*-álgebra

En matemáticas , y más específicamente en álgebra abstracta , un *-álgebra (o álgebra involutiva ; se lee como "álgebra estrella") es una estructura matemática que consta de dos anillos involutivos $R$ y $A$ , donde $R$ es conmutativo y $A$ tiene la estructura de un álgebra asociativa sobre $R.$ Las álgebras involutivas generalizan la idea de un sistema numérico dotado de conjugación, por ejemplo, los números complejos y la conjugación compleja , las matrices sobre los números complejos y la transpuesta conjugada , y los operadores lineales sobre un espacio de Hilbert y los adjuntos hermíticos . Sin embargo, puede ocurrir que un álgebra no admita involución . ^{[ a ]}

Definiciones

*-anillo

En matemáticas , un *-anillo es un anillo $A$ con una aplicación $* : A \to A$ que es un antiautomorfismo y una involución .

Más precisamente, $*$ debe satisfacer las siguientes propiedades: ^{[ 1 ]}

$(x + y)* = x * + y *$
$(x y)* = y * x *$
$1* = 1$
$(x *)* = x$

para todo $x, y$ en $A.$

También se le denomina anillo involutivo , anillo involutorio y anillo con involución . El tercer axioma se deduce del segundo y cuarto axiomas, lo que lo hace redundante.

Los elementos tales que $x * = x$ se denominan autoadjuntos . ^{[ 2 ]}

Ejemplos arquetípicos de un *-anillo son los cuerpos de números complejos y números algebraicos con la conjugación compleja como involución. Se puede definir una forma sesquilineal sobre cualquier *-anillo.

Además, se pueden definir *-versiones de objetos algebraicos, como ideales y subanillos , con el requisito de ser * -invariantes : $x \in I \Rightarrow x * \in I$ y así sucesivamente.

*-rings are unrelated to star semirings in the theory of computation.

*-algebra

A *-algebra $A$ is a *-ring,^[b] with involution * that is an associative algebra over a commutative *-ring $R$ with involution $'$ , such that $(r x)* = r' x * \forall r \in R, x \in A$ .^[3]

The base *-ring $R$ is often the complex numbers (with $'$ acting as complex conjugation).

It follows from the axioms that * on $A$ is conjugate-linear in $R$ , meaning

(λ x + μ y)* = λ' x * + μ' y *

for $λ, μ \in R, x, y \in A$ .

A *-homomorphism $f : A \to B$ is an algebra homomorphism that is compatible with the involutions of $A$ and $B$ , i.e.,

$f (a *) = f (a)*$ for all $a$ in $A$ .^[2]

Philosophy of the *-operation

The *-operation on a *-ring is analogous to complex conjugation on the complex numbers. The *-operation on a *-algebra is analogous to taking adjoints in complex matrix algebras.

Notation

The * involution is a unary operation written with a postfixed star glyph centered above or near the mean line:

x \mapsto x *

, or

x \mapsto x *

(TeX: x^*),

but not as " $x *$ "; see the asterisk article for details.

Examples

Any commutative ring becomes a *-ring with the trivial (identical) involution.
The most familiar example of a *-ring and a *-algebra over reals is the field of complex numbers $C$ where * is just complex conjugation.
En términos más generales, una extensión de cuerpo realizada mediante la adición de una raíz cuadrada (como la unidad imaginaria √ −1 ) es un *-álgebra sobre el cuerpo original, considerado como un *-anillo trivial. El * invierte el signo de esa raíz cuadrada.
Un anillo entero cuadrático (para algún $D$ ) es un *-anillo conmutativo con el * definido de manera similar; los cuerpos cuadráticos son *-álgebras sobre anillos enteros cuadráticos apropiados.
Los cuaterniones , los números complejos divididos , los números duales y posiblemente otros sistemas de números hipercomplejos forman *-anillos (con su operación de conjugación incorporada) y *-álgebras sobre los números reales (donde * es trivial). Ninguno de los tres es un álgebra compleja.
Los cuaterniones de Hurwitz forman un *-anillo no conmutativo con la conjugación de cuaterniones.
El álgebra matricial de matrices $n \times n$ sobre R con * dada por la transposición .
El álgebra matricial de matrices $n \times n$ sobre C con * dada por la transpuesta conjugada .
Su generalización, el adjunto hermitiano en el álgebra de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert , también define un *-álgebra.
El anillo de polinomios $R [x]$ sobre un anillo trivialmente *-conmutativo $R$ es un *-álgebra sobre $R$ con $P *(x) = P (- x)$ .
Si ( A , +, ×, *) es simultáneamente un *-anillo, un álgebra sobre un anillo R (conmutativa) y ( r x )* = r ( x *) ∀ r ∈ R , x ∈ A , entonces A es un *-álgebra sobre R (donde * es trivial).
- Como caso parcial, cualquier *-anillo es un *-álgebra sobre enteros .
Cualquier *-anillo conmutativo es un *-álgebra sobre sí mismo y, más generalmente, sobre cualquier *-subanillo suyo .
Para un *-anillo conmutativo R , su cociente por cualquier *-ideal es un * -álgebra sobre R.
- Por ejemplo, cualquier anillo trivialmente conmutativo * es un *-álgebra sobre su anillo de números duales , un *-anillo con * no trivial , porque el cociente por $ε = 0$ hace que el anillo original.
- Lo mismo ocurre con un anillo conmutativo $K$ y su anillo de polinomios $K [x]$ : el cociente por $x = 0$ restaura $K$ .
En álgebra de Hecke , una involución es importante para el polinomio de Kazhdan-Lusztig .
El anillo de endomorfismo de una curva elíptica se convierte en un *-álgebra sobre los enteros, donde la involución viene dada por la isogenia dual . Una construcción similar funciona para variedades abelianas con una polarización , en cuyo caso se denomina involución de Rosati (véanse las notas de clase de Milne sobre variedades abelianas).

Las álgebras de Hopf involutivas son ejemplos importantes de *-álgebras (con la estructura adicional de una comultiplicación compatible ); el ejemplo más conocido es:

El álgebra de Hopf de grupo : un anillo de grupo , con involución dada por $g \mapsto g -1$ .

No ejemplo

No todas las ramas del álgebra admiten una involución:

Consideremos las matrices de 2×2 sobre los números complejos. Consideremos la siguiente subálgebra: ${\mathcal {A}}:=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}:a,b\in \mathbb {C} \right\}$

Cualquier antiautomorfismo no trivial necesariamente tiene la forma: ^{[ 4 ]} $\varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}1&z\\0&0\end{pmatrix}}\quad \varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$ para cualquier número complejo $z\in \mathbb {C}$ .

De ello se deduce que cualquier antiautomorfismo no trivial no es involutivo: $\varphi _{z}^{2}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$

Concluyendo que la subálgebra no admite involución.

Estructuras adicionales

Muchas propiedades de la transpuesta se cumplen para *-álgebras generales:

Los elementos hermíticos forman un álgebra de Jordan ;
Los elementos hermíticos sesgados forman un álgebra de Lie ;
Si 2 es invertible en el *-anillo, entonces los operadores $⁠ 1 / 2 ⁠ (1 + *)$ y $⁠$ $1$ $/$ $2$ $⁠$ $(1 - *)$ son idempotentes ortogonales , ^[²^] llamados simetrizantes y antisimetrizantes , por lo que el álgebra se descompone como una suma directa de módulos ( espacios vectoriales si el *-anillo es un cuerpo) de elementos simétricos y antisimétricos (hermíticos y antihermíticos). Estos espacios no forman, en general, álgebras asociativas, porque los idempotentes son operadores , no elementos del álgebra.

Estructuras sesgadas

Dado un *-anillo, también existe la aplicación $-* : x \mapsto - x *$ . No define una estructura de *-anillo (a menos que la característica sea 2, en cuyo caso −* es idéntica a la * original), como $1 \mapsto -1$ , ni es antimultiplicativa, pero satisface los otros axiomas (lineal, involución) y por lo tanto es bastante similar al *-álgebra donde $x \mapsto x *$ .

Los elementos fijados por este mapa (es decir, tales que $a = - a *$ ) se denominan hermíticos asimétricos .

Para los números complejos con conjugación compleja, los números reales son los elementos hermíticos y los números imaginarios son los elementos hermíticos antisimétricos.

Véase también

Notas

↑ En este contexto,se entiende por involución un antiautomorfismo involutivo, también conocido como anti-involución .
↑ La mayoría de las definiciones no requieren que un *-álgebra tenga la unidad , es decir, un *-álgebra solo puede ser un * -rng .

Referencias

^ Weisstein, Eric W. (2015). "Álgebra C-Star" . Wolfram MathWorld .
1 2 3 Baez, John (2015). "Octoniones" . Departamento de Matemáticas . Universidad de California, Riverside. Archivado del original el 26 de marzo de 2015. Recuperado el 27 de enero de 2015 .
↑ álgebra estrella en el laboratorio n
↑ Winker, SK; Wos, L.; Lusk, EL (1981). "Semigrupos, antiautomorfismos e involuciones: una solución computacional a un problema abierto, I" . Matemáticas de la Computación . 37 (156): 533– 545. doi : 10.2307/2007445 . ISSN 0025-5718 .

[1] En este contexto,se entiende por involución un antiautomorfismo involutivo, también conocido como anti-involución .

[4] La mayoría de las definiciones no requieren que un *-álgebra tenga la unidad , es decir, un *-álgebra solo puede ser un * -rng .

[2] Weisstein, Eric W. (2015). "Álgebra C-Star" . Wolfram MathWorld .

[:0-3] 1 2 3 Baez, John (2015). "Octoniones" . Departamento de Matemáticas . Universidad de California, Riverside. Archivado del original el 26 de marzo de 2015. Recuperado el 27 de enero de 2015 .

[5] álgebra estrella en el laboratorio n

[6] Winker, SK; Wos, L.; Lusk, EL (1981). "Semigrupos, antiautomorfismos e involuciones: una solución computacional a un problema abierto, I" . Matemáticas de la Computación . 37 (156): 533– 545. doi : 10.2307/2007445 . ISSN 0025-5718 .

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