Ecuación de Abel de primer tipo

En matemáticas , una ecuación de Abel de primer tipo , llamada así en honor a Niels Henrik Abel , es cualquier ecuación diferencial ordinaria que es cúbica en la función desconocida. En otras palabras, es una ecuación de la forma

${\displaystyle y'=f_{3}(x)y^{3}+f_{2}(x)y^{2}+f_{1}(x)y+f_{0}(x)\,}$

dónde${\displaystyle f_{3}(x)\neq 0}$.

Si${\displaystyle f_{3}(x)=0}$y${\displaystyle f_{0}(x)=0}$, o${\displaystyle f_{2}(x)=0}$y${\displaystyle f_{0}(x)=0}$, la ecuación se reduce a una ecuación de Bernoulli , mientras que si${\displaystyle f_{3}(x)=0}$La ecuación se reduce a una ecuación de Riccati .

La sustitución${\displaystyle y={\dfrac {1}{u}}}$transforma la ecuación de Abel de primer tipo en la ecuación de Abel de segundo tipo , de la forma

${\displaystyle uu'=-f_{0}(x)u^{3}-f_{1}(x)u^{2}-f_{2}(x)u-f_{3}(x).\,}$

La sustitución

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=\int f_{3}(x)E^{2}~dx,\\[6pt]u&=\left(y+{\dfrac {f_{2}(x)}{3f_{3}(x)}}\right)E^{-1},\\[6pt]E&=\exp \left(\int \left(f_{1}(x)-{\frac {f_{2}^{2}(x)}{3f_{3}(x)}}\right)~dx\right)\end{aligned}}}$

lleva la ecuación de Abel de primer tipo a la forma canónica.

${\displaystyle u'=u^{3}+\phi (\xi ).\,}$

Dimitrios E. Panayotounakos y Theodoros I. Zarmpoutis descubrieron un método analítico para resolver la ecuación anterior en forma implícita. ^{[ 1 ]}

• Panayotounakos, DE; Panayotounakou, ND; Vakakis, AFA (2002). "Sobre la solución del oscilador de Duffing amortiguado no forzado sin término de rigidez lineal". Dinámica no lineal . 28 : 1–16 . doi : 10.1023/A:1014925032022 . S2CID 117115358 . 
• Mancas, Stefan C.; Rosu, Haret C. (2013). "Ecuaciones diferenciales no lineales disipativas integrables de segundo orden mediante factorizaciones y ecuaciones de Abel". Physics Letters A. 377 : 1434–1438 . arXiv : 1212.3636 . doi : 10.1016 /j.physleta.2013.04.024 .