Panal de abejas de 7 simples

En la geometría euclidiana de siete dimensiones , el panal de abejas de 7 símplex es una teselación que llena el espacio . Esta teselación ocupa el espacio mediante facetas de 7 símplex , 7 símplex rectificadas , 7 símplex birectificadas y 7 símplex trirectificadas . Estos tipos de facetas aparecen en proporciones de 2:2:2:1 respectivamente en todo el panal.

Esta disposición de vértices se llama retículo A7 o retículo 7-símplex . Los 56 vértices de la figura de vértice 7-símplex expandida representan las 56 raíces del${\displaystyle {\tilde {A}}_{7}}$Grupo de Coxeter. ^{[ 1 ]} Es el caso de 7 dimensiones de un panal simpléctico . Alrededor de cada figura de vértice hay 254 facetas: 8+8 7-símplex , 28+28 7-símplex rectificado , 56+56 7-símplex birectificado , 70 7-símplex trirectificado , con la distribución de conteo de la novena fila del triángulo de Pascal .

${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$contiene${\displaystyle {\tilde {A}}_{7}}$como un subgrupo del índice 144. ^{[ 2 ]} Ambos${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$y${\displaystyle {\tilde {A}}_{7}}$pueden verse como extensiones afines de${\displaystyle A_{7}}$desde diferentes nodos:

La red A ² ₇ se puede construir como la unión de dos redes A ₇ , y es idéntica a la red E7 .

∪ = .

La red A ⁴ ₇ es la unión de cuatro redes A ₇ , que es idéntica a la red E7* (o E ² ₇ ).

∪ ∪ ∪ = + = dual de .

La red A ^* _{7 (también llamada A} ⁸ ₇ ) es la unión de ocho redes A ₇ , y tiene la disposición de vértices del panal dual del panal omnitruncado 7-símplex , y por lo tanto la celda de Voronoi de esta red es un 7-símplex omnitruncado .

∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ = dual de .

Este panal es uno de los 29 panales uniformes únicos ^{[ 3 ]} construidos por el${\displaystyle {\tilde {A}}_{7}}$Grupo de Coxeter , agrupados por su simetría extendida de anillos dentro del diagrama del octágono regular :

Panales regulares y uniformes en 7 espacios:

• panal de abeja de 7 cubos
• Panal de abeja de 7-demicúbicos
• Panal truncado de 7 simples
• Panal de abeja omnitruncado de 7 simples
• Panal de abeja E7

• Norman Johnson, Politopos Uniformes , Manuscrito (1991)
• Caleidoscopios: Escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley–Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
  • (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10] (1.9 Rellenos espaciales uniformes)
  • (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]