Valor absoluto (álgebra)

En álgebra , un valor absoluto ^{[ a ]} es una función que generaliza el valor absoluto usual . ^{[ 1 ]} Más precisamente, si D es un cuerpo o (más generalmente) un dominio de integridad , un valor absoluto en D es una función, comúnmente denotada${\displaystyle |x|,}$de D a los números reales que satisfacen:

De los axiomas se deduce que${\displaystyle |1|=1,}$${\displaystyle |-1|=1,}$y${\displaystyle |-x|=|x|}$por cada${\displaystyle x}$⁠ . Además, para cada entero positivo n , ${\displaystyle |n|\leq n,}$donde la n más a la izquierda denota la suma de n sumandos iguales al elemento identidad de D.

El valor absoluto clásico y su raíz cuadrada son ejemplos de valores absolutos, pero el cuadrado del valor absoluto clásico no lo es, ya que no cumple la desigualdad triangular.

Un valor absoluto induce una métrica (y por lo tanto una topología ) en D al establecer${\displaystyle d(x,y)=|xy|.}$

• El valor absoluto estándar de los números enteros, racionales y reales:${\displaystyle |x|=x}$para${\displaystyle x\geq 0}$y${\displaystyle |x|=-x}$para${\displaystyle x<0}$.
• El valor absoluto estándar o módulo de los números complejos :${\displaystyle |a+bi|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$para${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$.
• El valor absoluto p -ádico en los números racionales , donde p es un número primo fijo :${\displaystyle |0|_{p}=0}$y para${\displaystyle x\neq 0}$nosotros establecimos${\displaystyle |x|_{p}=p^{-n}}$, donde n es el único entero tal que${\displaystyle x=p^{n}{\frac {a}{b}}}$y a y b son dos enteros coprimos con p.
• El valor absoluto p -ádico en los números p -ádicos , que surge de la completación (ver §  Completaciones más adelante) de los racionales con el valor absoluto definido anteriormente.
• Si${\displaystyle F(x)}$es el campo de fracciones racionales sobre un campo F en la variable x y${\displaystyle P}$es un polinomio irreducible fijo sobre F , el valor absoluto P -ádico en${\displaystyle F(x)}$se define de la siguiente manera:${\displaystyle |0|_{P}=0}$y para${\displaystyle f\neq 0}$nosotros establecimos${\displaystyle |f|_{P}=2^{-n},}$donde n es el único entero tal que${\textstyle f=P^{n}{\frac {G}{H}},}$donde G y H son dos polinomios, ambos coprimos con P.
• Los valores absolutos se utilizan para definir o caracterizar campos globales y locales .

El valor absoluto trivial es aquel en el que | x |  =  0 cuando x  =  0 y | x |  =  1 en caso contrario. ^{[ 2 ]} Todo dominio de integridad puede contener al menos el valor absoluto trivial. El valor trivial es el único valor absoluto posible en un cuerpo finito , ya que cualquier elemento distinto de cero puede elevarse a alguna potencia para dar como resultado 1.

Si un valor absoluto satisface la propiedad más fuerte | x  + y | ≤ max(| x |, | y |) para todo x e y , entonces | x | se llama un valor absoluto ultramétrico o no arquimediano , y en caso contrario un valor absoluto arquimediano .    

Si | x | ₁ y | x | ₂ son dos valores absolutos en el mismo dominio integral D , entonces los dos valores absolutos son equivalentes si | x | ₁ < 1 si y solo si | x | ₂ < 1 para todo x . Si dos valores absolutos no triviales son equivalentes, entonces para algún exponente e tenemos | x | ₁ ^e = | x | ₂ para todo x . Elevar un valor absoluto a una potencia menor que 1 da como resultado otro valor absoluto, pero elevarlo a una potencia mayor que 1 no necesariamente da como resultado un valor absoluto. (Por ejemplo, elevar al cuadrado el valor absoluto usual en los números reales produce una función que no es un valor absoluto porque viola la regla | x + y |  ≤  | x |+| y |.) Los valores absolutos salvo equivalencia, o en otras palabras, una clase de equivalencia de valores absolutos, se denomina lugar .

Dado que el valor absoluto ordinario y los valores absolutos p -ádicos son valores absolutos según la definición anterior, estos definen lugares.

El teorema de Ostrowski establece que los lugares no triviales de los números racionales Q son el valor absoluto ordinario y el valor absoluto p -ádico para cada primo p ^{[ 3 ]} (véase el tercer ejemplo anterior).

Si para algún valor absoluto ultramétrico y cualquier base b  >  1, definimos ν ( x )  =  −log _b | x | para x  ≠  0 y ν (0)  =  ∞, donde ∞ está ordenado para ser mayor que todos los números reales, entonces obtenemos una función de D a R  ∪  {∞}, con las siguientes propiedades:

• ν ( x ) = ∞ ⇒ x = 0,
• ν ( xy ) = ν ( x )  + ν ( y ), 
• ν ( x + y ) ≥ mín(ν( x ), ν ( y )).

Dicha función se conoce como valoración en la terminología de Bourbaki , pero otros autores utilizan el término valoración para valor absoluto y luego dicen valoración exponencial en lugar de valoración .

Dado un dominio de integridad D con un valor absoluto, podemos definir las sucesiones de Cauchy de los elementos de D con respecto a dicho valor absoluto exigiendo que para todo ε  >  0 exista un entero positivo N tal que para todos los enteros m , n > N se cumpla | x _m − x _n | < ε. Las sucesiones de Cauchy forman un anillo bajo la suma y la multiplicación puntuales. También se pueden definir sucesiones nulas como sucesiones ( a _n ) de elementos de D tales que | a _n | converge a cero. Las sucesiones nulas son un ideal primo en el anillo de sucesiones de Cauchy, y el anillo cociente es, por lo tanto, un dominio de integridad. El dominio D está incrustado en este anillo cociente, denominado completación de D con respecto al valor absoluto | x |.

Dado que los cuerpos son dominios de integridad, esta construcción también permite completar un cuerpo con respecto a un valor absoluto. Para demostrar que el resultado es un cuerpo, y no solo un dominio de integridad, podemos mostrar que las sucesiones nulas forman un ideal maximal , o bien construir directamente el inverso. Esto último se puede hacer fácilmente tomando, para todos los elementos no nulos del anillo cociente, una sucesión que comienza en un punto más allá del último elemento nulo de la sucesión. Cualquier elemento no nulo del anillo cociente diferirá en una sucesión nula de dicha sucesión, y tomando la inversión puntual podemos encontrar un elemento inverso representativo.

Otro teorema de Alexander Ostrowski afirma que cualquier cuerpo completo con respecto a un valor absoluto arquimediano es isomorfo a los números reales o complejos, y la valuación es equivalente a la usual. ^{[ 4 ]} El teorema de Gelfand-Tornheim establece que cualquier cuerpo con una valuación arquimediana es isomorfo a un subcuerpo de C , siendo la valuación equivalente al valor absoluto usual ^en C. ^{[ 5} ]

Si D es un dominio de integridad con valor absoluto | x |, entonces podemos extender la definición de valor absoluto al campo de fracciones de D estableciendo

${\displaystyle |x/y|=|x|/|y|.\,}$

Por otro lado, si F es un cuerpo con valor absoluto ultramétrico | x |, entonces el conjunto de elementos de F tales que | x | ≤ 1 define un anillo de valuación , que es un subanillo D de F tal que para cada elemento no nulo x de F , al menos uno de x o x ⁻¹ pertenece a D. Como F es un cuerpo, D no tiene divisores de cero y es un dominio de integridad. Tiene un único ideal maximal que consiste en todos los x tales que | x | < 1, y por lo tanto es un anillo local .