Cuarta potencia

En aritmética y álgebra , la cuarta potencia de un número $n$ es el resultado de multiplicar cuatro instancias de $n$ entre sí: $n 4 = n \times n \times n \times n$ .

Las cuartas potencias también se forman multiplicando un número por su cubo . Además, son cuadrados de cuadrados.

Algunas personas se refieren a $n 4$ como n teseractado , hipercubo , zenzizenzico , bicuadrado o supercubo en lugar de "elevado a la potencia de 4".

La secuencia de cuartas potencias de números enteros , conocida como bicuadrados o números teseracticos , es:

0, 1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, 14641, 20736, 28561, 38416, 50625, 65536, 83521, 104976, 130321, 160000, 194481, 234256, 279841, 331776, 390625, 456976, 531441, 614656, 707281, 810000, ... (secuencia A000583 en el OEIS ) .

Propiedades

El último dígito de una cuarta potencia en decimal solo puede ser 0, 1, 5 o 6.

En hexadecimal, el último dígito distinto de cero de una cuarta potencia siempre es 1. ^{[ 1 ]}

Todo entero positivo puede expresarse como la suma de como máximo 19 cuartas potencias; todo entero mayor que 13792 puede expresarse como la suma de como máximo 16 cuartas potencias (véase el problema de Waring ).

Fermat sabía que una cuarta potencia no puede ser la suma de otras dos cuartas potencias (el caso n = 4 del Último Teorema de Fermat ; véase el teorema del triángulo rectángulo de Fermat ). Euler conjeturó que una cuarta potencia no puede escribirse como la suma de tres cuartas potencias, pero 200 años después, en 1986, Elkies lo refutó con:

206156734 = 18796760 4 + 15365639 4 + 2682440 4

.

Elkies demostró que existen infinitos otros contraejemplos para el exponente cuatro, algunos de los cuales son: ^{[ 2 ]}

28130014 = 2767624 4 + 1390400 4 + 673865 4

(Allan MacLeod)

87074814 = 8332208 4 + 5507880 4 + 1705575 4

(DJ Bernstein)

121974574 = 11289040 4 + 8282543 4 + 5870000 4

(DJ Bernstein)

160030174 = 14173720 4 + 12552200 4 + 4479031 4

(DJ Bernstein)

164305134 = 16281009 4 + 7028600 4 + 3642840 4

(DJ Bernstein)

4224814 = 414560 4 + 217519 4 + 95800 4

(Roger Frye, 1988)

6385232494 = 630662624 4 + 275156240 4 + 219076465 ​​4

(Allan MacLeod, 1998)

Las ecuaciones de cuarto grado , que contienen un polinomio de cuarto grado (pero no de mayor grado), son, según el teorema de Abel-Ruffini , las ecuaciones de mayor grado que tienen una solución general mediante radicales .

Véase también

Referencias

↑ Una cuarta potencia impar es el cuadrado de un número cuadrado impar. Todos los cuadrados impares son congruentes con 1 módulo 8, y (8n+1)^² = 64n²⁺ 16n + 1 = 16(4n²⁺ 1) + 1, lo que significa que todas las cuartas potencias son congruentes con 1 módulo 16. Las cuartas potencias pares (excluyendo el cero) son iguales a (2kn⁾^⁴ =^16kn⁴ para^algún entero positivo k y un entero imparn, lo que significa que una cuarta potencia par puede representarse como una cuarta potencia impar multiplicada por una potencia de 16.
↑ Citado en Meyrignac, Jean-Charles (14 de febrero de 2001). "Cálculo de sumas iguales mínimas de potencias iguales: mejores soluciones conocidas" . Consultado el 17 de julio de 2017 .

Weisstein, Eric W. "Número bicuadrático" . MathWorld .

[1] Una cuarta potencia impar es el cuadrado de un número cuadrado impar. Todos los cuadrados impares son congruentes con 1 módulo 8, y (8n+1)^² = 64n²⁺ 16n + 1 = 16(4n²⁺ 1) + 1, lo que significa que todas las cuartas potencias son congruentes con 1 módulo 16. Las cuartas potencias pares (excluyendo el cero) son iguales a (2kn⁾^⁴ =^16kn⁴ para^algún entero positivo k y un entero imparn, lo que significa que una cuarta potencia par puede representarse como una cuarta potencia impar multiplicada por una potencia de 16.

[meyrignac-2] Citado en Meyrignac, Jean-Charles (14 de febrero de 2001). "Cálculo de sumas iguales mínimas de potencias iguales: mejores soluciones conocidas" . Consultado el 17 de julio de 2017 .

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