53 temperamento igual

En música, el temperamento igual de 53 , llamado 53 TET , 53 EDO o 53 ET , es la escala temperada que se obtiene dividiendo la octava en 53 pasos iguales (relaciones de frecuencia iguales) (Jugar^ⓘ ). Cada paso representa una relación de frecuencia de $2$ $1$ $∕$ $53$ $,$ o 22,6415centavos( Jugar^ⓘ ), un intervalo a veces llamado coma de Holdrian .

53 TET es una afinación de temperamento igual en la que la quinta justa temperada tiene un ancho de 701,89 cents, como se muestra en la Figura 1, y las notas secuenciales están separadas por 22,642 cents.

La afinación 53-TET equivale al unísono, o temperan , los intervalos $⁠ 32 805 / 32 768 ⁠,$ conocido como el schisma , y $⁠$ $15 625$ $/$ $15 552$ $⁠$ $,$ conocido como el kleisma . Estos son ambos intervalos límite 5, que involucran solo los primos 2, 3 y 5 en su factorización, y el hecho de que 53 TET temperen ambos lo caracteriza completamente como un temperamento límite 5: Es el único temperamento regular que tempera ambos intervalos, o comas , un hecho que parece haber sido reconocido por primera vez por el teórico musical japonés Shohé Tanaka . Debido a que los atenúa, el 53 TET se puede utilizar tanto para el temperamento cismático , atenuando el cisma, como para el temperamento Hanson (también llamado kleísmico), atenuando el kleisma.

$El$ intervalo de $7/4$ $es$ $el$ más cercano a la nota 43 (contando desde 0) y $2$ $43/53$ $= 1,7548 está a solo 4,8 cents de la séptima armónica = 7/4$ $en$ $53$ $TET$ $,$ y usarlo para la armonía de $límite$ $7$ significa que el $kleisma$ $septimal$ , el intervalo 225/224 $,$ también se tempera.

Historia y uso

El interés teórico en esta división se remonta a la antigüedad. Jing Fang (78–37 a. C.), un teórico musical chino, observó que una serie de 53 quintas justas $( [$ $⁠$ $3$ $/$ $2$ $⁠$ $]$ $53$ ) es muy cercana a 31 octavas ( $2$ $31$ ). Calculó esta diferencia con una precisión de seis dígitos como ⁠ 177 147 / 176 776 ⁠ . ^[²^]^[³^] Más tarde, el matemático y teórico musical Nicholas Mercator ( c. 1620–1687 ) hizo la misma observación , calculando este valor precisamente como $⁠$ $3$ $53$ $/$ $2$ $84$ $⁠$ $=$ $⁠$ $19 383 245 667 680 019 896 796 723$ $/$ $19 342 813 113 834 066 795 298 816$ $⁠$ $,$ que se conoce como la coma de Mercator . ^[⁴^] La coma de Mercator tiene un valor tan pequeño para empezar ( $\approx 3,615$ cents), pero el temperamento igual de 53 tonos aplana cada quinta en solo $⁠$ $1$ $/$ $53$ $⁠$ de esa coma ( ≈ $0,0682$ cent ≈ $⁠$ $1$ $/$ $315$ $⁠$ coma sintónica ≈ $⁠$ $1$ $/$ $344$ $⁠$ coma pitagórica ). Por lo tanto, el temperamento igual de 53 tonos es, a todos los efectos prácticos, equivalente a una afinación pitagórica extendida .

Después de Mercator, William Holder publicó un tratado en 1694 que señalaba que el temperamento igual de 53 también se aproxima muy de cerca a la tercera mayor justa (con una precisión de 1,4 cents), y, en consecuencia, el temperamento igual de 53 se adapta muy bien a los intervalos de 5 límites de entonación justa . ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} Esta propiedad del temperamento igual de 53 podría haber sido conocida con anterioridad; los manuscritos inéditos de Isaac Newton sugieren que ya era consciente de ella entre 1664 y 1665. ^{[ 7 ]}

Música

En el siglo XIX, la gente comenzó a diseñar instrumentos en 53 TET, con la vista puesta en su uso para tocar música de límite casi justo 5. Dichos instrumentos fueron diseñados por RHM Bosanquet ^{[ 8 ]}^{(p 328–329)} y el afinador estadounidense JP White . ^{[ 8 ]}^{(p 329)} Posteriormente, el temperamento ha visto uso ocasional por compositores en Occidente, y a principios del siglo XX, 53 TET se había convertido en la forma de afinación más común en la música clásica otomana , reemplazando su afinación anterior, desigual. La música árabe , que en su mayor parte basa su teoría en cuartos de tono , también ha hecho algún uso de él; el violinista y teórico musical sirio Twfiq Al-Sabagh propuso que en lugar de una división igual de la octava en 24 partes se debería usar una escala de 24 notas en 53 TET como escala maestra para la música árabe.

El compositor croata Josip Štolcer-Slavenski escribió una pieza, que nunca ha sido publicada, que utiliza el Enharmonium de Bosanquet durante su primer movimiento, titulada Música para Natur-ton-system . ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}^{[ a ]}

Además, el general Thompson trabajó en colaboración con el fabricante de guitarras londinense Louis Panormo para producir la guitarra Enharmonic. ^{[ 12 ]}

Notación

Intentar usar la notación estándar, notas de siete letras más sostenidos o bemoles, puede volverse confuso rápidamente. Esto es diferente al caso de 19 TET y 31 TET, donde hay poca ambigüedad. Al no ser mesotónico, añade algunos problemas que requieren más atención. Específicamente, se distinguen la tercera mayor pitagórica ( ditono ) y la tercera mayor justa, así como la tercera menor pitagórica (semiditono) y la tercera menor justa. El hecho de que la coma sintónica no esté temperada significa que las notas y los intervalos deben definirse con mayor precisión. La música clásica otomana usa una notación de bemoles y sostenidos para el noveno tono de coma.

Además, dado que 53 no es múltiplo de 12, notas como Sol♯ y La ♭ no son enarmónicamente equivalentes, ni tampoco lo son las armaduras correspondientes . En consecuencia, muchas armaduras requerirán el uso de dobles sostenidos (como Sol♯ mayor / Mi♯ menor ), dobles bemoles (como Fa ♭ mayor / Re ♭ menor) o alteraciones microtonales.

La notación pitagórica extendida , utilizando solo sostenidos y bemoles, da como resultado la siguiente escala cromática:

C, B ♯ , A ♯ , E , D ♭ , C ♯ , B , F , E ,
D, C , B♯ , F , E ♭ , D♯ , C♯ , G , F ♭ ,
E, D , C /A , G ,
F, E ♯ , D ♯ , A , G ♭ , F ♯ , E , D /B , A ,
G, F , E♯ , B , A ♭ , G♯ , F♯ , C , B ,
A, G , F /D , C , B ♭ , A♯ , G♯ , D , C ♭ ,
B, A , G / E , D , C

Lamentablemente, las notas no siguen el orden de las letras y se requieren hasta cuatro sostenidos y bemoles . Por lo tanto, una tercera mayor justa debe escribirse como una cuarta disminuida.

La notación de notas ascendentes y descendentes ^{[ 13 ]} mantiene el orden de las notas y conserva el significado tradicional de sostenido y bemol. Utiliza flechas hacia arriba y hacia abajo, representadas por un acento circunflejo o una "v" minúscula, generalmente en una fuente sans-serif. Una flecha equivale a un paso de 53-TET. En los nombres de las notas, las flechas se colocan primero para facilitar la denominación de los acordes. Las numerosas equivalencias enarmónicas permiten una gran libertad ortográfica.

C, ^C, ^^C, vvC ♯ /vD ♭ , vC ♯ /D ♭ , C ♯ /^D ♭ , ^C ♯ /^^D ♭ , vvD, vD,
D, ^D, ^^D, vvD ♯ /vE ♭ , vD ♯ /E ♭ , D ♯ /^E ♭ , ^D ♯ /^^E ♭ , vvE, vE,
E, ^E, ^^E/vvF, vF,
F, ^F, ^^F, vvF ♯ /vG ♭ , vF ♯ /G ♭ , F ♯ /^G ♭ , ^F ♯ /^^G ♭ , vvG, vG,
G, ^G, ^^G, vvG ♯ /vA ♭ , vG ♯ /A ♭ , G ♯ /^A ♭ , ^G ♯ /^^A ♭ , vvA, vA,
A, ^A, ^^A, vvA ♯ /vB ♭ , vA ♯ /B ♭ , A ♯ /^B ♭ , ^A ♯ /^^B ♭ , vvB, vB,
B, ^B, ^^B/vvC, vC, C

Acordes de 53 temperamento igual

Dado que 53-TET es un sistema pitagórico, con quintas casi puras, las tríadas mayores y menores con entonación justa no se pueden escribir de la misma manera que en una afinación mesotónica . En cambio, las tríadas mayores son acordes como CF ♭ -G (usando la notación basada en Pitagórica), donde la tercera mayor es una cuarta disminuida; esta es la característica definitoria del temperamento cismático . De igual modo, las tríadas menores son acordes como CD ♯ -G. En 53-TET, el acorde de séptima dominante se escribiría CF ♭ -GB ♭ , pero la tétrada otonal es CF ♭ -GC , y CF ♭ -GA ♯ es otro acorde de séptima. La tétrada utonal , la inversión de la tétrada otonal, se escribe CD ♯ -GG .

Otros acordes septimales son la tríada disminuida, que tiene las dos formas CD ♯ -G ♭ y CF -G ♭ , la tríada submenor, CF -G , la tríada supermayor CD -G , y las tétradas correspondientes CF -GB y CD -GA ♯ . Dado que 53-TET tempera el kleisma septimal , la tríada aumentada del kleisma septimal CF ♭ -B en sus diversas inversiones también es un acorde del sistema. Lo mismo ocurre con la tétrada de Orwell, CF ♭ -D -G en sus diversas inversiones.

La notación ascendente y descendente permite grafías más convencionales. Dado que también nombra los intervalos de 53 TET , ^{[ 14 ]} proporciona nombres de acordes precisos. El acorde menor pitagórico con una tercera de 32/27 todavía se llama Cm y se sigue escribiendo C–E ♭ –G. Pero el acorde menor ascendente de límite 5 usa la tercera menor ascendente 6/5 y se escribe C–^E ♭ –G. Este acorde se llama C^m. Compárese con ^Cm (^C–^E ♭ –^G).

Tríada mayor: C-vE-G (mayor descendente)
Tríada menor: C-^E ♭ -G (menor ascendente)
Séptima dominante: C-vE-GB ♭ (add-7 descendente)
tétrada otonal: C-vE-G-vB ♭ (7 descendente)
Tétrada utonal: C-^E ♭ -G-^A (upminor6)
Tríada disminuida: C-^E ♭ -G ♭ (disminuida ascendente)
Tríada disminuida: C-vE ♭ -G ♭ (disminuida hacia abajo)
Tríada submenor: C-vE ♭ -G (menor inferior)
Tríada supermayor: C-^EG (mayor ascendente)
Tétrada submenor: C-vE ♭ -G-vA (downminor6)
tétrada supermayor: C-^EG-^B ♭ (up7)
Tríada aumentada: C-vE-vvG ♯ (downaug dud-5)
Tríada de Orwell: C-vE-vvG-^A (descendente mayor dud-5 ascendente6)

Tamaño del intervalo

7-Límite de intervalos de entonación justa aproximados en 53 TET

Debido a que una distancia de 31 pasos en esta escala es casi exactamente igual a una quinta justa , en teoría esta escala puede considerarse una forma ligeramente temperada de afinación pitagórica que se ha extendido a 53 tonos. Como tal, los intervalos disponibles pueden tener las mismas propiedades que cualquier afinación pitagórica, como quintas que son (prácticamente) puras, terceras mayores que son amplias con respecto a la justa (alrededor de 81/64 $en$ $contraposición$ $a$ $la$ más pura $5/4$ $)$ $,$ $y$ $terceras$ $menores que son$ $,$ $por$ $el$ $contrario$ $,$ estrechas ( $32/27$ $en$ $comparación$ con $6/5$ $)$ $.$

Sin embargo, 53 TET contiene intervalos adicionales muy cercanos a la entonación justa. Por ejemplo, el intervalo de 17 $pasos$ también es una tercera mayor, pero solo 1,4 cents más estrecho que el intervalo justo puro $5$ $/$ $4$ $.$ 53 TET es una muy buena aproximación a cualquier intervalo en la entonación justa límite de 5. $De$ manera similar, el intervalo justo puro $6$ $/$ $5$ $es$ $solo$ 1,3 cents más ancho que 14 pasos en 53 TET.

Las coincidencias con los intervalos justos que involucran el séptimo armónico son ligeramente menos precisas (43 pasos son 4,8 centésimas de tono más agudos para $7/4$ $)$ $,$ $pero$ todos esos intervalos siguen estando bastante bien ajustados, siendo la mayor desviación el $tritono$ $7/5$ $.$ $El$ $undécimo$ armónico $y$ los intervalos que lo involucran están menos ajustados, como se ilustra con las segundas y terceras neutras no decimales en la tabla siguiente. Las proporciones de límite 7 están coloreadas en gris claro, y las proporciones de límite 11 y 13 están coloreadas en gris oscuro.

Diagrama de escala

A continuación se muestran 21 de las 53 notas de la escala cromática. El resto se puede añadir fácilmente.

coma de Holdrian

En teoría musical y afinación musical , la coma de Holdrian , también llamada coma de Holder , y raramente la coma árabe , ^{[ 15 ]} es un pequeño intervalo musical de aproximadamente 22,6415 cents , ^[¹⁵^] igual a un paso de 53 temperamento igual, o $\ {\sqrt[{53}]{2\;}}\$ (jugar^ⓘ ). Sin embargo, el nombre"coma"es técnicamente engañoso, ya que este intervalo es un número irracional y no describe un compromiso entre intervalos de ningún sistema de afinación. El intervalo recibe el nombre de "coma" porque es una aproximación cercana de variascomas, sobre todo lacoma sintónica(21,51 cents) (jugar^ⓘ ), que se utilizaba ampliamente como unidad de medida tonal durante lade Holder.

El origen de la coma de Holder reside en el hecho de que los antiguos griegos (o al menos el romano Boecio ^{[ b ]} ) creían que en la afinación pitagórica el tono podía dividirse en nueve comas, cuatro de las cuales formaban el semitono diatónico y cinco el semitono cromático. Si todas estas comas son exactamente del mismo tamaño, se obtiene una octava de 5 tonos + 2 semitonos diatónicos, 5 × 9 + 2 × 4 = 53 comas iguales . Holder ^{[ 18 ]} atribuye la división de la octava en 53 partes iguales a Nicolás Mercator , ^{[ c ]} quien propuso que 1/53 parte de la octava se denominara "coma artificial " .

La coma de Mercator y la coma de Holdrian

La coma de Mercator es un nombre que se usa a menudo para un intervalo estrechamente relacionado debido a su asociación con Nicholas Mercator . ^{[ d ]} Uno de estos intervalos fue descrito por primera vez por Jing Fang en el 45 a . C. ^{[ 15 ]} Mercator aplicó logaritmos para determinar que $\ {\sqrt[{55}]{2\;}}\$ (≈ 21,8182 centavos) era casi equivalente a una coma sintónica de ≈ 21,5063 centavos (una característica del temperamento mesotónico predominante de la época). También consideró que una "coma artificial" de $\ {\sqrt[{53}]{2\;}}\$ Podría ser útil, ya que 31 octavas podrían aproximarse prácticamente mediante un ciclo de 53 quintas justas . Holder , de quien toma su nombre la coma holdriana , prefería esta última unidad porque los intervalos de 53 temperamento igual están más cerca de la entonación justa que de 55 TET . Por lo tanto, la coma de Mercator y la coma holdriana son dos intervalos distintos pero casi iguales.

Uso en la teoría del makam turco

La coma holdriana se ha utilizado principalmente en la teoría musical otomana/turca por Kemal Ilerici y por el compositor turco Erol Sayan . El nombre de esta coma es Holder koması en turco.

Por ejemplo, el Rast makam (similar a la escala mayor occidental , o más precisamente a la escala mayor justamente afinada ) puede considerarse en términos de comas holdrianas:

donde denota una coma bemol de Holdrian, ^{[ e ]} mientras que, en contraste, el makam de Nihavend (similar a la escala menor occidental ):

donde ♭ denota un bemol de cinco comas, tiene segundas medias entre d–e ♭ , e–f , g–a ♭ , a ♭ – b ♭ , y b ♭ – c ′ , una segunda media estando en algún lugar entre 8 y 9 comas. ^{[ 15 ]}

Notas

↑ "El compositor croata Josip Štolcer-Slavenski escribió una pieza,^{[ 9 ]}^{[ 10 ]} que nunca se ha publicado, que utiliza el Enharmonium de Bosanquet durante su primer movimiento, titulado Música para el sistema Natur-ton".^{[ 11 ]}
↑ Según Boecio , Filolao de Crotona, discípulo de Pitágoras, habría dicho que el tono consistía en dos semitonos diatónicos y una coma ; el semitono diatónico consistía en dos diasquismas , cada uno formado por dos comas.^[¹⁶^]^[¹⁷^]
↑ "El difunto Nicholas Mercator , una persona modesta y un matemático erudito y juicioso, en un manuscrito suyo que he podido ver."^{[ 18 ]}
↑ Holder ( 1731) escribe que Marin Mersenne había calculado 58 1/4 comas en la octava;^Mercator , " trabajando con logaritmos , encuentra solo 55 y un poco más"^.[¹⁸ ]
↑ In common Arabic and Turkish practice, the third note e and the seventh note b in Rast are even lower than in this theory, almost exactly halfway between western major and minor thirds above c and g, i.e. closer to 6.5 commas (three-quarter tone) above d or a and 6.5 below f or c, the thirds c–e and g–b often referred to as a "neutral thirds" by musicologists.

References

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Enlaces externos

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[12] "El compositor croata Josip Štolcer-Slavenski escribió una pieza,^{[ 9 ]}^{[ 10 ]} que nunca se ha publicado, que utiliza el Enharmonium de Bosanquet durante su primer movimiento, titulado Música para el sistema Natur-ton".^{[ 11 ]}

[19] Según Boecio , Filolao de Crotona, discípulo de Pitágoras, habría dicho que el tono consistía en dos semitonos diatónicos y una coma ; el semitono diatónico consistía en dos diasquismas , cada uno formado por dos comas.^[¹⁶^]^[¹⁷^]

[21] "El difunto Nicholas Mercator , una persona modesta y un matemático erudito y juicioso, en un manuscrito suyo que he podido ver."^{[ 18 ]}

[22] Holder ( 1731) escribe que Marin Mersenne había calculado 58 1/4 comas en la octava;^Mercator , " trabajando con logaritmos , encuentra solo 55 y un poco más"^.[¹⁸ ]

[23] In common Arabic and Turkish practice, the third note e and the seventh note b in Rast are even lower than in this theory, almost exactly halfway between western major and minor thirds above c and g, i.e. closer to 6.5 commas (three-quarter tone) above d or a and 6.5 below f or c, the thirds c–e and g–b often referred to as a "neutral thirds" by musicologists.

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