142857

142.857 es el número natural que sigue a 142.856 y precede a 142.858. Es a la vez un número de Kaprekar y un número cíclico . ^{[ 1 ]}

^{142857 es el} número cíclico ^más conocido en base 10, siendo los seis ^dígitos repetidos de 1/7 ( 0,142857 ) . ^{[ 2 ]} [ ^{3 ] [} 4 ^{] [} 5 ^]

Si 142857 se multiplica por 2, 3, 4, 5 o 6, la respuesta será una permutación cíclica de sí mismo y corresponderá a los dígitos repetidos de ⁠ 2 / 7 ⁠ , ⁠ 3 / 7 ⁠ , ⁠ 4 / 7 ⁠ , ⁠ 5 / 7 ⁠ o ⁠ 6 / 7 ⁠ respectivamente:

1 × 142.857 = 142.857

2 × 142.857 = 285.714

3 × 142.857 = 428.571

4 × 142.857 = 571.428

5 × 142.857 = 714.285

6 × 142.857 = 857.142

7 × 142.857 = 999.999

Si se multiplica por un número entero mayor que 7, existe un proceso sencillo para obtener una permutación cíclica de 142857. Al sumar los seis dígitos más a la derecha (de las unidades a las centenas de millar) a los dígitos restantes y repetir este proceso hasta que solo queden seis dígitos, se obtendrá una permutación cíclica de 142857:

142857 × 8 = 1142856

1 + 142856 = 142857

142857 × 815 = 116428455

116 + 428455 = 428571

142857 ² = 142857 × 142857 = 20408122449

20408 + 122449 = 142857

Multiplicar por un múltiplo de 7 dará como resultado 999999 mediante este proceso:

142857 × 7 ⁴ = 342999657

342 + 999657 = 999999

Si elevas al cuadrado los últimos tres dígitos y restas el cuadrado de los tres primeros dígitos, también obtienes una permutación cíclica del número.

857 ² = 734449

142 ² = 20164

734449 − 20164 = 714285

Es la parte que se repite en la expansión decimal del número racional 1/7 = 0,142857 . Por lo tanto , los múltiplos de 1/7 son simplemente copias repetidas de los múltiplos correspondientes de 142857 :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{7}}&=0.{\overline {142857}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {2}{7}}&=0.{\overline {285714}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {3}{7}}&=0.{\overline {428571}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {4}{7}}&=0.{\overline {571428}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {5}{7}}&=0.{\overline {714285}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {6}{7}}&=0.{\overline {857142}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {7}{7}}&=0.{\overline {999999}}\ldots =1\\[3pt]{\tfrac {8}{7}}&=1.{\overline {142857}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {9}{7}}&=1.{\overline {285714}}\ldots \\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}}$

La secuencia numérica 142857 se utiliza en la figura del eneagrama , un símbolo del Trabajo de Gurdjieff que se emplea para explicar y visualizar la dinámica de la interacción entre las dos grandes leyes del Universo (según G.I. Gurdjieff ): la Ley del Tres y la Ley del Siete . El movimiento de los números 142857 divididos por 1/7 , 2/7 , etc. , y el movimiento subsiguiente del eneagrama, se representan en las danzas sagradas de Gurdjieff , conocidas como los movimientos . ^{[ 6 ]}

La secuencia numérica 142857 también se encuentra en varios decimales en los que el denominador tiene un factor de 7. En los ejemplos siguientes, los numeradores son todos 1, sin embargo, hay casos en los que no tiene por qué ser así, como ⁠ 2 / 7 ⁠ (0. 285714 ).

Por ejemplo, considere las fracciones y los valores decimales equivalentes que se enumeran a continuación:

1 / 7 = 0,142857...​​

1 / 14 = 0,0714285...​​

1 / 28 = 0,03571428...​​

1 / 35 = 0,0285714...​​

1 / 56 = 0,017857142...​​

1 / 70 = 0,0 142857 ...​

Los decimales anteriores siguen la secuencia rotacional 142857. Hay fracciones cuyo denominador tiene un factor de 7, como 1/21 y 1/42 , que no siguen esta secuencia y tienen otros valores en sus dígitos decimales .