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Problema de los tres cuerpos

Trayectorias aproximadas de tres cuerpos idénticos situados en los vértices de un triángulo escaleno y con velocidad inicial cero. El centro de masas , de acuerdo con la ley de ...

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Trayectorias aproximadas de tres cuerpos idénticos situados en los vértices de un triángulo escaleno y con velocidad inicial cero. El centro de masas , de acuerdo con la ley de conservación del momento lineal , permanece en su lugar.

En física , específicamente en mecánica clásica , el problema de los tres cuerpos consiste en tomar las posiciones y velocidades iniciales (o momentos ) de tres masas puntuales que orbitan entre sí en el espacio y luego calcular sus trayectorias subsiguientes utilizando las leyes del movimiento de Newton y la ley de gravitación universal de Newton . [ 1 ]

A diferencia del problema de dos cuerpos , el problema de tres cuerpos no tiene una solución analítica general en forma cerrada . [ 1 ] Las ecuaciones diferenciales que rigen los movimientos de tres cuerpos gravitantes no son integrables y no se pueden resolver para dar fórmulas explícitas para las posiciones de los cuerpos en función del tiempo . Para la mayoría de las condiciones iniciales , el sistema dinámico para tres cuerpos en órbita es caótico , y la única forma de predecir sus movimientos es estimarlos usando métodos numéricos .

El problema de los tres cuerpos es un caso especial del problema de los n cuerpos . Históricamente, el primer problema específico de los tres cuerpos que recibió un estudio extenso fue el que involucraba a la Tierra , la Luna y el Sol . [ 2 ] [ 3 ] En un sentido moderno extendido, un problema de los tres cuerpos es cualquier problema en mecánica clásica o mecánica cuántica que modela el movimiento de tres partículas.

Descripción matemática

La formulación matemática del problema de los tres cuerpos se puede expresar en términos de las ecuaciones de movimiento newtonianas para posiciones vectoriales. ri=(incógnitai,yi,zi) {\displaystyle \ \mathbf {r} _{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})\ }de tres cuerpos que interactúan gravitacionalmente con masasmetroi{\displaystyle m_{i}}: r¨1=−GRAMOmetro2(r1−r2) |r1−r2|3−GRAMOmetro3(r1−r3) |r1−r3|3 ,r¨2=−GRAMOmetro3(r2−r3) |r2−r3|3−GRAMOmetro1(r2−r1) |r2−r1|3 ,r¨3=−GRAMOmetro1(r3−r1) |r3−r1|3−GRAMOmetro2(r3−r2) |r3−r2|3 .{\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}&=-Gm_{2}{\frac {\left(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\right)}{\ \left|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\right|^{3}}}-Gm_{3}{\frac {\left(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3}\right)}{\ \left|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3}\right|^{3}}}\ ,\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}&=-Gm_{3}{\frac {\left(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{3}\right)}{\ \left|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{3}\right|^{3}}}-Gm_{1}{\frac {\left(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\right)}{\ \left|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\right|^{3}}}\ ,\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{3}&=-Gm_{1}{\frac {\left(\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{1}\right)}{\ \left|\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{1}\right|^{3}}}-Gm_{2}{\frac {\left(\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{2}\right)}{\ \left|\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{2}\right|^{3}}}~.\end{aligned}}}dónde GRAMO {\displaystyle \ G\ }es la constante gravitacional .

Como describe el astrónomo Juhan Frank, "Estas tres ecuaciones diferenciales vectoriales de segundo orden son equivalentes a 18  ecuaciones diferenciales escalares de primer orden". [ 4 ] Como señala June Barrow-Green con respecto a una presentación alternativa, siPAGi{\displaystyle P_{i}}representan tres partículas con masasmetroi{\displaystyle m_{i}}, distancias PAGiPAGj=rij ,{\displaystyle \ P_{i}P_{j}=r_{ij}\ ,}y coordenadas qij {\displaystyle \ q_{ij}\ } (i,j=1,2,3) {\displaystyle \ (i,j=1,2,3)\ }en un sistema de coordenadas inerciales... el problema se describe mediante nueve ecuaciones diferenciales de segundo orden. [ 5 ] : 8

El problema también puede plantearse de forma equivalente en el formalismo hamiltoniano , en cuyo caso se describe mediante un conjunto de 18  ecuaciones diferenciales de primer orden, una para cada componente de las posiciones. ri {\displaystyle \ \mathbf {r} _{i}\ }y momentos pagi {\displaystyle \ \mathbf {p} _{i}\ }: [ 6 ]d rid t=∂ H∂ pagi ,d pagid t=−∂ H∂ ri ,{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \ \mathbf {r} _{i}}{\mathrm {d} \ t}}={\frac {\partial \ {\mathcal {H}}}{\partial \ \mathbf {p} _{i}}}\ ,\qquad {\frac {\mathrm {d} \ \mathbf {p} _{i}}{\mathrm {d} \ t}}=-{\frac {\partial \ {\mathcal {H}}}{\partial \ \mathbf {r} _{i}}}\ ,} dóndeH{\displaystyle {\mathcal {H}}}es el hamiltoniano :H = −GRAMOmetro1metro2|r1−r2| − GRAMOmetro2metro3|r3−r2| − GRAMOmetro3metro1|r3−r1| + |pag1|22metro1 + |pag2|22metro2 + |pag3|22metro3 .{\displaystyle {\mathcal {H}}\ =\ -{\frac {Gm_{1}m_{2}}{\left|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\right|}}\ -\ {\frac {Gm_{2}m_{3}}{\left|\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{2}\right|}}\ -\ {\frac {Gm_{3}m_{1}}{\left|\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{1}\right|}}\ +\ {\frac {\left|\mathbf {p} _{1}\right|^{2}}{2m_{1}}}\ +\ {\frac {\left|\mathbf {p} _{2}\right|^{2}}{2m_{2}}}\ +\ {\frac {\left|\mathbf {p} _{3}\right|^{2}}{2m_{3}}}~.}

En este caso,H{\displaystyle {\mathcal {H}}}es simplemente la energía total del sistema, gravitacional más cinética.

Problema restringido de tres cuerpos

El problema restringido circular de tres cuerpos

En la formulación restringida del problema de tres cuerpos , en la descripción de Barrow-Green, [ 5 ] : 11–14

Dos cuerpos giran alrededor de su centro de masa en órbitas circulares bajo la influencia de su atracción gravitatoria mutua, y forman un sistema de dos cuerpos cuyo movimiento es conocido. Un tercer cuerpo (generalmente conocido como planetoide), que se supone sin masa con respecto a los otros dos, se mueve en el plano definido por los dos cuerpos en rotación y, si bien está influenciado gravitatoriamente por ellos, no ejerce ninguna influencia propia. [ 5 ] : 11

Según Barrow-Green, "[e]l problema consiste entonces en determinar el movimiento del tercer cuerpo." [ 5 ] : 11

El problema restringido de los tres cuerpos es más fácil de analizar teóricamente que el problema completo. También tiene interés práctico, ya que describe con precisión muchos problemas del mundo real, siendo el ejemplo más importante el sistema Tierra-Luna-Sol. Por estas razones, ha desempeñado un papel importante en el desarrollo histórico del problema de los tres cuerpos. [ 7 ]

El problema restringido de tres cuerpos tiene un espacio de fase de cuatro dimensiones , pero solo una cantidad conservada : la integral de Jacobi . [ 8 ] Heinrich Bruns demostró que no existen más cantidades conservadas algebraicas , y Henri Poincaré, en 1889, demostró que no existen más cantidades conservadas analíticas . [ 8 ] Por lo tanto, dado que la dimensión del espacio de fase es mayor que el número de constantes de movimiento , el sistema no es exactamente soluble ; de ​​hecho, es caótico. [ 8 ]

Dependiendo del valor de la integral de Jacobi , un cuerpo que inicialmente orbita la masa mayor puede ser capturado por la masa secundaria o ser eyectado a través de los puntos de Lagrange L 2 o L 3. [ 9 ]

Una variante de este problema, donde ambos cuerpos grandes ejercen presión de radiación , resulta en la adición de cuatro puntos de equilibrio adicionales además de los cinco puntos de Lagrange clásicos . [ 10 ]

Soluciones

Solución general

Si bien un sistema de 3 cuerpos que interactúan gravitacionalmente es caótico , un sistema de 3 cuerpos que interactúan elásticamente no lo es.

No existe una solución general en forma cerrada para el problema de los tres cuerpos. [ 1 ] En otras palabras, no tiene una solución general que pueda expresarse en términos de un número finito de operaciones matemáticas estándar. Además, el movimiento de tres cuerpos generalmente no es repetitivo, excepto en casos especiales. [ 11 ]

Sin embargo, en 1912 el matemático finlandés Karl Fritiof Sundman demostró que existe una solución analítica al problema de los tres cuerpos en forma de una serie de Puiseux , específicamente una serie de potencias en términos de potencias de t 1/3 . [ 12 ] Esta serie converge para todo t real , excepto para condiciones iniciales correspondientes a momento angular cero . En la práctica, esta última restricción es insignificante ya que las condiciones iniciales con momento angular cero son raras, teniendo medida de Lebesgue cero.

Un aspecto importante para demostrar este resultado es que el radio de convergencia de esta serie está determinado por la distancia a la singularidad más cercana . Por lo tanto, es necesario estudiar las posibles singularidades del problema de los tres cuerpos. Como se explica brevemente más adelante, las únicas singularidades en el problema de los tres cuerpos son las colisiones binarias (colisiones entre dos partículas en un instante) y las colisiones triples (colisiones entre tres partículas en un instante).

Las colisiones de cualquier tipo son poco probables, ya que se ha demostrado que corresponden a un conjunto de condiciones iniciales de medida cero. Sin embargo, no se conoce ningún criterio que se pueda aplicar al estado inicial para evitar colisiones en la solución correspondiente. Por lo tanto, la estrategia de Sundman consistió en los siguientes pasos:

  1. Utilizando un cambio de variables apropiado para continuar analizando la solución más allá de la colisión binaria, en un proceso conocido como regularización .
  2. Demostró que las colisiones triples solo ocurren cuando el momento angular L se anula. Al restringir los datos iniciales a L ≠ 0 , eliminó todas las singularidades reales de las ecuaciones transformadas para el problema de los tres cuerpos.
  3. Demostrando que si L ≠ 0 , entonces no solo no puede haber colisión triple, sino que el sistema está estrictamente acotado lejos de una colisión triple. Esto implica, por el teorema de existencia de Cauchy para ecuaciones diferenciales, que no hay singularidades complejas en una franja (dependiendo del valor de L ) en el plano complejo centrado alrededor del eje real (relacionado con el teorema de Cauchy-Kovalevskaya ).
  4. Encuentra una transformación conforme que mapee esta franja en el disco unitario. Por ejemplo, si s = t 1/3 (la nueva variable después de la regularización) y si | ln s | ≤ β , entonces este mapeo viene dado porσ=miπs2β−1miπs2β+1.{\displaystyle \sigma ={\frac {e^{\frac {\pi s}{2\beta }}-1}{e^{\frac {\pi s}{2\beta }}+1}}.}

Con esto finaliza la demostración del teorema de Sundman.

La serie correspondiente converge extremadamente lento. Es decir, obtener un valor con una precisión significativa requiere tantos términos que esta solución tiene poca utilidad práctica. De hecho, en 1930, David Beloriszky calculó que si la serie de Sundman se utilizara para observaciones astronómicas, los cálculos implicarían al menos 108 000 000 términos. [ 13 ]

Soluciones para casos especiales

Veinte ejemplos de soluciones periódicas especiales al problema de los tres cuerpos.

En 1767, Leonhard Euler halló tres familias de soluciones periódicas en las que las tres masas son colineales en cada instante. En 1772, Lagrange halló una familia de soluciones en las que las tres masas forman un triángulo equilátero en cada instante. Junto con las soluciones colineales de Euler, estas soluciones forman las configuraciones centrales del problema de los tres cuerpos. Estas soluciones son válidas para cualquier relación de masas, y las masas se mueven sobre elipses keplerianas . Estas cuatro familias son las únicas soluciones conocidas para las que existen fórmulas analíticas explícitas. En el caso especial del problema restringido circular de los tres cuerpos , estas soluciones, vistas en un sistema de referencia que gira con los cuerpos primarios, se convierten en puntos llamados puntos lagrangianos y etiquetados como L₁ , L₂ , L₃ , L₄ y L₅ , siendo L₄ y L₅ instancias simétricas de la solución de Lagrange.

En un trabajo resumido entre 1892 y 1899, Henri Poincaré estableció la existencia de un número infinito de soluciones periódicas para el problema restringido de los tres cuerpos, junto con técnicas para extender estas soluciones al problema general de los tres cuerpos.

En 1893, Meissel planteó lo que hoy se conoce como el problema pitagórico de los tres cuerpos: tres masas en proporción 3:4:5 se colocan en reposo en los vértices de un triángulo rectángulo 3:4:5 , con el cuerpo más pesado en el ángulo recto y el más ligero en el ángulo agudo menor. Burrau [ 14 ] investigó este problema con mayor profundidad en 1913. En 1967, Victor Szebehely y C. Frederick Peters establecieron la eventual huida del cuerpo más ligero para este problema mediante integración numérica, al tiempo que encontraron una solución periódica cercana. [ 15 ]

En la década de 1970, Michel Hénon y Roger A. Broucke hallaron cada uno un conjunto de soluciones que forman parte de la misma familia de soluciones: la familia Broucke-Hénon-Hadjidemetriou. En esta familia, los tres objetos tienen la misma masa y pueden presentar formas tanto retrógradas como directas. En algunas de las soluciones de Broucke, dos de los cuerpos siguen la misma trayectoria. [ 16 ]

En 1993, el físico Cris Moore del Instituto Santa Fe encontró una solución de momento angular cero con tres masas iguales moviéndose alrededor de una figura de ocho. [ 17 ] En 2000, los matemáticos Alain Chenciner y Richard Montgomery demostraron su existencia formal. [ 18 ] [ 19 ] Se ha demostrado numéricamente que la solución es estable para pequeñas perturbaciones de la masa y los parámetros orbitales, lo que hace posible que tales órbitas se observen en el universo físico. Sin embargo, se ha argumentado que esto es improbable dado que el dominio de estabilidad es pequeño. Por ejemplo, la probabilidad de un evento de dispersión binaria-binaria que resulte en una órbita de figura de ocho se ha estimado en una pequeña fracción de un porcentaje. [ 20 ]

En 2013, los físicos Milovan Šuvakov y Veljko Dmitrašinović del Instituto de Física de Belgrado descubrieron 13 nuevas familias de soluciones para el problema de tres cuerpos con masas iguales y momento angular cero. [ 11 ] [ 16 ]

En 2015, la física Ana Hudomal descubrió 14 nuevas familias de soluciones para el problema de tres cuerpos de masas iguales y momento angular cero. [ 21 ]

En 2017, los investigadores Xiaoming Li y Shijun Liao encontraron 669 nuevas órbitas periódicas del problema de tres cuerpos con masas iguales y momento angular cero. [ 22 ] A esto le siguieron en 2018 otras 1223 nuevas soluciones para un sistema de momento angular cero de masas desiguales. [ 23 ]

En 2018, Li y Liao reportaron 234 soluciones al problema de "caída libre" de tres cuerpos con masas desiguales. [ 24 ] La formulación de caída libre comienza con los tres cuerpos en reposo. Debido a esto, las masas en una configuración de caída libre no orbitan en un "bucle" cerrado, sino que se mueven hacia adelante y hacia atrás a lo largo de una "pista" abierta.

En 2023, Ivan Hristov, Radoslava Hristova, Dmitrašinović y Kiyotaka Tanikawa publicaron una búsqueda de "órbitas periódicas de caída libre" en el problema de tres cuerpos, limitada al caso de masas iguales, y encontraron 12.409 soluciones distintas. [ 25 ]

Enfoques numéricos

Mediante una computadora, el problema puede resolverse con una precisión arbitrariamente alta utilizando integración numérica . Se han realizado intentos de crear programas informáticos que resuelvan numéricamente el problema de los tres cuerpos (y, por extensión, el problema de los n cuerpos ) que involucran interacciones electromagnéticas y gravitacionales, e incorporan teorías modernas de la física como la relatividad especial . [ 26 ] Además, utilizando la teoría de los paseos aleatorios , se puede calcular una probabilidad aproximada de diferentes resultados. [ 27 ] [ 28 ]

Historia

El problema gravitacional de tres cuerpos en su sentido tradicional se remonta en esencia a 1687, cuando Isaac Newton publicó su Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica . Newton, tras resolver el problema de dos cuerpos , intentó descubrir si es posible alguna estabilidad a largo plazo para un sistema como la Tierra , la Luna y el Sol . [ 29 ] Guiado por los principales astrónomos del Renacimiento Nicolás Copérnico , Tycho Brahe y Johannes Kepler , Newton introdujo a las generaciones posteriores al comienzo del problema gravitacional de tres cuerpos. [ 30 ] En la Proposición 66 del Libro 1 de los Principia y sus 22 Corolarios, Newton dio los primeros pasos en la definición y el estudio del problema de los movimientos de tres cuerpos masivos sujetos a sus atracciones gravitacionales mutuamente perturbadoras. En las proposiciones 25 a 35 del Libro 3, Newton también dio los primeros pasos para aplicar los resultados de su proposición 66 a la teoría lunar , es decir, al movimiento de la Luna bajo la influencia gravitacional de la Tierra y el Sol. [ 31 ] Posteriormente, este problema también se aplicó a las interacciones de otros planetas con la Tierra y el Sol. [ 30 ]

El problema físico fue abordado por primera vez por Américo Vespucio y posteriormente por Galileo Galilei , así como por Simon Stevin , pero no se percataron de su contribución. Aunque Galileo determinó que la velocidad de caída de todos los cuerpos cambia de manera uniforme y del mismo modo, no lo aplicó a los movimientos planetarios. [ 30 ] En cambio, en 1499, Vespucio utilizó el conocimiento de la posición de la Luna para determinar su posición en Brasil. [ 32 ] Adquirió importancia técnica en la década de 1720, ya que una solución precisa se aplicaría a la navegación, específicamente para la determinación de la longitud en el mar , problema que se resolvió en la práctica con la invención del cronómetro marino por John Harrison . Sin embargo, la precisión de la teoría lunar era baja, debido al efecto perturbador del Sol y los planetas sobre el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra.

Jean le Rond d'Alembert y Alexis Clairaut , quienes desarrollaron una larga rivalidad, intentaron analizar el problema con cierto grado de generalidad; presentaron sus primeros análisis, que competían entre sí, a la Académie Royale des Sciences en 1747. [ 33 ] Fue en relación con su investigación, en París durante la década de 1740, que el nombre «problema de los tres cuerpos» ( en francés : Problème des trois Corps ) comenzó a usarse comúnmente. Un relato publicado en 1761 por Jean le Rond d'Alembert indica que el nombre se usó por primera vez en 1747. [ 34 ]

Desde finales del siglo XIX hasta principios del siglo XX, los científicos desarrollaron un enfoque para resolver el problema de los tres cuerpos utilizando fuerzas atractivas de corto alcance entre dos cuerpos, lo que ofreció a P.F. Bedaque, H.-W. Hammer y U. van Kolck una idea para renormalizar el problema de los tres cuerpos de corto alcance, proporcionando a los científicos un raro ejemplo de un ciclo límite de grupo de renormalización a principios del siglo XXI. [ 35 ] George William Hill trabajó en el problema restringido a finales del siglo XIX con una aplicación del movimiento de Venus y Mercurio . [ 36 ]

A principios del siglo XX, Karl Sundman abordó el problema de forma matemática y sistemática, proporcionando una demostración teórica funcional válida para todos los valores de tiempo. Fue la primera vez que los científicos resolvieron teóricamente el problema de los tres cuerpos. Sin embargo, debido a que no existía una solución suficientemente cualitativa de este sistema, y ​​a que su aplicación práctica era demasiado lenta para los científicos, esta solución aún dejaba algunos problemas sin resolver. [ 37 ] En la década de 1970, V. Efimov descubrió la implicación de las fuerzas de dos cuerpos en el problema de los tres cuerpos , lo que se denominó efecto Efimov . [ 38 ]

En 2017, Shijun Liao y Xiaoming Li aplicaron una nueva estrategia de simulación numérica para sistemas caóticos llamada simulación numérica limpia (CNS), utilizando una supercomputadora nacional, para obtener con éxito 695 familias de soluciones periódicas del sistema de tres cuerpos con masa igual. [ 39 ]

En 2019, Breen et al. anunciaron un solucionador rápido de redes neuronales para el problema de los tres cuerpos, entrenado utilizando un integrador numérico. [ 40 ]

En septiembre de 2023, se encontraron varias posibles soluciones al problema, según los informes. [ 25 ] [ 41 ]

Otros problemas que involucran a tres cuerpos

El término "problema de los tres cuerpos" se utiliza a veces en un sentido más general para referirse a cualquier problema físico que implique la interacción de tres cuerpos.

Un análogo cuántico-mecánico del problema gravitacional de tres cuerpos en mecánica clásica es el átomo de helio , en el que un núcleo de helio y dos electrones interactúan según la interacción de Coulomb inversa al cuadrado . Al igual que el problema gravitacional de tres cuerpos, el átomo de helio no puede resolverse exactamente. [ 42 ]

En mecánica clásica y cuántica, existen leyes de interacción no triviales, además de la fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, que sí conducen a soluciones analíticas exactas de tres cuerpos. Un ejemplo de este modelo consiste en una combinación de atracción armónica y una fuerza repulsiva inversamente proporcional al cubo de la distancia. [ 43 ] Este modelo se considera no trivial, ya que está asociado a un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales con singularidades (a diferencia de, por ejemplo, las interacciones armónicas por sí solas, que dan lugar a un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de fácil solución). En estos dos aspectos, es análogo a los modelos (insolubles) con interacciones de Coulomb y, por consiguiente, se ha propuesto como herramienta para comprender intuitivamente sistemas físicos como el átomo de helio. [ 43 ] [ 44 ]

Dentro del modelo de vórtices puntuales , el movimiento de los vórtices en un fluido ideal bidimensional se describe mediante ecuaciones de movimiento que contienen únicamente derivadas temporales de primer orden. Es decir, a diferencia de la mecánica newtoniana, es la velocidad , y no la aceleración, la que está determinada por sus posiciones relativas. En consecuencia, el problema de tres vórtices sigue siendo integrable [ 45 ] , mientras que se requieren al menos cuatro vórtices para obtener un comportamiento caótico [ 46 ] . Se pueden establecer paralelismos entre el movimiento de una partícula trazadora pasiva en el campo de velocidad de tres vórtices y el problema restringido de tres cuerpos de la mecánica newtoniana [ 47 ] .

El problema gravitacional de tres cuerpos también se ha estudiado utilizando la relatividad general . Físicamente, un tratamiento relativista se vuelve necesario en sistemas con campos gravitacionales muy intensos, como cerca del horizonte de sucesos de un agujero negro . Sin embargo, el problema relativista es considerablemente más difícil que en la mecánica newtoniana, y se requieren técnicas numéricas sofisticadas . Incluso el problema completo de dos cuerpos (es decir, para una relación arbitraria de masas) no tiene una solución analítica rigurosa en la relatividad general. [ 48 ]

problema de n cuerpos

El problema de los tres cuerpos es un caso especial del problema de los n cuerpos , que describe cómo se mueven n objetos bajo una de las fuerzas físicas, como la gravedad . Estos problemas tienen una solución analítica global en forma de una serie de potencias convergente, como lo demostró Karl F. Sundman para n = 3 y Qiudong Wang para n > 3 (véase el problema de los n cuerpos para más detalles). Sin embargo, las series de Sundman y Wang convergen tan lentamente que son inútiles para fines prácticos; [ 49 ] por lo tanto, actualmente es necesario aproximar las soluciones mediante análisis numérico en forma de integración numérica o, para algunos casos, aproximaciones de series trigonométricas clásicas (véase la simulación de n cuerpos ). Los sistemas atómicos, por ejemplo, átomos, iones y moléculas, pueden tratarse en términos del problema cuántico de los n cuerpos. Entre los sistemas físicos clásicos, el problema de los n cuerpos generalmente se refiere a una galaxia o a un cúmulo de galaxias ; Los sistemas planetarios , como las estrellas , los planetas y sus satélites , también pueden tratarse como sistemas de n cuerpos. Algunas aplicaciones se abordan convenientemente mediante la teoría de perturbaciones , en la que el sistema se considera como un problema de dos cuerpos más fuerzas adicionales que provocan desviaciones de una trayectoria hipotética de dos cuerpos sin perturbar.

Véase también

Referencias

  1. 1 2 3 Barrow-Green, June (2008). "El problema de los tres cuerpos". En Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (eds.). The Princeton Companion to Mathematics . Princeton University Press. pp. 726–728 . 
  2. ↑ "Notas históricas: El problema de los tres cuerpos" . Consultado el 19 de julio de 2017 .
  3. ↑ Gutzwiller, Martin C. (1 de abril de 1998). "Luna-Tierra-Sol: El problema de los tres cuerpos más antiguo" . Reviews of Modern Physics . 70 (2): 589– 639. Bibcode : 1998RvMP...70..589G . doi : 10.1103/RevModPhys.70.589 . ISSN 0034-6861 . Consultado el 13 de enero de 2026 . 
  4. ↑ Este informe explícito sobre la presentación vectorial parece estar extraído, mediante generalización, del r¨i {\displaystyle \ {\ddot {\mathbf {r} }}_{i}\ }Expresión presentada por el astrónomo Juhan Frank, educado en Cambridge y perteneciente a la LSU , tal como se presenta en sus apuntes de clase para Física 7221 en 2006, véase Frank, Juhan (11 de octubre de 2006). "PHYS 7221 Special Lecture—The Three-Body Problem" (material de clase) . Baton Rouge, LA: Publicado por el propio autor y el Departamento de Física y Astronomía de la LSU . [Citando] Al igual que en el problema de dos cuerpos, es más conveniente trabajar en el sistema del centro de masas (CM) con incógnitai {\displaystyle \ \mathbf {x} _ {i}\ }que denota la posición de la masa metroi .{\displaystyle \ \mathbf {m} _{i}~.}Las ecuaciones newtonianas del movimiento en este sistema son de la forma r¨i=… {\displaystyle \ {\ddot {\mathbf {r} }}_{i}=\ldots \ }.
  5. 1 2 3 4 Para una discusión más general de la presentación de estas ecuaciones en formatos no vectoriales no explícitamente relacionados con la presentación en el texto, véase la obra autorizada de Barrow-Green, June (1997). Poincaré and the Three Body Problem . American Mathematical Society. pp. 8–12 . Bibcode : 1997ptbp.book.....B . ISBN  978-0-8218-0367-7.
  6. ↑ Para una presentación relacionada del hamiltoniano, que elige unidades y presentación para simplificar las matemáticas, véase Barrow-Green, pág. 8, op. cit.
  7. ↑ Montgomery, Richard (agosto de 2019). "El problema de los tres cuerpos" . Scientific American . 321 (2): 66. doi : 10.1038/scientificamerican0819-66 . PMID 39010603. Recuperado el 7 de mayo de 2024 . 
  8. 1 2 3 Krishnaswami, Govind S.; Senapati, Himalaya (2019). "Una introducción al problema clásico de los tres cuerpos: De las soluciones periódicas a las inestabilidades y el caos". Resonance . 24 . Springer: 87– 114, esp. p. 94f. arXiv : 1901.07289 . doi : 10.1007/s12045-019-0760-1 .
  9. ↑ Eberle, J.; Cuntz, M.; Musielak, ZE (2008-10-01). "La transición de inestabilidad para el problema restringido de 3 cuerpos – I. Enfoque teórico" . Astronomía y Astrofísica . 489 (3): 1329– 1335. Bibcode : 2008A & A...489.1329E . doi : 10.1051/0004-6361:200809758 . ISSN 0004-6361 . 
  10. ↑ Simmons, JFL; McDonald, AJC; Brown, JC (1985-02-01). "El problema restringido de tres cuerpos con presión de radiación" . Mecánica Celestial . 35 (2): 145– 187. Bibcode : 1985CeMec..35..145S . doi : 10.1007/BF01227667 . ISSN 1572-9478 . 
  11. 1 2 Cartwright, Jon (8 de marzo de 2013). "Los físicos descubren trece nuevas soluciones al problema de los tres cuerpos" . Science Now . Recuperado el 4 de abril de 2013 .
  12. ↑ Barrow-Green, J. (2010). El dramático episodio de Sundman , Historia Mathematica 37, pp. 164–203.
  13. ^ Beloriszky, D. (1930). "Aplicación práctica de los métodos de M. Sundman à un cas particulier du problème des trois corps". Boletín Astronómico . Serie 2. 6 : 417– 434. Bibcode : 1930BuAst...6..417B .
  14. ↑ Burrau (1913). "Numerische Berechnung eines Spezialfalles des Dreikörperproblems" . Astronomische Nachrichten . 195 (6): 113– 118. Bibcode : 1913AN....195..113B . doi : 10.1002/asna.19131950602 .
  15. ↑ Victor Szebehely; C. Frederick Peters (1967). "Solución completa de un problema general de tres cuerpos" . Astronomical Journal . 72 : 876. Bibcode : 1967AJ.....72..876S . doi : 10.1086/110355 .
  16. 1 2 Šuvakov, M.; Dmitrašinović, V. "Galería de tres cuerpos" . Consultado el 12 de agosto de 2015 .
  17. ↑ Moore, Cristopher (1993). "Trenzas en la dinámica clásica" (PDF) . Physical Review Letters . 70 (24): 3675– 3679. Bibcode : 1993PhRvL..70.3675M . doi : 10.1103/PhysRevLett.70.3675 . PMID 10053934. Archivado del original (PDF) el 8 de octubre de 2018. Consultado el 1 de enero de 2016 . 
  18. ↑ Chenciner, Alain; Montgomery, Richard (2000). "Una notable solución periódica del problema de los tres cuerpos en el caso de masas iguales". Annals of Mathematics . Segunda serie. 152 (3): 881– 902. arXiv : math/0011268 . Bibcode : 2000math.....11268C . doi : 10.2307/2661357 . JSTOR 2661357. S2CID 10024592 .  
  19. ↑ Montgomery, Richard (2001). "Una nueva solución al problema de los tres cuerpos" (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 48 : 471–481 .
  20. ↑ Heggie, Douglas C. (2000). "Un nuevo resultado de la dispersión binaria-binaria" . Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 318 (4): L61– L63. arXiv : astro-ph/9604016 . Bibcode : 2000MNRAS.318L..61H . doi : 10.1046/j.1365-8711.2000.04027.x .
  21. ↑ Hudomal, Ana (octubre de 2015). "Nuevas soluciones periódicas al problema de los tres cuerpos y las ondas gravitacionales" (PDF) . Tesis de maestría en la Facultad de Física de la Universidad de Belgrado . Consultado el 5 de febrero de 2019 .
  22. ↑ Li, Xiaoming; Liao, Shijun (diciembre de 2017). "Más de seiscientas nuevas familias de órbitas de tres cuerpos sin colisiones planas periódicas newtonianas". Science China Physics, Mechanics & Astronomy . 60 (12): 129511. arXiv : 1705.00527 . Bibcode : 2017SCPMA..6029511L . doi : 10.1007/s11433-017-9078-5 . ISSN 1674-7348 . S2CID 84838204 .  
  23. ↑ Li, Xiaoming; Jing, Yipeng; Liao, Shijun (agosto de 2018). "Las 1223 nuevas órbitas periódicas del problema plano de tres cuerpos con masa desigual y momento angular cero" . Publicaciones de la Sociedad Astronómica de Japón . 70 (4) 64. arXiv : 1709.04775 . doi : 10.1093/pasj/psy057 .
  24. ↑ Li, Xiaoming; Liao, Shijun (2019). "Órbitas periódicas sin colisiones en el problema de tres cuerpos en caída libre". New Astronomy . 70 : 22– 26. arXiv : 1805.07980 . Bibcode : 2019NewA...70...22L . doi : 10.1016/j.newast.2019.01.003 . S2CID 89615142 . 
  25. 1 2 Hristov, Ivan; Hristova, Radoslava; Dmitrašinović, Veljko; Tanikawa, Kiyotaka (2024). "Revisión de las órbitas periódicas de caída libre sin colisiones de tres cuerpos con masas iguales". Mecánica Celestial y Astronomía Dinámica . 136 (1) 7. arXiv : 2308.16159 . Bibcode : 2024CeMDA.136....7H . doi : 10.1007/s10569-023-10177-w .
  26. ↑ "Simulador de 3 cuerpos" . Simulador de 3 cuerpos . Archivado del original el 17/11/2022 . Consultado el 17/11/2022 .
  27. ↑ Technion (6 de octubre de 2021). "¿Un misterio físico centenario? Resuelto" . SciTechDaily . SciTech . Consultado el 12 de octubre de 2021 .
  28. ↑ Ginat, Yonadav Barry; Perets, Hagai B. (23 de julio de 2021). "Solución analítica y estadística aproximada de encuentros estelares binarios disipativos y no disipativos" . Physical Review . 11 (3) 031020. arXiv : 2011.00010 . Bibcode : 2021PhRvX..11c1020G . doi : 10.1103/PhysRevX.11.031020 . S2CID 235485570. Recuperado el 12 de octubre de 2021 . 
  29. ↑ Musielak, Zdzislaw; Quarles, Billy (2017). Dinámica de tres cuerpos y sus aplicaciones a los exoplanetas . Springer International Publishing. pág. 3. Bibcode : 2017tbdi.book.....M . doi : 10.1007/978-3-319-58226-9 . ISBN  978-3-319-58225-2.
  30. 1 2 3 Valtonen, Mauri (2016). El problema de los tres cuerpos de Pitágoras a Hawking . Springer. pág. 4. ISBN  978-3-319-22726-9OCLC 1171227640​​ 
  31. ↑ Newton, Isaac (1726). Philosophiæ naturalis principia mathematica . Londres: G. & J. Innys. doi : 10.14711/spcol/b706487 . Recuperado el 5 de octubre de 2022 – a través de la Universidad de Ciencia y Tecnología de Hong Kong.
  32. ↑ "Amerigo Vespucci" . Biografía . 23 de junio de 2021. Consultado el 5 de octubre de 2022 .
  33. ↑ Las memorias de ambas partes de 1747 pueden leerse en el volumen de Histoires (incluyendo Mémoires ) de la Académie Royale des Sciences de 1745 (publicado tardíamente en París en 1749) (en francés):
    Clairaut: "Sobre el sistema del mundo, según los principios de la gravitación universal" (págs.  329-364); y
    d'Alembert: "Método general para determinar las órbitas y los movimientos de todos los planetas, teniendo en cuenta sus interacciones mutuas" (págs.  365-390). La peculiar datación se explica mediante una nota impresa en la página 390 de la sección "Memorias": "Aunque las memorias anteriores, de los señores Clairaut y d'Alembert, solo se leyeron durante el transcurso de 1747, se consideró apropiado publicarlas en el volumen de este año" (es decir, el volumen dedicado a los acontecimientos de 1745, pero publicado en 1749).
  34. ↑ Jean le Rond d'Alembert , en un artículo de 1761 que revisa la historia matemática del problema, menciona que Euler había dado un método para integrar una determinada ecuación diferencial "en 1740 (siete años antes de que se planteara el problema de los tres cuerpos)": véase d'Alembert, "Opuscules Mathématiques", vol. 2, París 1761, Quatorzième Mémoire ("Réflexions sur le Problème des trois Corps, avec de Nouvelles Tables de la Lune ...") págs. 329-312, en sec. VI, pág. 245.
  35. ↑ Mohr, RF; Furnstahl, RJ; Hammer, H.-W.; Perry, RJ; Wilson, KG (enero de 2006). "Resultados numéricos precisos para ciclos límite en el problema cuántico de tres cuerpos". Annals of Physics . 321 (1): 225– 259. arXiv : nucl-th/0509076 . Bibcode : 2006AnPhy.321..225M . doi : 10.1016/j.aop.2005.10.002 . ISSN 0003-4916 . S2CID 119073191 .  
  36. ↑ "Movimiento coplanar de dos planetas, uno de ellos con masa cero" . Anales de Matemáticas , vol. III, págs. 65-73, 1887.
  37. ↑ Barrow-Green, junio (29 de octubre de 1996). Poincaré y el problema de los tres cuerpos (PDF) . Historia de las matemáticas. Vol. 11. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. doi : 10.1090/hmath/011 . ISBN  978-0-8218-0367-7.
  38. ↑ Efimov, V. (1970-12-21). "Niveles de energía que surgen de fuerzas resonantes de dos cuerpos en un sistema de tres cuerpos". Physics Letters B . 33 (8): 563– 564. Bibcode : 1970PhLB...33..563E . doi : 10.1016/0370-2693(70)90349-7 . ISSN 0370-2693 . 
  39. ↑ Liao, Shijun; Li, Xiaoming (2019-11-01). "Sobre las soluciones periódicas del problema de los tres cuerpos" . National Science Review . 6 (6): 1070– 1071. doi : 10.1093/nsr / nwz102 . ISSN 2095-5138 . PMC 8291409. PMID 34691975 .   
  40. ↑ Breen, Philip G.; Foley, Christopher N.; Boekholt, Tjarda; Portegies Zwart, Simon (2020). "Newton contra la máquina: Resolviendo el problema caótico de tres cuerpos usando redes neuronales profundas" . Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 494 (2): 2465– 2470. arXiv : 1910.07291 . doi : 10.1093/mnras/staa713 . S2CID 204734498 . 
  41. ↑ Watson, Claire (23 de septiembre de 2023). "Acabamos de encontrar 12.000 nuevas soluciones al famoso problema de los tres cuerpos" . ScienceAlert . Consultado el 23 de septiembre de 2023 .{{cite news}}: CS1 maint: servicio de archivado obsoleto ( enlace )
  42. ↑ Griffiths, David J. (2004). Introducción a la mecánica cuántica (2.ª ed.) . Prentice Hall. pág. 311. ISBN  978-0-13-111892-8OCLC 40251748​​ 
  43. 1 2 Crandall, R.; Whitnell, R.; Bettega, R. (1984). "Modelo atómico de dos electrones exactamente soluble". American Journal of Physics . 52 (5): 438– 442. Bibcode : 1984AmJPh..52..438C . doi : 10.1119/1.13650 .
  44. ↑ Calogero, F. (1969). "Solución de un problema de tres cuerpos en una dimensión". Journal of Mathematical Physics . 10 (12): 2191– 2196. Bibcode : 1969JMP....10.2191C . doi : 10.1063/1.1664820 .
  45. ↑ Aref, Hassan (1979-03-01). "Movimiento de tres vórtices" . The Physics of Fluids . 22 (3): 393– 400. Bibcode : 1979PhFl...22..393A . doi : 10.1063/1.862605 . ISSN 0031-9171 . 
  46. ↑ Aref, Hassan ; Pomphrey, Neil (18 de agosto de 1980). "Movimientos integrables y caóticos de cuatro vórtices". Physics Letters A. 78 ( 4): 297–300 . Bibcode : 1980PhLA...78..297A . doi : 10.1016/0375-9601(80)90375-8 . ISSN 0375-9601 . 
  47. ↑ Neufeld, Z; Tél, T (1997-03-21). "El análogo de la dinámica de vórtices del problema restringido de tres cuerpos: advección en el campo de tres vórtices puntuales idénticos" . Journal of Physics A: Mathematical and General . 30 (6): 2263– 2280. Bibcode : 1997JPhA...30.2263N . doi : 10.1088/0305-4470/30/6/043 . ISSN 0305-4470 . 
  48. ↑ Musielak, ZE; Quarles, B. (2014). "El problema de los tres cuerpos". Reports on Progress in Physics . 77 (6) 065901. arXiv : 1508.02312 . Bibcode : 2014RPPh...77f5901M . doi : 10.1088/0034-4885/77/6/065901 . ISSN 0034-4885 . PMID 24913140 . S2CID 38140668 .   
  49. ↑ Florin Diacu . "La solución del problema de los n cuerpos" , The Mathematical Intelligencer , 1996.

Lecturas adicionales

  • Aarseth, SJ (2003). Simulaciones gravitacionales de n cuerpos . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-43272-6.
  • Bagla, JS (2005). "Simulación cosmológica de N cuerpos: técnicas, alcance y estado". Current Science . 88 : 1088–1100 . arXiv : astro-ph/0411043 . Bibcode : 2005CSci...88.1088B . doi : 10.1016/j.aop.2005.10.002 .
  • Chambers, JE; Wetherill, GW (1998). "Making the Terrestrial Planets: N-Body Integrations of Planetary Embryos in Three Dimensions". Icarus . 136 (2): 304– 327. Bibcode : 1998Icar..136..304C . CiteSeerX 10.1.1.64.7797 . doi : 10.1006/icar.1998.6007 . 
  • Efstathiou, G.; Davis, M.; White, SDM; Frenk, CS (1985). "Técnicas numéricas para simulaciones cosmológicas de N cuerpos a gran escala" . Astrophysical Journal . 57 : 241–260 . Bibcode : 1985ApJS...57..241E . doi : 10.1086/191003 .
  • Hulkower, Neal D. (1978). "El problema de los tres cuerpos de energía cero" . Indiana University Mathematics Journal . 27 (3): 409– 447. Bibcode : 1978IUMJ...27..409H . doi : 10.1512/iumj.1978.27.27030 .
  • Hulkower, Neal D. (1980). "Configuraciones centrales y movimiento hiperbólico-elíptico en el problema de los tres cuerpos". Mecánica celeste . 21 (1): 37– 41. Bibcode : 1980CeMec..21...37H . doi : 10.1007/BF01230244 . S2CID 123404551 . 
  • Li, Xiaoming; Liao, Shijun (2014). "Sobre la estabilidad de las tres clases de órbitas periódicas planas newtonianas de tres cuerpos". Science China Physics, Mechanics & Astronomy . 57 (11): 2121– 2126. arXiv : 1312.6796 . Bibcode : 2014SCPMA..57.2121L . doi : 10.1007/s11433-014-5563-5 . S2CID 73682020 . 
  • Šuvakov, Milovan; Dmitrašinović, V. (2013). "Tres clases de órbitas periódicas planas de tres cuerpos newtonianas". Physical Review Letters . 110 (10) 114301. arXiv : 1303.0181 . Bibcode : 2013PhRvL.110k4301S . doi : 10.1103/ PhysRevLett.110.114301 . PMID 25166541. S2CID 118554305 .  
  • Chenciner, Alain (2007). "Problema de los tres cuerpos" . Scholarpedia . 2 (10): 2111. Bibcode : 2007SchpJ...2.2111C . doi : 10.4249/scholarpedia.2111 .
  • Un nuevo estudio sugiere que el "problema de los tres cuerpos" podría no ser tan caótico después de todo ( Live Science, 22 de octubre de 2024).
  • Los físicos descubren trece nuevas soluciones al problema de los tres cuerpos ( Science, 8 de marzo de 2013).