Distribución ARGUS

En física , la distribución ARGUS , llamada así por el experimento de física de partículas ARGUS , ^{[ 1 ]} es la distribución de probabilidad de la masa invariante reconstruida de una partícula candidata desintegrada en un fondo continuo .

La función de densidad de probabilidad (pdf) de la distribución ARGUS es:

${\displaystyle f(x;\chi ,c)={\frac {\chi ^{3}}{{\sqrt {2\pi }}\,\Psi (\chi )}}\cdot {\frac {x}{c^{2}}}{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{c^{2}}}}}\exp {\bigg \{}-{\frac {1}{2}}\chi ^{2}{\Big (}1-{\frac {x^{2}}{c^{2}}}{\Big )}{\bigg \}},}$

para${\displaystyle 0\leq x<c}$. Aquí${\displaystyle \chi }$y${\displaystyle c}$son parámetros de la distribución y

${\displaystyle \Psi (\chi )=\Phi (\chi )-\chi \phi (\chi )-{\tfrac {1}{2}},}$

dónde${\displaystyle \Phi (x)}$y${\displaystyle \phi (x)}$son, respectivamente, la función de distribución acumulativa y la función de densidad de probabilidad de la distribución normal estándar .

La función de distribución acumulativa (cdf) de la distribución ARGUS es

${\displaystyle F(x)=1-{\frac {\Psi \left(\chi {\sqrt {1-x^{2}/c^{2}}}\right)}{\Psi (\chi )}}}$.

Se supone que el parámetro c es conocido (el límite cinemático de la distribución de masa invariante), mientras que χ puede estimarse a partir de la muestra X ₁ , ..., X _n utilizando el método de máxima verosimilitud . El estimador es una función del segundo momento de la muestra y se da como solución de la ecuación no lineal.

${\displaystyle 1-{\frac {3}{\chi ^{2}}}+{\frac {\chi \phi (\chi )}{\Psi (\chi )}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{2}}{c^{2}}}}$.

La solución existe y es única, siempre que el lado derecho sea mayor que 0,4; el estimador resultante${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\chi }}}$es consistente y asintóticamente normal .

A veces se utiliza una forma más general para describir una distribución con un pico más pronunciado:

${\displaystyle f(x)={\frac {2^{-p}\chi ^{2(p+1)}}{\Gamma (p+1)-\Gamma (p+1,\,{\tfrac {1}{2}}\chi ^{2})}}\cdot {\frac {x}{c^{2}}}\left(1-{\frac {x^{2}}{c^{2}}}\right)^{p}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\chi ^{2}\left(1-{\frac {x^{2}}{c^{2}}}\right)\right\},\qquad 0\leq x\leq c,\qquad c>0,\,\chi >0,\,p>-1}$

${\displaystyle F(x)={\frac {\Gamma \left(p+1,\,{\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}\left(1-{\frac {x^{2}}{c^{2}}}\right)\right)-\Gamma (p+1,\,{\tfrac {1}{2}}\chi ^{2})}{\Gamma (p+1)-\Gamma (p+1,\,{\tfrac {1}{2}}\chi ^{2})}},\qquad 0\leq x\leq c,\qquad c>0,\,\chi >0,\,p>-1}$

donde Γ(·) es la función gamma y Γ(·,·) es la función gamma incompleta superior .

Aquí, los parámetros c ,  χ y p representan el punto de corte, la curvatura y la potencia, respectivamente. 

El modo es:

${\displaystyle {\frac {c}{{\sqrt {2}}\chi }}{\sqrt {(\chi ^{2}-2p-1)+{\sqrt {\chi ^{2}(\chi ^{2}-4p+2)+(1+2p)^{2}}}}}}$

La media es:

${\displaystyle \mu =c\,p\,{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma (p)}{\Gamma ({\tfrac {5}{2}}+p)}}{\frac {\chi ^{2p+2}}{2^{p+2}}}{\frac {M\left(p+1,{\tfrac {5}{2}}+p,-{\tfrac {\chi ^{2}}{2}}\right)}{\Gamma (p+1)-\Gamma (p+1,\,{\tfrac {1}{2}}\chi ^{2})}}}$

donde M(·,·,·) es la función hipergeométrica confluente de Kummer . ^{[ 2 ]}

La varianza es:

${\displaystyle \sigma ^{2}=c^{2}{\frac {\left({\frac {\chi }{2}}\right)^{p+1}\chi ^{p+3}e^{-{\tfrac {\chi ^{2}}{2}}}+\left(\chi ^{2}-2(p+1)\right)\left\{\Gamma (p+2)-\Gamma (p+2,\,{\tfrac {1}{2}}\chi ^{2})\right\}}{\chi ^{2}(p+1)\left(\Gamma (p+1)-\Gamma (p+1,\,{\tfrac {1}{2}}\chi ^{2})\right)}}-\mu ^{2}}$

p  =  0,5 da como resultado un ARGUS regular, como se indica arriba.

• Albrecht, H. (1994). "Medición de la polarización en la desintegración B → J/ψK*". Physics Letters B . 340 (3): 217– 220. Bibcode : 1994PhLB..340..217A . doi : 10.1016/0370-2693(94)01302-0 .
• Pedlar, T.; Cronin-Hennessy, D.; Hietala, J.; Dobbs, S.; Metreveli, Z.; Seth, K.; Tomaradze, A.; Xiao, T.; Martin, L. (2011). "Observación del h _c (1P) usando colisiones e ⁺ e ⁻ por encima del umbral D D ". Physical Review Letters . 107 (4) 041803. arXiv : 1104.2025 . Bibcode : 2011PhRvL.107d1803P . doi : 10.1103/PhysRevLett.107.041803 . PMID 21866994 . S2CID 33751212 .  
• Lees, JP; Poireau, V.; Prencipe, E.; Tisserand, V.; Garra Tico, J.; Grauges, E.; Martinelli, M.; Palano, A.; Pappagallo, M.; Eigen, G.; Stugu, B.; Sol, L.; Battaglia, M.; Marrón, DN; Hooberman, B.; Kerth, LT; Kolomensky, YG; Lynch, G.; Osipenkov, IL; Tanabe, T.; Hawkes, CM; Soni, N.; Watson, AT; Koch, H.; Schroeder, T.; Asgeirsson, DJ; Abundante, C.; Mattison, TS; McKenna, JA; et  al. (2010). "Búsqueda de violación del sabor de leptones cargados en desintegraciones estrechas de Υ". Cartas de revisión física . 104 (15) 151802. arXiv : 1001.1883 . Bibcode : 2010PhRvL.104o1802L . doi : 10.1103/PhysRevLett.104.151802 . PMID 20481982 . S2CID 14992286 .