5 celdas

En geometría , la 5-celda es el 4-politopo convexo con símbolo de Schläfli {3,3,3}. Es un objeto de cuatro dimensiones con 5 vértices delimitado por cinco celdas tetraédricas. También se conoce como C ₅ , hipertetraedro , pentacoro , ^{[ 1 ]} pentatopo , pentaedroide , ^{[ 2 ]} pirámide tetraédrica o 4- símplex ( politopo α ₄ de Coxeter ) , ^{[ 3 ]} el 4-politopo convexo más simple posible, y es análogo al tetraedro en tres dimensiones y al triángulo en dos dimensiones. La 5-celda es una pirámide de cuatro dimensiones con una base tetraédrica y cuatro caras tetraédricas.

La celda 5 regular está delimitada por cinco tetraedros regulares y es uno de los seis 4-politopos convexos regulares (los análogos cuatridimensionales de los sólidos platónicos ). Una celda 5 regular se puede construir a partir de un tetraedro regular añadiendo un quinto vértice a una distancia de una arista de todos los vértices del tetraedro. Esto no se puede hacer en el espacio tridimensional. La celda 5 regular es una solución al problema: Construir 10 triángulos equiláteros, todos del mismo tamaño, usando 10 cerillas, donde cada lado de cada triángulo es exactamente una cerilla, y ninguno de los triángulos y las cerillas se intersecan entre sí. No existe solución en tres dimensiones.

Propiedades

La 5-celda es el simplex de 4 dimensiones , el 4-politopo más simple posible . En otras palabras, la 5-celda es un policoro análogo a un tetraedro en alta dimensión. ^{[ 4 ]} Está formada por cinco puntos cualesquiera que no estén todos en el mismo hiperplano (como un tetraedro está formado por cuatro puntos cualesquiera que no estén todos en el mismo plano, y un triángulo está formado por tres puntos cualesquiera que no estén todos en la misma línea). Cualquiera de estos cinco puntos constituye una 5-celda, aunque no suele ser una 5-celda regular. La 5-celda regular no se encuentra en ninguno de los otros 4-politopos convexos regulares excepto en uno: la 120 -celda de 600 vértices es un compuesto de 120 5-celdas regulares.

La 5-celda es autodual , lo que significa que su politopo dual es la 5-celda misma. [ 5 ^{] Su intersección}máxima con el espacio tridimensional es el prisma triangular . Su ángulo dicroico entre celdas es arccos 1/4 ≈ 75,52° . Su ángulo diedro ^entre caras es arccos 1/3 ≈ 70,53 ° . ^[6^]

Es el primero de la secuencia de 6 4-politopos regulares convexos, en orden de volumen a un radio o número de vértices dado. ^{[ 7 ]}

La envoltura convexa de dos 5-celdas en configuración dual es la 30-celda disfenoidal , dual de la 5-celda bitruncada .

Como configuración

Esta matriz de configuración representa la celda de 5 elementos. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números de la diagonal indican cuántos elementos de cada tipo aparecen en la celda de 5 elementos. Los números fuera de la diagonal indican cuántos elementos de la columna aparecen en o en el elemento de la fila. La matriz de este politopo autodual es idéntica a su rotación de 180 grados. ^{[ 8 ]} Las k -caras se pueden leer como filas a la izquierda de la diagonal, mientras que las k -figuras se leen como filas después de la diagonal. ^{[ 9 ]}

Todos estos elementos de la celda de 5 puntos se enumeran en el diagrama de Venn de 5 puntos de Branko Grünbaum , que es literalmente una ilustración de la celda regular de 5 puntos proyectada sobre el plano.

Geodésicas y rotaciones

Proyección 3D de una celda de 5 elementos realizando una doble rotación .

La celda de 5 lados tiene planos centrales digon que pasan por sus vértices. Posee 10 planos centrales digon, donde cada par de vértices es una arista, no un eje, de la celda de 5 lados. Cada plano digon es ortogonal a otros 3, pero no es completamente ortogonal a ninguno de ellos. La rotación isoclínica característica de la celda de 5 lados tiene como pares de planos invariantes esos 10 planos digon y sus planos centrales completamente ortogonales, que son planos 0-gon que no intersecan ningún vértice de la celda de 5 lados.

A continuación, se visualiza un pentacelular giratorio con la cuarta dimensión comprimida y representada en color. El toro de Clifford se muestra en su forma rectangular (envolvente).

Visualización de rotaciones 4D
Simplemente girando en el plano XY
Simplemente girando en el plano ZW
Doble rotación en los planos XY y ZW con velocidades angulares en una relación de 4:3.
Rotación isoclínica izquierda
Rotación isoclínica derecha

Proyecciones

El plano de Coxeter _A4 proyecta la pentacelda en un pentágono y un pentagrama regulares . La proyección del plano de Coxeter A3 _de la pentacelda es la de una pirámide cuadrada . La proyección del plano de Coxeter A2 _de la pentacelda regular es la de una bipirámide triangular (dos tetraedros unidos cara a cara) con los dos vértices opuestos centrados.

5 células irregulares

En el caso de símplexes como la 5-celda, ciertas formas irregulares son, en cierto sentido, más fundamentales que la forma regular. Si bien las 5-celdas regulares no pueden llenar el espacio de 4 dimensiones ni los 4-politopos regulares, existen 5-celdas irregulares que sí lo hacen. Estas 5-celdas características constituyen los dominios fundamentales de los diferentes grupos de simetría que dan origen a los diversos 4-politopos.

Ortoesquemas

Un ortoesquema de 4 dimensiones es un 5-celda donde las 10 caras son triángulos rectángulos . (Los 5 vértices forman 5 celdas tetraédricas unidas entre sí por caras, con un total de 10 aristas y 10 caras triangulares). Un ortoesquema es un simplex irregular que es la envoltura convexa de un árbol en el que todas las aristas son mutuamente perpendiculares. En un ortoesquema de 4 dimensiones, el árbol consta de cuatro aristas perpendiculares que conectan los cinco vértices en un camino lineal que realiza tres giros en ángulo recto. Los elementos de un ortoesquema también son ortoesquemas (al igual que los elementos de un simplex regular también son simplexes regulares). Cada celda tetraédrica de un ortoesquema de 4 dimensiones es un ortoesquema de 3 dimensiones , y cada cara triangular es un ortoesquema de 2 dimensiones (un triángulo rectángulo).

Los ortoesquemas son los símplexes característicos de los politopos regulares, porque cada politopo regular se genera mediante reflexiones en las facetas delimitadoras de su ortoesquema característico particular. ^{[ 10 ]} Por ejemplo, el caso especial del 4-ortoesquema con aristas perpendiculares de igual longitud es el ortoesquema característico del 4-cubo (también llamado teseracto u 8-celda ), el análogo 4-dimensional del cubo 3-dimensional. Si las tres aristas perpendiculares del 4-ortoesquema tienen longitud unitaria, entonces todas sus aristas tienen longitud $\sqrt 1$ , $\sqrt 2$ , $\sqrt 3$ , o $\sqrt 4$ , precisamente las longitudes de las cuerdas del 4-cubo unitario (las longitudes de las aristas del 4-cubo y sus diversas diagonales). Por lo tanto, este 4-ortoesquema encaja dentro del 4-cubo, y el 4-cubo (como todo politopo convexo regular) puede diseccionarse en instancias de su ortoesquema característico .

Un ortoesquema de 3 lados es fácil de ilustrar, pero un ortoesquema de 4 lados es más difícil de visualizar. Un ortoesquema de 4 lados es una pirámide tetraédrica con un ortoesquema de 3 lados como base. Tiene cuatro aristas más que el ortoesquema de 3 lados, que unen los cuatro vértices de la base con su vértice (el quinto vértice de la celda de 5 lados). Elija cualquiera de los seis ortoesquemas de 3 lados que se muestran en la ilustración del cubo de 3 lados. Observe que toca cuatro de los ocho vértices del cubo, y esos cuatro vértices están conectados por un camino de 3 aristas que realiza dos giros en ángulo recto. Imagina que este 3-ortoesquema es la base de un 4-ortoesquema, de modo que desde cada uno de esos cuatro vértices, una arista del 4-ortoesquema, invisible, se conecta a un quinto vértice del ápice (que está fuera del 3-cubo y no aparece en la ilustración). Aunque las cuatro aristas adicionales llegan al mismo vértice del ápice, todas tendrán longitudes diferentes. La primera de ellas, en un extremo del camino ortogonal de 3 aristas, extiende ese camino con una cuarta arista ortogonal $\sqrt1$ $al realizar un tercer giro$ $de$ 90 grados y llegar perpendicularmente a la cuarta dimensión hasta el ápice. La segunda de las cuatro aristas adicionales es una diagonal $\sqrt2$ de una cara del cubo (no del 3-cubo ilustrado, sino de otro de los ocho 3-cubos del teseracto). La tercera arista adicional es una diagonal $\sqrt3 de un 3$ -cubo (de nuevo, no del 3-cubo ilustrado original). La cuarta arista adicional (en el otro extremo del camino ortogonal) es un diámetro largo del propio teseracto, de longitud $\sqrt4$ . Atraviesa el centro exacto del teseracto hasta el vértice antipodal (un vértice del cubo 3 opuesto), que es el ápice. Así, la $celda$ $5$ característica del cubo 4 tiene cuatro aristas $\sqrt1$ $, tres aristas$ $\sqrt2$ , dos aristas $\sqrt3$ y $una$ $arista$ $\sqrt4$ .

El 4-cubo se puede diseccionar en 24 ortoesquemas de 4 dimensiones de ocho maneras diferentes, con seis ortoesquemas de 4 dimensiones rodeando cada uno de los cuatro diámetros largos ortogonales $del teseracto$ $\sqrt4$ . El 4-cubo también se puede diseccionar en 384 instancias más pequeñas de este mismo ortoesquema característico de 4 dimensiones, de una sola manera, mediante todos sus hiperplanos de simetría a la vez, que lo dividen en 384 ortoesquemas de 4 dimensiones que convergen en el centro del 4-cubo.

De manera más general, cualquier politopo regular puede diseccionarse en g instancias de su ortoesquema característico que convergen en el centro del politopo regular. ^{[ 11 ]} El número g es el orden del politopo, el número de instancias reflejadas de su ortoesquema característico que lo componen cuando una única instancia de ortoesquema con superficie especular se refleja en sus propias facetas. De manera aún más general, los símplexes característicos pueden llenar politopos uniformes porque poseen todos los elementos necesarios del politopo. También poseen todos los ángulos necesarios entre elementos (desde 90 grados hacia abajo). Los símplexes característicos son los códigos genéticos de los politopos: como una navaja suiza , contienen una unidad de todo lo necesario para construir el politopo por replicación.

Cada politopo regular, incluyendo la celda 5 regular, posee su ortoesquema característico. Existe un 4-ortoesquema que corresponde a la celda 5 característica de la celda 5 regular . Se trata de una pirámide tetraédrica basada en el tetraedro característico del tetraedro regular . La celda 5 regular puede dividirse en 120 instancias de este 4-ortoesquema característico de una sola manera: mediante todos sus hiperplanos de simetría simultáneamente, los cuales la dividen en 120 4-ortoesquemas que convergen en el centro de la celda 5 regular.

La celda característica de 5 elementos (4-ortoesquema) de la celda regular de 5 elementos tiene cuatro aristas más que su tetraedro base característico (3-ortoesquema), que unen los cuatro vértices de la base con su ápice (el quinto vértice del 4-ortoesquema, en el centro de la celda regular de 5 elementos). Las cuatro aristas de cada 4-ortoesquema que se encuentran en el centro de un 4-politopo regular tienen longitudes desiguales, porque son los cuatro radios característicos del 4-politopo regular: un radio de vértice, un radio del centro de una arista, un radio del centro de una cara y un radio del centro de la celda. Si la celda regular de 5 elementos tiene radio unitario y longitud de arista ${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}$ , sus diez aristas características de 5 celdas tienen longitudes ${\sqrt {\tfrac {1}{10}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{30}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {2}{15}}}$ alrededor de su cara exterior triangular recta (los bordes opuestos a los ángulos característicos 𝟀, 𝝉, 𝟁), ^{[ a ]} más ${\sqrt {\tfrac {3}{20}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{20}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{60}}}$ (las otras tres aristas de la faceta exterior del 3-ortoesquema forman el tetraedro característico, que son los radios característicos del tetraedro regular), más ${\sqrt {1}}$ , ${\sqrt {\tfrac {3}{8}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{16}}}$ (aristas que son los radios característicos de la celda regular de 5). El camino de 4 aristas a lo largo de las aristas ortogonales del ortoesquema es ${\sqrt {\tfrac {1}{30}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {2}{15}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{60}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{16}}}$ , primero desde un vértice regular de 5 celdas hasta el centro de una arista regular de 5 celdas, luego girando 90° hasta el centro de una cara regular de 5 celdas, luego girando 90° hasta el centro de una celda tetraédrica regular de 5 celdas, y finalmente girando 90° hasta el centro regular de 5 celdas.

isometrías

Existen muchas formas de menor simetría del 5-celda, incluidas aquellas que se encuentran como figuras de vértices de politopos uniformes :

La pirámide tetraédrica es un caso especial de una pirámide poliédrica de 5 celdas , construida como una base tetraédrica regular en un hiperplano tridimensional y un vértice sobre dicho hiperplano. Los cuatro lados de la pirámide están formados por celdas piramidales triangulares .

Muchos 5-politopos uniformes tienen figuras de vértice de pirámide tetraédrica con símbolos de Schläfli ( )∨{3,3}.

Otros politopos uniformes de 5 celdas tienen figuras de vértice irregulares de 5 celdas. La simetría de una figura de vértice de un politopo uniforme se representa eliminando los nodos anillados del diagrama de Coxeter.

Construcción

Como una hélice de Boerdijk-Coxeter

Una 5-celda puede construirse como una hélice de Boerdijk-Coxeter de cinco tetraedros encadenados, plegados en un anillo de 4 dimensiones. ^{[ 15 ]} Las 10 caras triangulares pueden verse en una red 2D dentro de un teselado triangular , con 6 triángulos alrededor de cada vértice, aunque el plegado en 4 dimensiones hace que los bordes coincidan. Los bordes morados forman un pentágono regular que es el polígono de Petrie de la 5-celda. Los bordes azules conectan cada segundo vértice, formando un pentagrama que es el polígono de Clifford de la 5-celda. Los bordes azules del pentagrama son cuerdas de la isoclina de la 5-celda , la trayectoria de rotación circular que toman sus vértices durante una rotación isoclínica , también conocida como desplazamiento de Clifford .

Neto

Cuando una red de cinco tetraedros se pliega en un espacio de cuatro dimensiones de manera que cada tetraedro se une por una cara a los otros cuatro, la celda resultante de 5 vértices tiene un total de 5 vértices, 10 aristas y 10 caras. Cuatro aristas se unen en cada vértice, y tres celdas tetraédricas se unen en cada arista. Esto hace que el tetraedro de seis caras sea su celda . ^{[ 6 ]}

Coordenadas

El conjunto más simple de coordenadas cartesianas es $(2,0,0,0),(0,2,0,0),(0,0,2,0),(0,0,0,2),(\phi ,\phi ,\phi ,\phi ),$ con longitud de borde $2{\sqrt {2}}$ , dónde $\phi$ es la proporción áurea . ^{[ 16 ]} Si bien estas coordenadas no están centradas en el origen, restar $(1,1,1,1)/\left(2-{\tfrac {1}{\phi }}\right)$ desde cada uno traslada el circuncentro del 4-politopo al origen con radio $2\left(\phi -1/\left(2-{\tfrac {1}{\phi }}\right)\right)={\sqrt {\tfrac {16}{5}}}\approx 1.7888$ , con las siguientes coordenadas: ${\begin{aligned}\left({\tfrac {2}{\phi }}-3,1,1,1\right)/\left({\tfrac {1}{\phi }}-2\right),&\quad \left(1,{\tfrac {2}{\phi }}-3,1,1\right)/\left({\tfrac {1}{\phi }}-2\right)\\\left(1,1,{\tfrac {2}{\phi }}-3,1\right)/\left({\tfrac {1}{\phi }}-2\right)&\quad \left(1,1,1,{\tfrac {2}{\phi }}-3\right)/\left({\tfrac {1}{\phi }}-2\right)\\\left({\tfrac {2}{\phi }},{\tfrac {2}{\phi }},{\tfrac {2}{\phi }},{\tfrac {2}{\phi }}\right)/\left({\tfrac {1}{\phi }}-2\right)\end{aligned}}$

El siguiente conjunto de coordenadas centradas en el origen, con el mismo radio y longitud de arista que el anterior, puede verse como una hiperpirámide con una base tetraédrica regular en el espacio tridimensional:

\left(1,1,1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)

\left(1,-1,-1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)

\left(-1,1,-1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)

\left(-1,-1,1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)

\left(0,0,0,{\frac {4}{\sqrt {5}}}\right)

Escalar estas o el conjunto anterior de coordenadas por ${\tfrac {\sqrt {5}}{4}}$ dar radio unitario centrado en el origen 5-celdas regulares con longitudes de arista ${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}$ La hiperpirámide tiene las siguientes coordenadas:

\left({\sqrt {5}},{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},-1\right)/4

\left({\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},-1\right)/4

\left(-{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},-1\right)/4

\left(-{\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},-1\right)/4

\left(0,0,0,1\right)

Coordenadas de los vértices de otra celda regular de 5 celdas centrada en el origen con longitud de arista 2 y radio ${\sqrt {\tfrac {8}{5}}}\approx 1.265$ son:

\left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)

\left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)

\left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ -{\sqrt {\frac {3}{2}}},\ 0,\ 0\right)

\left(-2{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 0,\ 0,\ 0\right)

Escalando estos por ${\sqrt {\tfrac {5}{8}}}$ a radio unitario y longitud de arista ${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}$ da:

\left({\sqrt {3}},{\sqrt {5}},{\sqrt {10}},\pm {\sqrt {30}}\right)/(4{\sqrt {3}})

\left({\sqrt {3}},{\sqrt {5}},-{\sqrt {40}},0\right)/(4{\sqrt {3}})

\left({\sqrt {3}},-{\sqrt {45}},0,0\right)/(4{\sqrt {3}})

\left(-1,0,0,0\right)

Los vértices de un 4-símplex (con arista $\sqrt 2$ y radio 1) se pueden construir de forma más sencilla en un hiperplano en el espacio 5, como permutaciones (distintas) de (0,0,0,0,1) o (0,1,1,1,1); en estas posiciones es una faceta del 5-ortoplex o del penteract rectificado , respectivamente .

Compuesto

El compuesto de dos 5-celdas en configuraciones duales se puede ver en esta proyección del plano A5 de Coxeter , con vértices y aristas de 5-celdas rojas y azules. Este compuesto tiene simetría [[3,3,3]] , orden 240. La intersección de estas dos 5-celdas es una 5-celda bitruncada uniforme . = ∩ .

Este compuesto puede verse como el análogo 4D del hexagrama 2D { 6 / 2 } y el compuesto 3D de dos tetraedros .

Politopos y panales relacionados

El pentacoro (de 5 células) es el más simple de los 9 policoros uniformes construidos a partir del grupo de Coxeter [3,3,3] .

It is in the {p,3,3} sequence of regular polychora with a tetrahedral vertex figure: the tesseract {4,3,3} and 120-cell {5,3,3} of Euclidean 4-space, and the hexagonal tiling honeycomb {6,3,3} of hyperbolic space.

It is one of three {3,3,p} regular 4-polytopes with tetrahedral cells, along with the 16-cell {3,3,4} and 600-cell {3,3,5}. The order-6 tetrahedral honeycomb {3,3,6} of hyperbolic space also has tetrahedral cells.

It is self-dual like the 24-cell {3,4,3}, having a palindromic {3,p,3} Schläfli symbol.

Notes

1 2(Coxeter 1973) uses the greek letter 𝝓 (phi) to represent one of the three characteristic angles 𝟀, 𝝓, 𝟁 of a regular polytope. Because 𝝓 is commonly used to represent the golden ratio constant ≈ 1.618, for which Coxeter uses 𝝉 (tau), we reverse Coxeter's conventions, and use 𝝉 to represent the characteristic angle.

Citations

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Referencias

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Enlaces externos

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Applets de Java3D
Pirocorón

[reversed_greek_symbols-15] 1 2(Coxeter 1973) uses the greek letter 𝝓 (phi) to represent one of the three characteristic angles 𝟀, 𝝓, 𝟁 of a regular polytope. Because 𝝓 is commonly used to represent the golden ratio constant ≈ 1.618, for which Coxeter uses 𝝉 (tau), we reverse Coxeter's conventions, and use 𝝉 to represent the characteristic angle.

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