Límite (música)

Para un número impar positivo n , el límite impar n contiene todos los números racionales tales que el mayor número impar que divide al numerador o al denominador no es mayor que n .

En Genesis of a Music , Harry Partch consideró racionales de entonación justa según el tamaño de sus numeradores y denominadores, módulo octavas. ^{[ 3 ]} Dado que las octavas corresponden a factores de 2, la complejidad de cualquier intervalo puede medirse simplemente por el factor impar más grande en su razón.

Cada uno de los números impares , incluidos los que se encuentran por debajo del límite (impar) en una afinación, constituye una identidad . Por ejemplo, las identidades incluidas en la afinación de límite 5 son 1, 3 y 5. Cada número impar representa una nueva altura en la serie armónica y, por lo tanto, puede considerarse una identidad.

C C G C E G B C D E F G ... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...

Según Partch: «El número 9, aunque no es primo , es, sin embargo, una identidad en la música, simplemente porque es un número impar». ^{[ 4 ]} Partch define «identidad» como «uno de los correlativos, ' mayor ' o ' menor ', en una tonalidad ; uno de los componentes impares, uno, varios o todos los cuales actúan como polo de la tonalidad». ^{[ 5 ]}

Odentity y udentity son abreviaturas de sobreidentidad e infraidentidad , respectivamente. ^{[ 6 ]} Según el productor de software musical Tonalsoft: "Una udentity es una identidad de una utonalidad ". ^{[ 7 ]}

Para un número primo n , el límite de n primos contiene todos los números racionales que se pueden factorizar usando primos no mayores que n . En otras palabras, es el conjunto de racionales con numerador y denominador ambos n - suaves .

Ajuste de límite p. Dado un número primo p , el subconjunto de${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}}$que consiste en aquellos números racionales x cuya factorización prima tiene la forma ${\displaystyle x=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}...p_{r}^{\alpha _{r}}}$con${\displaystyle p_{1},...,p_{r}\leq p}$forma un subgrupo de (${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+},\cdot }$). ... Decimos que una escala o sistema de afinación utiliza afinación de límite p si todas las relaciones de intervalos entre tonos se encuentran en este subgrupo. ^{[ 8 ]}

In the late 1970s, a new genre of music began to take shape on the West coast of the United States, known as the American gamelan school. Inspired by Indonesian gamelan, musicians in California and elsewhere began to build their own gamelan instruments, often tuning them in just intonation. The central figure of this movement was the American composer Lou Harrison. Unlike Partch, who often took scales directly from the harmonic series, the composers of the American Gamelan movement tended to draw scales from the just intonation lattice, in a manner like that used to construct Fokker periodicity blocks. Such scales often contain ratios with very large numbers, that are nevertheless related by simple intervals to other notes in the scale.

Prime-limit tuning and intervals are often referred to using the term for the numeral system based on the limit. For example, 7-limit tuning and intervals are called septimal, 11-limit is called undecimal, and so on.