norma ideal

En álgebra conmutativa , la norma de un ideal es una generalización de la norma de un elemento en la extensión de cuerpo . Es particularmente importante en teoría de números, ya que mide el tamaño de un ideal de un anillo de números complicado en términos de un ideal en un anillo menos complicado . Cuando el anillo de números menos complicado es el anillo de enteros , Z , entonces la norma de un ideal no nulo I de un anillo de números R es simplemente el tamaño del anillo cociente finito R / I.

Sea A un dominio de Dedekind con cuerpo de fracciones K y clausura integral de B en una extensión separable finita L de K. (Esto implica que B también es un dominio de Dedekind).${\displaystyle {\mathcal {I}}_{A}}$y${\displaystyle {\mathcal {I}}_{B}}$Sean los grupos ideales de A y B , respectivamente (es decir, los conjuntos de ideales fraccionarios no nulos ). Siguiendo la técnica desarrollada por Jean-Pierre Serre , la aplicación de la norma

${\displaystyle N_{B/A}\colon {\mathcal {I}}_{B}\to {\mathcal {I}}_{A}}$

es el único homomorfismo de grupo que satisface

${\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {q}})={\mathfrak {p}}^{[B/{\mathfrak {q}}:A/{\mathfrak {p}}]}}$

para todos los ideales primos distintos de cero${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$de B , donde${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap A}$es el ideal primordial de A que se encuentra debajo${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$.

Alternativamente, para cualquier${\displaystyle {\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}_{B}}$uno puede definir de forma equivalente${\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {b}})}$ser el ideal fraccionario de A generado por el conjunto${\displaystyle \{N_{L/K}(x)|x\in {\mathfrak {b}}\}}$de normas de cuerpo de elementos de B . ^{[ 1 ]}

Para${\displaystyle {\mathfrak {a}}\in {\mathcal {I}}_{A}}$, uno tiene${\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {a}}B)={\mathfrak {a}}^{n}}$, dónde${\displaystyle n=[L:K]}$.

La norma ideal de un ideal principal es, por tanto, compatible con la norma de campo de un elemento:

${\displaystyle N_{B/A}(xB)=N_{L/K}(x)A.}$^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle L/K}$ser una extensión de Galois de cuerpos numéricos con anillos de enteros${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\subset {\mathcal {O}}_{L}}$.

Entonces lo anterior se aplica con${\displaystyle A={\mathcal {O}}_{K},B={\mathcal {O}}_{L}}$y para cualquier${\displaystyle {\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{L}}}$tenemos

${\displaystyle N_{{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {O}}_{K}}({\mathfrak {b}})=K\cap \prod _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma ({\mathfrak {b}}),}$

que es un elemento de${\displaystyle {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{K}}}$.

La notación${\displaystyle N_{{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {O}}_{K}}}$a veces se abrevia a${\displaystyle N_{L/K}}$, un abuso de notación que es compatible con escribir también${\displaystyle N_{L/K}}$para la norma de campo, como se indicó anteriormente.

En el caso${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$, es razonable utilizar números racionales positivos como el rango para${\displaystyle N_{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }\,}$desde${\displaystyle \mathbb {Z} }$tiene un grupo de clases ideales trivial y un grupo de unidades${\displaystyle \{\pm 1\}}$, por lo tanto, cada ideal fraccionario no nulo de${\displaystyle \mathbb {Z} }$es generado por un número racional positivo determinado de forma única . Bajo esta convención, la norma relativa de${\displaystyle L}$hasta${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$coincide con la norma absoluta definida a continuación.

Dejar${\displaystyle L}$sea ​​un campo numérico con un anillo de enteros${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$, y${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$un ideal (entero) distinto de cero de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$.

La norma absoluta de${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$es

${\displaystyle N({\mathfrak {a}}):=\left[{\mathcal {O}}_{L}:{\mathfrak {a}}\right]=\left|{\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {a}}\right|.\,}$

Por convención, se considera que la norma del ideal cero es cero.

Si${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(a)}$es un ideal principal , entonces

${\displaystyle N({\mathfrak {a}})=\left|N_{L/\mathbb {Q} }(a)\right|}$. ^{[ 3 ]}

La norma es completamente multiplicativa : si${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$y${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$son ideales de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$, entonces

${\displaystyle N({\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}})=N({\mathfrak {a}})N({\mathfrak {b}})}$. ^{[ 3 ]}

Por lo tanto, la norma absoluta se extiende de forma única a un homomorfismo de grupo.

${\displaystyle N\colon {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{L}}\to \mathbb {Q} _{>0}^{\times },}$

definido para todos los ideales fraccionarios no nulos de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$.

La norma de un ideal${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$puede utilizarse para dar una cota superior a la norma del cuerpo del elemento no nulo más pequeño que contiene:

siempre existe un valor distinto de cero${\displaystyle a\in {\mathfrak {a}}}$para qué

${\displaystyle \left|N_{L/\mathbb {Q} }(a)\right|\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\left|\Delta _{L}\right|}}N({\mathfrak {a}}),}$

dónde

• ${\displaystyle \Delta _{L}}$es el discriminante de${\displaystyle L}$y
• ${\displaystyle s}$es el número de pares de incrustaciones complejas (no reales) de L en${\displaystyle \mathbb {C} }$(el número de lugares complejos de L ). ^{[ 4 ]}

• norma de campo
• Función zeta de Dedekind