cuadripotencial electromagnético

Un cuadripotencial electromagnético es una función vectorial relativista a partir de la cual se puede derivar el campo electromagnético . Combina un potencial escalar eléctrico y un potencial vectorial magnético en un único cuadrivector . ^{[ 1 ]}

Medido en un sistema de referencia dado y para un calibre dado , el primer componente del cuadripotencial electromagnético se considera convencionalmente el potencial escalar eléctrico, y los otros tres componentes conforman el potencial vectorial magnético. Si bien tanto el potencial escalar como el vectorial dependen del sistema de referencia, el cuadripotencial electromagnético es covariante de Lorentz .

Al igual que otros potenciales, muchos cuadripotenciales electromagnéticos diferentes corresponden al mismo campo electromagnético, dependiendo de la elección del calibre.

Este artículo utiliza la notación de índices tensoriales y la convención de signos de la métrica de Minkowski (+ − − −) . Consulte también la covarianza y la contravarianza de vectores , así como la elevación y el descenso de índices, para obtener más detalles sobre la notación. Las fórmulas se presentan en unidades del SI y en unidades Gaussian-cgs .

El cuadripotencial electromagnético contravariante se puede definir como: ^{[ 2 ]}

donde ϕ es el potencial eléctrico y A es el potencial magnético (un potencial vectorial ). La unidad de A ^α es V · s · m ⁻¹ en SI y Mx · cm ⁻¹ en Gaussian-CGS .

Los campos eléctricos y magnéticos asociados a estos cuatro potenciales son: ^{[ 3 ]}

En la relatividad especial , los campos eléctrico y magnético se transforman mediante transformaciones de Lorentz . Esto se puede escribir en forma de un tensor de rango dos : el tensor electromagnético . Las 16 componentes contravariantes del tensor electromagnético, utilizando la convención métrica de Minkowski (+ − − −) , se escriben en términos del cuadripotencial electromagnético y el cuadrigradiente como:

${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$

Si dicha firma es en cambio (− + + +) , entonces:

${\displaystyle F'\,^{\mu \nu }=\partial '\,^{\mu }A^{\nu }-\partial '\,^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&B_{z}&-B_{y}\\-E_{y}/c&-B_{z}&0&B_{x}\\-E_{z}/c&B_{y}&-B_{x}&0\end{bmatrix}}}$

Esto define esencialmente el cuadripotencial en términos de cantidades físicamente observables, además de reducirlo a la definición anterior.

A menudo, la condición del medidor Lorenz${\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=0}$en un marco de referencia inercial se emplea para simplificar las ecuaciones de Maxwell como: ^{[ 2 ]}

donde J ^α son los componentes de la cuadricorriente , y

${\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}=\partial ^{\alpha }\partial _{\alpha }}$

es el operador d'Alembertiano . En términos de los potenciales escalar y vectorial, esta última ecuación se convierte en:

Para una distribución de carga y corriente dada, ρ ( r , t ) y j ( r , t ) , las soluciones a estas ecuaciones en unidades SI son: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\rho \left(\mathbf {r} ^{\prime },t_{r}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}\\\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\mathbf {j} \left(\mathbf {r} ^{\prime },t_{r}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}},\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}{c}}}$

es el tiempo retardado . Esto a veces también se expresa con

${\displaystyle \rho \left(\mathbf {r} ',t_{r}\right)=\left[\rho \left(\mathbf {r} ',t\right)\right],}$

donde los corchetes indican que el tiempo debe evaluarse en el tiempo retardado. Por supuesto, dado que las ecuaciones anteriores son simplemente la solución de una ecuación diferencial no homogénea , cualquier solución de la ecuación homogénea puede añadirse a estas para satisfacer las condiciones de contorno . Estas soluciones homogéneas representan, en general, ondas que se propagan desde fuentes fuera del contorno.

Cuando se evalúan las integrales anteriores para casos típicos, por ejemplo, de una corriente (o carga) oscilante, se encuentra que dan tanto un componente de campo magnético que varía según r ⁻² (el campo de inducción ) como un componente que disminuye como r ⁻¹ (el campo de radiación ).

Cuando se aplana a una forma única (en notación tensorial,${\displaystyle A_{\mu }}$), el cuatro potencial${\displaystyle A}$(normalmente escrito como un vector o,${\displaystyle A^{\mu }}$en notación tensorial) se puede descomponer mediante el teorema de descomposición de Hodge como la suma de una forma exacta , una coexacta y una forma armónica,

${\displaystyle A=d\alpha +\delta \beta +\gamma }$.

En A existe libertad de calibre, ya que de las tres formas en esta descomposición, solo la forma coexacta tiene algún efecto sobre el tensor electromagnético.

${\displaystyle F=dA}$.

Las formas exactas son cerradas, al igual que las formas armónicas sobre un dominio apropiado, por lo que${\displaystyle dd\alpha =0}$y${\displaystyle d\gamma =0}$, siempre. Así que, independientemente de lo que${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \gamma }$son, nos quedamos simplemente

${\displaystyle F=d\delta \beta }$.

En el espacio de Minkowski plano infinito, toda forma cerrada es exacta. Por lo tanto,${\displaystyle \gamma }$El término desaparece. Cada transformación de calibre de${\displaystyle A}$por lo tanto, se puede escribir como

${\displaystyle A\Rightarrow A+d\alpha }$.

• Efecto Aharonov-Bohm
• Formulación covariante del electromagnetismo clásico
• Cuatro vectores
• campo de gluones
• Ecuaciones de Jefimenko

• Rindler, Wolfgang (1991). Introducción a la relatividad especial (2.ª ed.) . Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853952-5.
• Jackson, JD (1999). Electrodinámica clásica (3.ª ed.) . Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.