Hiperpirámide

En geometría , una hiperpirámide es una generalización de la pirámide normal a n dimensiones .

En el caso de la pirámide, se conectan todos los vértices de la base (un polígono en un plano) a un punto fuera del plano, que es el vértice . La altura de la pirámide es la distancia del vértice al plano. Esta construcción se generaliza a n dimensiones. La base se convierte en un politopo de dimensión ( n -1) en un hiperplano de dimensión ( n -1) . Un punto llamado ápice se ubica fuera del hiperplano y se conecta a todos los vértices del politopo; la distancia del ápice al hiperplano se llama altura. Esta construcción se denomina hiperpirámide de dimensión n .

Un triángulo normal es una hiperpirámide bidimensional, el tetraedro o pirámide triangular es una hiperpirámide tridimensional, y el pentacorón o pirámide tetraédrica es una hiperpirámide tetradimensional con un tetraedro como base.

El volumen n -dimensional de una hiperpirámide n- dimensional se puede calcular de la siguiente manera: $${\displaystyle V_{n}={\frac {A\cdot h}{n}}}$$ Aquí V _n denota el volumen n -dimensional de la hiperpirámide, A el volumen ( n -1) -dimensional de la base y h la altura, es decir, la distancia entre el vértice y el hiperplano ( n -1) -dimensional que contiene la base A. Para n = 2, 3, la fórmula anterior produce las fórmulas estándar para el área de un triángulo y el volumen de una pirámide.

Una hiperpirámide con una base poliédrica con f-vector ( v , e , f ) (vértices, aristas y caras), tendrá un nuevo f-vector (1+ v , v + e , e + f , f +1).

Por ejemplo, un cubo tiene f-vector (8,12,6), 8 vértices, 12 aristas y 6 caras cuadradas. Su pirámide cúbica tiene 1+8 vértices, 20 aristas (8 laterales y 12 de base), 18 caras (12 triángulos laterales y 6 cuadrados de base) y 7 celdas (6 pirámides cuadradas laterales y 1 base cúbica).

En general, para n - politopos , los elementos extendidos del f-vector se expanden como una expansión polinómica . Un f-vector extendido será (1,f ₀ ,f ₁ ,f ₂ ,f _{n -1} ,1) transformado en coeficientes polinómicos, (1+f ₀ ⋅ x +f ₁ ⋅ x ² +f ₂ ⋅ x ³ +...+ x ⁿ )(1+ x ). En abstracto , este es un operador de unión, que crea nuevos elementos uniendo todas las permutaciones de elementos cruzados, incluyendo 1 nulitopo (f ₀ ) y 1 cuerpo (f _n ). El punto del vértice no tiene elementos propios, solo el 1 nulitopo y 1 cuerpo.

Un n - símplex es una pirámide recursiva de puntos (1-símplex, punto base) segmento de línea a (2-símplex, segmento base) triángulo a (3-símplex, triángulo base) tetraedro a (4-símplex, tetraedro base) 5-celda , etc. Su f-vector extendido sigue el triángulo de Pascal , como coeficientes (1+ x ) ^{n +1} (que unen n +1 puntos). El primer y último coeficiente son el 1 nulitopo y el 1 cuerpo.

• AM Mathai: Introducción a la probabilidad geométrica . CRC Press, 1999, ISBN 9789056996819, págs.  41–43 ( fragmento , pág. 41, en Google Books )
• MG Kendall: Un curso de geometría de N dimensiones . Dover Courier, 2004 (reimpresión), ISBN 9780486439273, pág.  37 ( fragmento , pág. 37, en Google Libros )

• http://www.mathcurve.com/polyedres/hyperpyramide/hyperpyramide.shtml