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Articulo de referencia

Teseracto

8-cell (4-cube)"},"Image_File":{"wt":"8-cell-simple.gif"},"Type":{"wt":"[[Convex regular 4-polytope]]"},"Family":{"wt":"[[Hypercubes]]"},"Last":{"wt":"[[Omnitruncated 5-cell|9]]...

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En geometría , un teseracto o 4-cubo es un hipercubo de cuatro dimensiones , análogo a un cuadrado bidimensional y un cubo tridimensional . [ 1 ] Así como el perímetro del cuadrado consta de cuatro aristas y la superficie del cubo consta de seis caras cuadradas , la hipersuperficie del teseracto consta de ocho celdas cúbicas que se unen en ángulo recto . El teseracto es uno de los seis 4-politopos regulares convexos .

El teseracto también se denomina 8-celda , C8 , octacorón ( regular) o prisma cúbico . Es el politopo de medida de cuatro dimensiones , tomado como unidad de hipervolumen. [ 2 ] Harold Scott MacDonald Coxeter lo denomina politopo γ4 . [ 3 ] El término hipercubo sin referencia dimensional se trata frecuentemente como sinónimo de este politopo específico .

Construcción

La construcción de un teseracto se puede visualizar mediante la analogía de las dimensiones en los siguientes pasos:

  1. Se pueden tomar dos puntos con una longitud determinada que formen un segmento de línea.
  2. Si otro segmento de línea idéntico tiene su misma longitud y es perpendicular a sí mismo, se extiende formando un cuadrado (o cubo de 2 lados). El resultado tiene cuatro puntos y cuatro segmentos de línea, que se denominan vértices y aristas, respectivamente.
  3. Al desplazar un cuadrado de la misma longitud en dirección perpendicular al plano sobre el que se encuentra, se genera un cubo (3-cubo). El resultado tiene ocho vértices, doce aristas y seis cuadrados. Los cuadrados se denominan caras.
  4. Al trasladar el cubo de la misma longitud al espacio de la cuarta dimensión, se genera un teseracto (cubo de 4 dimensiones).

Un teseracto está delimitado por ocho cubos (sus celdas ). Cada cubo comparte cada una de sus caras con otro cubo. Tres cubos y tres cuadrados se unen en cada arista. Cuatro cubos, seis cuadrados y cuatro aristas se unen en cada vértice. En conjunto, el teseracto consta de ocho cubos, veinticuatro cuadrados, treinta y dos aristas y dieciséis vértices. El teseracto, al igual que el cuadrado y el cubo, pertenece a la familia del hipercubo . [ 4 ]

Una animación del cambio de dimensiones
La cruz de Dalí es una de las 261 redes teseracto, desplegadas en ocho cubos en el espacio tridimensional.

Un despliegue de un politopo se llama red . Hay 261 redes distintas del teseracto, [ 5 ] cada una de las cuales puede teselar el espacio tridimensional. [ 6 ] Los despliegues del teseracto se pueden contar mapeando las redes a árboles emparejados (un árbol junto con un emparejamiento perfecto en su complemento ). Uno de estos despliegues es la cruz de Dalí , llamada así por el artista surrealista español Salvador Dalí , cuya pintura de 1954 , Corpus Hypercubus, la representó. Consta de ocho cubos, cuatro cubos apilados verticalmente y cuatro más unidos al segundo desde arriba de los cuatro primeros. [ 7 ] [ 8 ]

La Grande Arche de la Défense , un edificio proyectado tridimensional con forma de teseracto.

Además del Corpus Hypercubus de Salvador Dalí de 1954 , los teseractos han sido un tema popular en otras artes. Algunos ejemplos notables son:

  • « Y construyó una casa torcida », relato de ciencia ficción de Robert Heinlein de 1940 que presenta un edificio con forma de teseracto desplegado que se pliega durante un terremoto hasta recuperar su forma tetradimensional. Este relato, junto con «El profesor sin lados» de Martin Gardner , publicado en 1946, se encuentran entre los primeros de la ciencia ficción en introducir a los lectores a la banda de Moebius , la botella de Klein y el teseracto. [ 9 ]
  • El Grande Arche , un monumento y edificio cerca de París, Francia, se completó en 1989. Según el ingeniero del monumento, Erik Reitzel , el Grande Arche fue diseñado para asemejarse a la proyección de un teseracto. [ 10 ]
  • Fez es un videojuego donde se controla a un personaje que puede ver más allá de las dos dimensiones que ven los demás personajes, y debe usar esta habilidad para resolver puzles de plataformas. Incluye a "Dot", un teseracto que ayuda al jugador a navegar por el mundo y le indica cómo usar las habilidades, lo que encaja con el tema de ver más allá de la percepción humana del espacio dimensional conocido. [ 11 ]

El Oxford English Dictionary remonta la palabra teseracto al libro de Charles Howard Hinton de 1888, A New Era of Thought . Hinton originalmente escribió la palabra como tessaract , [ 12 ] cambiándola a tesseract en su libro de 1904, The Fourth Dimension . El término deriva del griego antiguo téssara ( τέσσαρα "cuatro") y aktís ( ἀκτίς "rayo"), en referencia a las cuatro aristas desde cada vértice a otros vértices. [ 1 ] La palabra "teseracto" se ha adoptado para numerosos otros usos en la cultura popular, incluso como recurso argumental en obras de ciencia ficción, a menudo con poca o ninguna conexión con el hipercubo de cuatro dimensiones. [ 13 ]

Propiedades

Las ocho celdas de un teseracto pueden considerarse de tres maneras diferentes como dos anillos entrelazados de cuatro cubos. [ 14 ] Como un politopo regular con tres cubos plegados juntos alrededor de cada arista, tiene el símbolo de Schläfli {4,3,3} con simetría hiperoctaédrica de orden 384. Construido como un hiperprisma 4D hecho de dos cubos paralelos, puede ser nombrado como un símbolo de Schläfli compuesto {4,3}  ×  { }, con orden de simetría 96. Como un duoprisma  4-4 , un producto cartesiano de dos cuadrados , puede ser nombrado por un símbolo de Schläfli compuesto {4}×{4}, con orden de simetría 64. Como un ortotopo puede ser representado por el símbolo de Schläfli compuesto { } × { } × { } × { } o { } 4 , con orden de simetría 16.           

Dado que cada vértice de un teseracto es adyacente a cuatro aristas, la figura de vértice del teseracto es un tetraedro regular . El politopo dual del teseracto es el poliedro de 16 vértices con símbolo de Schläfli {3,3,4}. El teseracto, con 16 vértices, es la envoltura convexa de un compuesto de dos poliedros de 16 vértices, con 8 vértices cada uno, en una analogía dimensional exacta con el cubo , con 8 vértices, que es la envoltura convexa de un compuesto de dos tetraedros regulares , con 4 vértices cada uno.

Cada arista de un teseracto regular tiene la misma longitud. Esto resulta interesante al usar teseractos como base para una topología de red que conecte múltiples procesadores en computación paralela : la distancia entre dos nodos es como máximo 4, y existen muchos caminos diferentes que permiten el equilibrio de pesos.

El teseracto se puede descomponer en politopos de 4 dimensiones más pequeños. Es la envoltura convexa del compuesto de dos demiteseractos ( de 16 celdas ). También se puede triangular en símplices de 4 dimensiones ( de 5 celdas irregulares ) que comparten sus vértices con el teseracto. Se sabe que existen92 487 256 de esas triangulaciones [ 15 ] y que el menor número de símplices de 4 dimensiones en cualquiera de ellas es 16. [ 16 ]

La disección del teseracto en instancias de su símplex característico (un ortoesquema particular con diagrama de Coxeter ) es la construcción directa más básica posible del teseracto. La celda 5 característica del cubo 4 es una región fundamental del grupo de simetría que define el teseracto , el grupo que genera los politopos B 4. El símplex característico del teseracto genera directamente el teseracto a través de las acciones del grupo, reflejándose en sus propias facetas delimitadoras (sus paredes de espejo ).

teseracto unitario

Un teseracto unitario tiene una longitud de lado de 1 y se suele considerar la unidad básica para el hipervolumen en un espacio de cuatro dimensiones. En un sistema de coordenadas cartesianas para un espacio de cuatro dimensiones, el teseracto unitario tiene dos vértices opuestos en las coordenadas [0, 0, 0, 0] y [1, 1, 1, 1] , y otros vértices con coordenadas en todas las combinaciones posibles de 0 y 1. Es el producto cartesiano del intervalo unitario cerrado [0, 1] en cada eje.

A veces, un teseracto unitario está centrado en el origen, de modo que sus coordenadas son las más simétricas.(±12,±12,±12,±12).{\displaystyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.}Este es el producto cartesiano del intervalo cerrado.[−12,12]{\displaystyle {\bigl [}{-{\tfrac {1}{2}}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr ]}}en cada eje.

Otro teseracto comúnmente conveniente es el producto cartesiano del intervalo cerrado.[−1,1]{\displaystyle [-1,1]}en cada eje, con vértices en las coordenadas(±1,±1,±1,±1){\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)}Este teseracto tiene longitud de lado 2 e hipervolumen.24=16{\displaystyle 2^{4}=16}. [ 17 ]

Simetría equilátera radial

El radio de una hiperesfera circunscrita a un politopo regular es la distancia desde el centro del politopo a uno de sus vértices, y para el teseracto este radio es igual a la longitud de su arista; el diámetro de la esfera, la longitud de la diagonal entre vértices opuestos del teseracto, es el doble de la longitud de la arista. Solo unos pocos politopos uniformes tienen esta propiedad, incluyendo el teseracto de cuatro dimensiones y el 24-celda , el cuboctaedro tridimensional y el hexágono bidimensional . En particular, el teseracto es el único hipercubo (aparte de un punto cero-dimensional) que es radialmente equilátero . La diagonal más larga de vértice a vértice de unnorte{\displaystyle n}Hipercubo -dimensional de longitud de arista unitaria esnortet,{\displaystyle {\sqrt {n{\vphantom {t}}}},}que para el cuadrado es2,{\displaystyle {\sqrt {2}},}para el cubo es3,{\displaystyle {\sqrt {3}},}y solo para el teseracto es4=2{\displaystyle {\sqrt {4}}=2}longitudes de los bordes.

Un teseracto alineado con los ejes inscrito en una 3-esfera de radio unitario tiene vértices con coordenadas(±12,±12,±12,±12).{\displaystyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.}

Fórmulas

Demostración sin palabras de que un grafo hipercubo no es planar utilizando los teoremas de Kuratowski o Wagner y encontrando subgrafos K 5 (arriba) o K 3,3 (abajo).

Para un teseracto con longitud de lado s :

  • Hipervolumen (4D):H=s4{\displaystyle H=s^{4}}
  • Volumen de superficie (3D):SV=8s3{\displaystyle SV=8s^{3}}
  • Cara diagonal :d2=2s{\displaystyle d_{\mathrm {2} }={\sqrt {2}}s}
  • Diagonal de celdas :d3=3s{\displaystyle d_{\mathrm {3} }={\sqrt {3}}s}
  • Diagonal de 4 espacios:d4=2s{\displaystyle d_{\mathrm {4} }=2s}

Como configuración

El teseracto puede representarse mediante una matriz de configuración.[16464232334424281268].{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}16&4&6&4\\2&32&3&3\\4&4&24&2\\8&12&6&8\end{matrix}}\end{bmatrix}}.}Aquí, las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números de la diagonal indican cuántos elementos de cada tipo aparecen en todo el teseracto, que se reduce al vector f.(16,32,24,8){\displaystyle (16,32,24,8)}Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna aparecen en o en los elementos de la fila. Por ejemplo, el 2 en la primera columna de la segunda fila indica que hay dos vértices en (es decir, en los extremos de) cada arista; el 4 en la segunda columna de la primera fila indica que cuatro aristas se encuentran en cada vértice. La fila inferior define que las facetas, en este caso cubos, tienen f-vector.(8,12,6){\displaystyle (8,12,6)}. La siguiente fila a la izquierda de la diagonal son elementos de cresta (cara del cubo), aquí un cuadrado,(4,4){\displaystyle (4,4)}. La fila superior es el f-vector de la figura del vértice , aquí tetraedros,(4,6,4){\displaystyle (4,6,4)}. La siguiente fila es la cresta de la figura del vértice, aquí un triángulo,(3,3){\displaystyle (3,3)}. [ 18 ]

Proyecciones

Es posible proyectar teseractos en espacios tridimensionales y bidimensionales, de forma similar a como se proyecta un cubo en un espacio bidimensional.

Proyecciones paralelas del teseracto (cada celda se dibuja con caras de diferente color; las celdas invertidas no se dibujan).
El dodecaedro rómbico forma la envoltura convexa de la proyección paralela del teseracto con vértice primero. El número de vértices en las capas de esta proyección es 1  4  6  4  1, la cuarta fila del triángulo de Pascal .

La proyección paralela del teseracto en el espacio tridimensional, partiendo de las celdas, tiene una envoltura cúbica . Las celdas más cercanas y más lejanas se proyectan sobre el cubo, y las seis celdas restantes se proyectan sobre las seis caras cuadradas del cubo.

La proyección paralela del teseracto en el espacio tridimensional, vista de frente, tiene una envoltura cúbica . Dos pares de celdas se proyectan hacia las mitades superior e inferior de esta envoltura, y las cuatro celdas restantes se proyectan hacia las caras laterales.

La proyección paralela del teseracto en el espacio tridimensional, con las aristas primero, tiene una envoltura con forma de prisma hexagonal . Seis celdas se proyectan sobre prismas rómbicos, que se disponen en el prisma hexagonal de forma análoga a como las caras del cubo 3D se proyectan sobre seis rombos en una envoltura hexagonal con proyección de vértice primero. Las dos celdas restantes se proyectan sobre las bases de los prismas.

La proyección paralela del teseracto en el espacio tridimensional, con los vértices primero, tiene una envoltura dodecaédrica rómbica . Dos vértices del teseracto se proyectan al origen. Hay exactamente dos maneras de diseccionar un dodecaedro rómbico en cuatro romboedros congruentes , lo que da un total de ocho romboedros posibles, cada uno un cubo proyectado del teseracto. Esta proyección es también la que tiene el volumen máximo. Un conjunto de vectores de proyección son u = (1,1,−1,−1) , v = (−1,1,−1,1) , w = (1,−1,−1,1) .

Animación que muestra cada cubo individual dentro de la proyección del plano B 4 Coxeter del teseracto.
Proyección ortográfica del plano de Coxeter B 4 , gráfica con líneas ocultas como líneas discontinuas y el teseracto sin líneas ocultas.

Mosaico

El teseracto, como todos los hipercubos , tesela el espacio euclidiano . El panal teseractico autodual, formado por 4 teseractos alrededor de cada cara, tiene el símbolo de Schläfli {4,3,3,4} . Por lo tanto, el teseracto tiene un ángulo diedro de 90°. [ 19 ]

La simetría radial equilátera del teseracto hace que su teselación sea la única red cúbica centrada en el cuerpo regular y única, formada por esferas de igual tamaño, en cualquier número de dimensiones.

El teseracto regular, junto con el de 16 celdas , existe en un conjunto de 15 4-politopos uniformes con la misma simetría . El teseracto {4,3,3} existe en una secuencia de 4-politopos regulares y panales , { p ,3,3} con figuras de vértice tetraédricas , {3,3}. El teseracto también está en una secuencia de 4-politopos regulares y panales , {4,3, p } con celdas cúbicas .

El politopo complejo regular 4 {4} 2 , , endo2{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}tiene una representación real como un teseracto o duoprismo 4-4 en un espacio de 4 dimensiones. 4 {4} 2 tiene 16 vértices y 8 aristas de 4 lados. Su simetría es 4 [4] 2 , orden 32. También tiene una construcción de simetría inferior, , o 4 {}× 4 {}, con simetría 4 [2] 4 , orden 16. Esta es la simetría si las aristas rojas y azules de 4 lados se consideran distintas. [ 20 ]

Referencias

  1. 1 2 Schwartzman, Steven (1994). Las palabras de las matemáticas: un diccionario etimológico de términos matemáticos . Asociación Matemática de América. pág.  219.
  2. ↑ Elte, EL (2005). Los politopos semirregulares de los hiperespacios . Groningen: Universidad de Groningen. ISBN 1-4181-7968-X.
  3. ↑ Coxeter, HSM (1973). Politopos regulares (3.ª ed.). Dover Publications. págs. 122–123 .  Véase la ilustración Fig. 7.2 C.
  4. ↑ Hall, T. Proctor (1893). "La proyección de figuras cuádruples en un plano tridimensional". American Journal of Mathematics . 15 (2): 179– 189. doi : 10.2307/2369565 . JSTOR 2369565 . 
  5. ↑ "Desplegando una célula de 8 celdas" . Unfolding.apperceptual.com . Consultado el 21 de enero de 2018 .
  6. ↑ Parker, Matt . ¿Qué hipercubo despliega el espacio? Consultado el 11 de mayo de 2025.
  7. ↑ Langerman, Stefan ; Winslow, Andrew (2016). Despliegues de policubos que satisfacen el criterio de Conway (PDF) . 19.ª Conferencia Japonesa sobre Geometría Discreta y Computacional, Grafos y Juegos (JCDCG 3 2016). Tokio.
  8. ↑ Kemp, Martin (1 de enero de 1998). "Las dimensiones de Dalí" . Nature . 391 (27): 27. Bibcode : 1998Natur.391...27K . doi : 10.1038/34063 .
  9. ↑ Fowler, David (mayo-junio de 2010). "Las matemáticas en la ciencia ficción: las matemáticas como ciencia ficción". World Literature Today . 84 (3): 48– 52. JSTOR 27871086 . 
  10. ↑ Ursyn, Anna (2016), "Visualización del conocimiento y alfabetización visual en la enseñanza de las ciencias" , Visualización del conocimiento y alfabetización visual en la enseñanza de las ciencias , Information Science Reference, pág. 91, ISBN  978-1-5225-0481-8
  11. ↑ "Punto (Personaje) - Giant Bomb" . Giant Bomb . Consultado el 21 de enero de 2018 .
  12. ↑ "teseracto" . Oxford English Dictionary ( edición en línea). Oxford University Press. 199669. (Se requiere suscripción o ser miembro de una institución participante ).
  13. ↑ Krauss, Lawrence M. (2005). Escondidos en el espejo: La búsqueda de realidades alternativas, de Platón a la teoría de cuerdas (a través de Alicia en el país de las maravillas, Einstein y La dimensión desconocida) . Penguin Books. pág. 143. 
  14. ↑ Coxeter 1970 , pág. 18.
  15. ↑ Pournin, Lionel (2013). "El flip-Graph del cubo de 4 dimensiones está conectado". Discrete & Computational Geometry . 49 (3): 511– 530. arXiv : 1201.6543 . doi : 10.1007/s00454-013-9488- y . MR 3038527. S2CID 30946324 .  
  16. ↑ Cottle, Richard W. (1982). "Triangulación mínima del 4-cubo" . Matemáticas Discretas . 40 : 25–29 . doi : 10.1016/0012-365X(82)90185-6 . MR 0676709 . 
  17. ↑ Petrov, Miroslav S.; Todorov, Todor D.; Walters, Gage S.; Williams, David M.; Witherden, Freddie D. (2022). "Habilitación de mallado híbrido conforme de cuatro dimensiones con pirámides cúbicas". Numerical Algorithms . 91 : 671–709 . arXiv : 2101.05884 . doi : 10.1007/s11075-022-01278-y .
  18. ↑ Coxeter 1973 , pág. 12, §1.8 Configuraciones.
  19. ↑ Coxeter 1973 , pág. 293.
  20. ↑ Coxeter, HSM, Politopos complejos regulares , segunda edición, Cambridge University Press, (1991).

Fuentes

  • Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008). "26. Hemicubos: 1 n1 ". Las simetrías de las cosas . pág.  409. ISBN 978-1-56881-220-5.
  • (Documento 22) Coxeter, HSM, Politopos regulares y semirregulares I , Mathematische Zeitschrift 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • Coxeter, HSM (1970). "Panales retorcidos". Conference Board of the Mathematical Sciences Regional Conference Series in Mathematics . 4 . Providence, Rhode Island: American Mathematical Society.
  • (Artículo 23) Coxeter, HSM, Politopos regulares y semi-regulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (Artículo 24) Coxeter, HSM, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
  • Gosset, Thorold (1900). "Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones". Messenger of Mathematics . Macmillan.
  • Johnson, Norman W. (1966). La teoría de los politopos uniformes y los panales de abeja (Tesis doctoral).
  • Johnson, Norman W. (1991). Politopos uniformes (manuscrito).
  • Schlegel, Víctor (1886). "Proyecciones-Modelle der sechs regelmässigen vier-dimensionalen Körper und des vier-dimensionalen vierseitigen Prismas". Escrito en Hagen en Westfalen. En Schilling, Martín (ed.). Catalog mathematischer Modelle für den höheren mathematischen Unterricht (en alemán) (6  ed.). Halle an der Saale (publicado en 1903). págs. 31 a 34. OCLC 609855972 . Consultado el 14 de febrero de 2026 a través de Internet Archive.  
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  • Sherk, F. Arthur; McMullen, Peter; Thompson, Anthony C.; Weiss, Asia Ivić (1995). Caleidoscopios: Escritos selectos de HSM Coxeter . Nueva York: Wiley-Interscience Publication. ISBN 0-471-01003-0Consultado el 14 de febrero de 2026 a través de Google Libros.
  • Klitzing, Richard. "Polítopos uniformes 4D (policoros) x4o3o3o - tes" .
  • Página principal de Ken Perlin: Una forma de visualizar hipercubos, por Ken Perlin
  • Algunas notas sobre la cuarta dimensión incluye tutoriales animados sobre varios aspectos diferentes del teseracto, por Davide P. Cervone.
  • Animación de teseracto con eliminación de volumen oculto
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