Vida en 3D

En cada paso del Juego de la Vida de Conway se siguen cuatro reglas:

1. Cualquier célula viva con menos de dos vecinas vivas muere, como si se debiera a una baja población.
2. Cualquier célula activa con dos o tres vecinas activas sobrevive hasta la siguiente generación.
3. Cualquier célula viva con más de tres vecinas vivas muere, como si se tratara de una sobrepoblación.
4. Cualquier célula muerta que tenga exactamente tres células vivas vecinas se convierte en una célula viva, como si se reprodujera.

Estos eventos pueden simplificarse de manera que enfaticemos el siguiente estado de una célula determinada en función del rango del número de vecinos de esa célula.

1. Cualquier célula viva con entre dos y tres vecinas vivas continúa viviendo para la siguiente generación; de lo contrario, la célula muere o expira.
2. Cualquier célula muerta con exactamente tres vecinos (entre tres y tres) se convierte en una célula viva, como si fuera por fertilización .

Esta reelaboración de las reglas nos permite formalizarlas. Definimos${\displaystyle E}$como el número de vecinos vivos necesarios para evitar que una célula actualmente viva muera, cuyos límites superior e inferior${\displaystyle E_{l}}$y${\displaystyle E_{u}}$respectivamente. De manera similar, definimos${\displaystyle F}$como el número de vecinos vivos necesarios para crear una nueva célula viva, con límites superior e inferior.${\displaystyle F_{l}}$y${\displaystyle F_{u}}$respectivamente. ^{[ 1 ]} Definimos una regla de transición R que establece lo siguiente:

1. Cualquier célula viva con entre${\displaystyle E_{l}}$y${\displaystyle E_{u}}$Los vecinos vivos continúan viviendo para la siguiente generación; de lo contrario, la célula muere o expira.
2. Cualquier célula muerta entre${\displaystyle F_{l}}$y${\displaystyle F_{u}}$Los vecinos vivos se convierten en una célula viva, como por fecundación .

Esta regla de transición puede definirse además como la cuádrupla.${\ Displaystyle (E_ {l}, E_ {u}, F_ {l}, F_ {u})}$Por ejemplo, el Juego de la Vida de Conway tiene una regla de transición.${\displaystyle R=(2,3,3,3)}$. ^{[ 1 ]} Podemos usar esta regla de transición para crear diferentes variantes del Juego de la Vida. Por ejemplo, un autómata con${\displaystyle R=(3,4,3,4)}$El resultado es una variante explosiva del Juego de la Vida llamada 3-4 Vida, y una de las primeras variantes estudiadas del famoso autómata.

Debido a la completa independencia de la regla de transición con respecto al número de dimensiones, podemos trasladarla a la tercera dimensión. Cada célula puede tener entre cero y 26 vecinos vivos, lo que aumenta considerablemente el número de reglas posibles, de 1296 en dos dimensiones a 123 201 en tres. Como era de esperar, muchas de las reglas de transición se descomponen o se expanden demasiado rápido, o no generan nada interesante en una semilla de "sopa primordial" dada (por ejemplo, planeadores, naves espaciales, parpadeos, etc.). Formalizamos de forma aproximada un Juego de la Vida de la siguiente manera:

Un autómata con una regla de transición${\ Displaystyle R = (E_ {l}, E_ {u}, F_ {l}, F_ {u})}$es un Juego de la Vida si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes.

1. Un planeador debe existir y debe ocurrir "naturalmente" si aplicamos${\displaystyle E_ {l},E_ {u},F_ {l},F_ {u}}$repetidamente a configuraciones de sopa primordial.
2. Todas las configuraciones de sopa primordial, cuando se someten a${\displaystyle E_ {l},E_ {u},F_ {l},F_ {u}}$debe mostrar un crecimiento limitado .