Teorema de Abel

En matemáticas , el teorema de Abel para series de potencias relaciona el límite de una serie de potencias con la suma de sus coeficientes . Recibe su nombre del matemático noruego Niels Henrik Abel , quien lo demostró en 1826. ^[1]

Sea la serie de Taylor una serie de potencias con coeficientes reales con radio de convergencia . Supongamos que la serie converge . Entonces es continua desde la izquierda en es decir, $${\displaystyle G(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$$${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle 1.}$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$$ ${\displaystyle G(x)}$${\displaystyle x=1,}$$${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}G(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}.}$$

El mismo teorema se cumple para series de potencias complejas siempre que estén completamente dentro de un único sector de Stolz , es decir, una región del disco unitario abierto donde para algún finito fijo . Sin esta restricción, el límite puede no existir: por ejemplo, la serie de potencias converge a at pero no está acotada cerca de ningún punto de la forma, por lo que el valor at no es el límite ya que tiende a 1 en todo el disco abierto. $${\displaystyle G(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k},}$$${\displaystyle z\to 1}$ $${\displaystyle |1-z|\leq M(1-|z|)}$$${\displaystyle M>1}$$${\displaystyle \sum _{n>0}{\frac {z^{3^{n}}-z^{2\cdot 3^{n}}}{n}}}$$${\displaystyle 0}$${\displaystyle z=1,}$${\displaystyle e^{\pi i/3^{n}},}$${\displaystyle z=1}$${\displaystyle z}$

Nótese que es continua en el intervalo real cerrado para en virtud de la convergencia uniforme de la serie en subconjuntos compactos del disco de convergencia. El teorema de Abel nos permite decir más, a saber, que la restricción de a es continua. ${\displaystyle G(z)}$ ${\displaystyle [0,t]}$${\displaystyle t<1,}$${\displaystyle G(z)}$${\displaystyle [0,1]}$

El sector de Stolz tiene una ecuación explícita y se representa a la derecha para varios valores. ${\displaystyle |1-z|\leq M(1-|z|)}$$${\displaystyle y^{2}=-{\frac {M^{4}(x^{2}-1)-2M^{2}((x-1)x+1)+2{\sqrt {M^{4}(-2M^{2}(x-1)+2x-1)}}+(x-1)^{2}}{(M^{2}-1)^{2}}}}$$

El extremo izquierdo del sector es , y el extremo derecho es . En el extremo derecho, se convierte en un cono con un ángulo donde . ${\displaystyle x={\frac {1-M}{1+M}}}$${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle 2\theta }$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {1}{M}}}$

Como consecuencia inmediata de este teorema, si es cualquier número complejo distinto de cero para el cual la serie converge, entonces se sigue que en el que el límite se toma desde abajo . ${\displaystyle z}$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$$$${\displaystyle \lim _{t\to 1^{-}}G(tz)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$$

El teorema también puede generalizarse para dar cuenta de sumas que divergen hasta el infinito. ^{[ cita requerida ]} Si entonces $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\infty }$$$${\displaystyle \lim _{z\to 1^{-}}G(z)\to \infty .}$$

Sin embargo, si sólo se sabe que la serie es divergente, pero por razones distintas a la de divergir al infinito, entonces la afirmación del teorema puede fallar: tomemos, por ejemplo, la serie de potencias para $${\displaystyle {\frac {1}{1+z}}.}$$

En la serie es igual a pero${\displaystyle z=1}$${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots ,}$${\displaystyle {\tfrac {1}{1+1}}={\tfrac {1}{2}}.}$

También observamos que el teorema se cumple para radios de convergencia distintos de : sea una serie de potencias con radio de convergencia y supongamos que la serie converge en Entonces es continua desde la izquierda en es decir, ${\displaystyle R=1}$$${\displaystyle G(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$$${\displaystyle R,}$${\displaystyle x=R.}$${\displaystyle G(x)}$${\displaystyle x=R,}$$${\displaystyle \lim _{x\to R^{-}}G(x)=G(R).}$$

La utilidad del teorema de Abel es que nos permite encontrar el límite de una serie de potencias cuando su argumento (es decir, ) se aproxima desde abajo, incluso en casos en los que el radio de convergencia , de la serie de potencias es igual a y no podemos estar seguros de si el límite debe ser finito o no. Véase, por ejemplo, la serie binomial . El teorema de Abel nos permite evaluar muchas series en forma cerrada. Por ejemplo, cuando obtenemos integrando la serie de potencias geométrica uniformemente convergente término a término en ; por lo tanto, la serie converge a por el teorema de Abel. De manera similar, converge a${\displaystyle z}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle R,}$${\displaystyle 1}$$${\displaystyle a_{k}={\frac {(-1)^{k}}{k+1}},}$$$${\displaystyle G_{a}(z)={\frac {\ln(1+z)}{z}},\qquad 0<z<1,}$$${\displaystyle [-z,0]}$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}}$$${\displaystyle \ln 2}$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}$$${\displaystyle \arctan 1={\tfrac {\pi }{4}}.}$

${\displaystyle G_{a}(z)}$se denomina función generadora de la secuencia El teorema de Abel es frecuentemente útil al tratar con funciones generadoras de secuencias reales y no negativas , como las funciones generadoras de probabilidad . En particular, es útil en la teoría de los procesos de Galton-Watson . ${\displaystyle a.}$

Después de restar una constante de podemos suponer que Sea Entonces sustituyendo y realizando una manipulación simple de la serie ( suma por partes ) da como resultado ${\displaystyle a_{0},}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=0.}$${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\!.}$${\displaystyle a_{k}=s_{k}-s_{k-1}}$$${\displaystyle G_{a}(z)=(1-z)\sum _{k=0}^{\infty }s_{k}z^{k}.}$$

Dado que se elige un valor lo suficientemente grande para que para todos y se observa que cuando se encuentra dentro del ángulo de Stolz dado. Siempre que esté suficientemente cerca de, tenemos que cuando esté lo suficientemente cerca de y dentro del ángulo de Stolz. ${\displaystyle \varepsilon >0,}$${\displaystyle n}$${\displaystyle |s_{k}|<\varepsilon }$${\displaystyle k\geq n}$$${\displaystyle \left|(1-z)\sum _{k=n}^{\infty }s_{k}z^{k}\right|\leq \varepsilon |1-z|\sum _{k=n}^{\infty }|z|^{k}=\varepsilon |1-z|{\frac {|z|^{n}}{1-|z|}}<\varepsilon M}$$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle 1}$$${\displaystyle \left|(1-z)\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}z^{k}\right|<\varepsilon ,}$$${\displaystyle \left|G_{a}(z)\right|<(M+1)\varepsilon }$${\displaystyle z}$${\displaystyle 1}$

Los recíprocos de un teorema como el de Abel se denominan teoremas tauberianos : no hay recíproco exacto, pero sí resultados condicionales a alguna hipótesis. El campo de las series divergentes y sus métodos de suma contiene muchos teoremas de tipo abeliano y de tipo tauberio .

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• Ahlfors, Lars Valerian (1 de septiembre de 1980). Análisis complejo (tercera edición). McGraw Hill Higher Education. pp. 41–42. ISBN 0-07-085008-9.- Ahlfors lo llamó teorema del límite de Abel .

• Sumabilidad de Abel en PlanetMath . (una mirada más general a los teoremas abelianos de este tipo)
• AA Zakharov (2001) [1994], "Método de suma de Abel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Weisstein, Eric W. "Teorema de convergencia de Abel". MathWorld .