rotación 2D

Por ejemplo, cuando el vector (inicialmente alineado con el eje x del sistema de coordenadas cartesianas ) $${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}}}$$ se rota un ángulo θ , sus nuevas coordenadas son $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \\\end{bmatrix}},}$$

y cuando el vector (inicialmente alineado con el eje y del sistema de coordenadas) $${\displaystyle \mathbf {\hat {y}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\\end{bmatrix}}}$$ se rota un ángulo θ , sus nuevas coordenadas son $${\displaystyle {\begin{bmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\\end{bmatrix}}.}$$

El sentido o "dirección" de la rotación vectorial (que no debe confundirse con la dirección vectorial ) es en sentido antihorario si θ es positivo (por ejemplo, 90°) y en sentido horario si θ es negativo (por ejemplo, −90°) para${\displaystyle R(\theta )}$. Por lo tanto, la matriz de rotación en sentido horario se encuentra como (reemplazando θ con -θ y utilizando la simetría trigonométrica de${\textstyle \sin(-\theta )=-\sin(\theta )}$y${\textstyle \cos(-\theta )=\cos(\theta )}$) $${\displaystyle R(-\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}.}$$

Una convención alternativa utiliza ejes giratorios (en lugar de girar un vector), ^{[ 2 ]} y las matrices anteriores también representan una rotación de los ejes en el sentido de las agujas del reloj a través de un ángulo θ .

El caso bidimensional es el único caso no trivial en el que el grupo de matrices de rotación es conmutativo; no importa el orden en que se realicen las rotaciones. En el caso tridimensional, por ejemplo, un orden diferente de rotaciones múltiples produce un resultado distinto (por ejemplo, rotar teléfonos móviles sobre el eje z y luego sobre el eje y no es lo mismo que rotarlos sobre el eje y y luego sobre el eje z ).

Si se utiliza un sistema de coordenadas cartesianas estándar diestro , con el eje x hacia la derecha y el eje y hacia arriba, la rotación R ( θ ) es en sentido antihorario. Si se utiliza un sistema de coordenadas cartesianas zurdo, con el eje x hacia la derecha y el eje y hacia abajo, R ( θ ) es en sentido horario. Estas orientaciones no estándar rara vez se utilizan en matemáticas, pero son comunes en gráficos por computadora 2D , que a menudo tienen el origen en la esquina superior izquierda y el eje y hacia abajo en la pantalla o página. ^{[ 3 ]}

Consulte a continuación otras convenciones alternativas que pueden cambiar el sentido de la rotación producida por una matriz de rotación.

Matrices $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\[3pt]0&1\\\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}0&-1\\[3pt]1&0\\\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}-1&0\\[3pt]0&-1\\\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}0&1\\[3pt]-1&0\\\end{bmatrix}}}$$ son matrices de rotación 2D que corresponden a rotaciones en sentido antihorario de ángulos respectivos de 0°, 90°, 180° y 270°.

Las matrices de la forma $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&-y\\y&x\end{bmatrix}}}$$forman un anillo , puesto que su conjunto es cerrado bajo la suma y la multiplicación. Dado que $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}^{2}\ =\ {\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\ =-I}$$ (dónde${\textstyle I}$es la matriz identidad ), el mapa $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&-y\\y&x\end{bmatrix}}=x{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+y{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\mapsto x+iy}$$ (dónde${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}}$corresponde a${\displaystyle i}$) es un isomorfismo de anillo de este anillo al cuerpo de los números complejos .${\displaystyle \mathbb {C} }$( Por cierto, esto demuestra que este anillo es un cuerpo). Bajo este isomorfismo, las matrices de rotación${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\\\end{bmatrix}}=\cos t{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+\sin t{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}}$corresponden al círculo de los números complejos unitarios , los números complejos de módulo 1 , ya que${\displaystyle \cos t^{2}+\sin t^{2}=1}$. Como resultado, se cumple la siguiente igualdad:$${\displaystyle e^{it}=\cos t+i\sin t=\cos t{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+\sin t{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix}}}$$donde la primera igualdad es la fórmula de Euler , la matriz${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$corresponde a 1, y la matriz${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}}$corresponde a la unidad imaginaria${\textstyle i}$.

Si uno identifica${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$con${\displaystyle \mathbb {C} }$a través del isomorfismo lineal${\displaystyle (a,b)\mapsto a+ib}$, dónde${\displaystyle (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}}$y${\displaystyle a+ib\in \mathbb {C} }$, la acción de una matriz${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&-y\\y&x\end{bmatrix}}}$en un vector${\displaystyle (a,b)}$corresponde a la multiplicación por el número complejo${\displaystyle a+ib}$por x + iy . En otras palabras, una rotación vectorial corresponde a la multiplicación de un número complejo (que corresponde al vector que se rota) por un número complejo de módulo 1 (que corresponde a la matriz de rotación).