Individualmente y doblemente iguales

El objetivo del juego de dardos es alcanzar una puntuación de 0, por lo que el jugador con la puntuación más baja tiene más posibilidades de ganar. Al comienzo de una ronda, "menor" tiene el significado habitual de valor absoluto , y la estrategia básica es apuntar a las zonas de mayor valor en la diana y conseguir tantos puntos como sea posible. Al final de una ronda, dado que se necesita un doblete para ganar, el valor absoluto 2-ádico se convierte en la medida relevante. Con cualquier puntuación impar, por pequeña que sea su valor absoluto, se necesitan al menos dos dardos para ganar. Cualquier puntuación par entre 2 y 40 se puede conseguir con un solo dardo, y 40 es una puntuación mucho más deseable que 2, debido a los efectos de fallar.

Un error común al apuntar al doble anillo es golpear un simple en su lugar y dividir accidentalmente la puntuación a la mitad. Con una puntuación de 22 (un número par simple), se tiene un tiro de juego para el doble 11. Si se golpea el simple 11, la nueva puntuación es 11, que es impar, y se necesitarán al menos dos dardos más para recuperarse. Por el contrario, al apuntar al doble 12, se puede cometer el mismo error pero aún así tener 3 tiros de juego seguidos: D12, D6 y D3. Generalmente, con una puntuación de n < 42 , se tienen ν ₂ ( n ) de esos tiros de juego. Por eso 32 = 2 ⁵ es una puntuación tan deseable: se divide 5 veces. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

La demostración clásica de que la raíz cuadrada de 2 es irracional se basa en el descenso infinito . Generalmente, esta parte del descenso se abstrae asumiendo (o demostrando) la existencia de representaciones irreducibles de números racionales . Un enfoque alternativo consiste en aprovechar la existencia del operador _{ν² .}

Supongamos por contradicción que

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {a}{b}},}$

donde a y b son números naturales distintos de cero. Eleva al cuadrado ambos lados de la igualdad y aplica el operador de valoración de segundo orden ν ₂ a 2 b ² = a ² :

${\displaystyle \nu _{2}\left(2b^{2}\right)=\nu _{2}\left(a^{2}\right)}$

${\displaystyle \nu _{2}\left(b^{2}\right)+1=\nu _{2}\left(a^{2}\right)}$

${\displaystyle 2\nu _{2}(b)+1=2\nu _{2}(a)}$

${\displaystyle \nu _{2}(a)-\nu _{2}(b)={\frac {1}{2}}}$

Dado que las valoraciones de segundo orden son números enteros, la diferencia no puede ser igual al número racional.${\textstyle {\frac {1}{2}}}$Por contradicción, por lo tanto, √2 no es un número racional .

Más concretamente, dado que la valoración de 2 b ² es impar, mientras que la valoración de a ² es par, deben ser enteros distintos, de modo que${\displaystyle \left|2b^{2}-a^{2}\right|\geq 1}$Un cálculo sencillo proporciona entonces un límite inferior de${\textstyle {\frac {1}{3b^{2}}}}$por la diferencia${\displaystyle \left|{\sqrt {2}}-a/b\right|}$, lo que proporciona una prueba directa de irracionalidad sin depender de la ley del tercero excluido . ^{[ 6 ]}

En topología geométrica , muchas propiedades de las variedades dependen únicamente de su dimensión módulo 4 o módulo 8; por lo tanto, a menudo se estudian variedades de dimensión par simple y doble (4k + 2 y 4k ) como clases. Por ejemplo, las variedades de dimensión par doble tienen una forma bilineal no degenerada simétrica en su grupo de cohomología de dimensión media , que por lo tanto tiene una signatura de valor entero . Por el contrario, las variedades de dimensión par simple tienen una forma bilineal no degenerada antisimétrica en su dimensión media; si se define un refinamiento cuadrático de esta a una forma cuadrática (como en una variedad enmarcada ), se obtiene el invariante de Arf como un invariante módulo 2. Las variedades de dimensión impar, por el contrario, no tienen estos invariantes, aunque en la teoría de cirugía algebraica se pueden definir invariantes más complicados. Esta periodicidad cuádruple y octavés en la estructura de las variedades está relacionada con la periodicidad cuádruple de la teoría L y la periodicidad octavés de la teoría K topológica real , que se conoce como periodicidad de Bott .

Si una variedad de espín suave orientada y compacta tiene dimensión n ≡ 4 mod 8 , o ν ₂ ( n ) = 2 exactamente, entonces su signatura es un múltiplo entero de 16. ^{[ 7 ]}

Un número par simple no puede ser un número potente . No puede representarse como la diferencia de dos cuadrados . Sin embargo, un número par simple puede representarse como la diferencia de dos números prónicos o de dos números potentes. ^{[ 8 ]}

En teoría de grupos , es relativamente sencillo ^{[ 9 ]} demostrar que el orden de un grupo simple finito no abeliano no puede ser un número par único. De hecho, según el teorema de Feit-Thompson , tampoco puede ser impar, por lo que todo grupo de este tipo tiene un orden doblemente par.

La fracción continua de Lambert para la función tangente da la siguiente fracción continua simple que involucra los números pares positivos: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \tanh {\frac {1}{2}}={\frac {e-1}{e+1}}=0+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}$

Esta expresión conduce a representaciones similares de e . ^{[ 11 ]}

En química orgánica , la regla de Hückel , también conocida como la regla 4n + 2, predice que un sistema de enlace π cíclico que contiene un número par de electrones p será aromático . ^{[ 12 ]}