5 cubos

En geometría de cinco dimensiones , un 5-cubo es el nombre de un hipercubo de cinco dimensiones con 32 vértices , 80 aristas , 80 caras cuadradas, 40 celdas cúbicas y 10 teseractos de 4 caras .

Se representa mediante el símbolo de Schläfli {4,3,3,3} o {4,3 ³ }, construido como 3 teseractos, {4,3,3}, alrededor de cada cresta cúbica .

Forma parte de una familia de hipercubos infinitos . El dual de un 5-cubo es el 5-ortoplex , de la familia infinita de ortoplexes .

Aplicando una operación de alternancia , eliminando vértices alternos del 5-cubo, se crea otro 5-politopo uniforme , llamado 5-demcubo , que también es parte de una familia infinita llamada semihipercubos .

El cubo de 5 puede verse como un panal teseractico de orden 3 sobre una esfera de 4. Está relacionado con el panal teseractico euclidiano de 4 espacios (orden 4) y el panal teseractico hiperbólico paracompacto de orden 5 .

Esta matriz de configuración representa el cubo de 5 elementos. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras, celdas y 4 caras. Los números diagonales indican cuántos elementos de cada elemento hay en el cubo de 5 elementos. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna hay en el elemento de la fila o en él. ^{[1] [2]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}32&5&10&10&5\\2&80&4&6&4\\4&4&80&3&3\\8&12&6&40&2\\16&32&24&8&10\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Las coordenadas cartesianas de los vértices de un cubo de 5 ejes centrado en el origen y con una longitud de arista de 2 son

(±1,±1,±1,±1,±1),

mientras que el interior de este cubo de 5 consiste en todos los puntos ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) con -1 < x _i < 1 para todo i .

Las proyecciones del plano de Coxeter de n -cubos en los grupos de Coxeter B _k se proyectan en gráficos de k-cubos, con potencias de dos vértices superpuestos en los gráficos proyectivos.

El cubo de 5 dimensiones se puede proyectar hasta en 3 dimensiones con una envoltura de icosaedro rómbico . Hay 22 vértices exteriores y 10 vértices interiores. Los 10 vértices interiores tienen la envoltura convexa de un antiprisma pentagonal . Las 80 aristas se proyectan en 40 aristas externas y 40 internas. Los 40 cubos se proyectan en romboedros áureos que se pueden usar para diseccionar el icosaedro rómbico. Los vectores de proyección son u = {1, φ, 0, -1, φ}, v = {φ, 0, 1, φ, 0}, w = {0, 1, φ, 0, -1}, donde φ es la proporción áurea , . ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

También es posible proyectar penteractos en el espacio tridimensional, de forma similar a proyectar un cubo en el espacio bidimensional.

El 5-cubo tiene simetría de grupo de Coxeter B ₅ , estructura abstracta , orden 3840, que contiene 25 hiperplanos de reflexión. El símbolo de Schläfli para el 5-cubo, {4,3,3,3}, coincide con la simetría de notación de Coxeter [4,3,3,3]. ${\displaystyle C_{2}\wr S_{5}}$

Todos los hipercubos tienen formas de simetría inferior construidas como prismas. El 5-cubo tiene 7 formas prismáticas desde el 5- ortótopo más bajo , { } ⁵ , en adelante, ya que las aristas ortogonales están restringidas a tener la misma longitud. Los vértices de un prisma son iguales al producto de los vértices de los elementos. Las aristas de un prisma se pueden dividir en la cantidad de aristas de un elemento multiplicada por la cantidad de vértices de todos los demás elementos.

El 5-cubo es el quinto de una serie de hipercubos :

El poliedro oblicuo regular {4,5| 4} se puede realizar dentro del 5-cubo, con sus 32 vértices, 80 aristas y 40 caras cuadradas, y las otras 40 caras cuadradas del 5-cubo se convierten en agujeros cuadrados .

Este politopo es uno de los 31 5-politopos uniformes generados a partir del 5-cubo o 5-ortoplex regular .

• HSM Coxeter :
  • Coxeter, Regular Polytopes , (3.ª edición, 1973), edición Dover, ISBN  0-486-61480-8 , pág. 296, Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n-dimensiones (n≥5)
  • Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
    • (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Artículo 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Manuscrito de politopos uniformes de Norman Johnson (1991)
  • NW Johnson: La teoría de los politopos uniformes y los panales de abejas , Ph.D. (1966)
• Klitzing, Richard. "Polítopos uniformes 5D (politera) o3o3o3o4x - pent".

• Weisstein, Eric W. "Hipercubo". MathWorld .
• Olshevsky, George. «Medición de politopo». Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.
• Glosario multidimensional: hipercubo Garrett Jones
• Maltsev, Nick E. https://www.asymptotos.com/wp-content/uploads/2023/07/Cube_5.html