Hájek, Petr; Pudlák, Pavel (1993). Metamatemáticas de la aritmética de primer orden . Berlín: Springer.