La conjetura de Abhyankar

En álgebra abstracta , la conjetura de Abhyankar para curvas afines es una conjetura de Shreeram Abhyankar planteada en 1957 sobre los grupos de Galois de cuerpos de funciones algebraicas de característica p . ^{[ 1 ]} El caso soluble fue resuelto por Serre en 1990 ^{[ 2 ]} y la conjetura completa fue demostrada en 1994 por el trabajo de Michel Raynaud y David Harbater . ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

El problema involucra un grupo finito G , un número primo p y el cuerpo de funciones K(C) de una curva algebraica integral no singular C definida sobre un cuerpo algebraicamente cerrado K de característica p .

La pregunta aborda la existencia de una extensión de Galois L de K ( C ), con G como grupo de Galois y con ramificación especificada . Desde un punto de vista geométrico, L corresponde a otra curva C ′ , junto con un morfismo

π  : C ′ → C .

Geométricamente, la afirmación de que π se ramifica en un conjunto finito S de puntos en C implica que π restringido al complemento de S en C es un morfismo étale . Esto es análogo al caso de las superficies de Riemann . En la conjetura de Abhyankar, S es fijo, y la pregunta es qué puede ser G. Por lo tanto, se trata de un tipo especial de problema de Galois inverso .

El subgrupo p ( G ) se define como el subgrupo generado por todos los subgrupos de Sylow de G para el número primo p . Este es un subgrupo normal , y el parámetro n se define como el número mínimo de generadores de

G / p ( G ).

Raynaud demostró el caso en que C es la línea proyectiva sobre K , la conjetura que afirma que G puede realizarse como un grupo de Galois de L , no ramificado fuera de S que contiene s + 1 puntos, si y solo si

n ≤ s .

El caso general fue demostrado por Harbater. Donde g es el género de C , G puede realizarse si y solo si

n ≤ s + 2 g .

• Weisstein, Eric W. "La conjetura de Abhyankar" . MathWorld .
• La perspectiva de un profano sobre la conjetura de Abhyankar desde la Universidad de Purdue