Teoría analítica abstracta de números

La teoría analítica abstracta de números es una rama de las matemáticas que toma las ideas y técnicas de la teoría analítica clásica de números y las aplica a diversos campos matemáticos. El teorema clásico de los números primos sirve como ejemplo prototípico, y el énfasis recae en los resultados de distribución asintótica abstracta . Esta teoría fue inventada y desarrollada por matemáticos como John Knopfmacher y Arne Beurling en el siglo XX.

La noción fundamental involucrada es la de un semigrupo aritmético , que es un monoide conmutativo G que satisface las siguientes propiedades:

• Existe un subconjunto numerable (finito o numerablemente infinito) P de G , tal que cada elemento a ≠ 1 en G tiene una factorización única de la forma

${\displaystyle a=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}}$

donde los p _i son elementos distintos de P , los α _i son enteros positivos , r puede depender de a , y dos factorizaciones se consideran iguales si difieren solo en el orden de los factores indicados. Los elementos de P se llaman primos de G.

• Existe una correspondencia de norma de valor real${\displaystyle |{\mbox{ }}|}$en G tal que
  1. ${\displaystyle |1|=1}$
  2. ${\displaystyle |p|>1{\mbox{ para todo }}p\in P}$
  3. ${\displaystyle |ab|=|a||b|{\mbox{ para todo }}a,b\in G}$
  4. El número total${\displaystyle N_{G}(x)}$de elementos${\displaystyle a\in G}$de norma${\displaystyle |a|\leq x}$es finito, para cada real${\displaystyle x>0}$.

• El ejemplo prototípico de un semigrupo aritmético es el semigrupo multiplicativo de enteros positivos G = Z ⁺ = {1, 2, 3, ...}, con subconjunto de primos racionales P = {2, 3, 5, ...}. Aquí, la norma de un entero es simplemente${\displaystyle |n|=n}$, de modo que${\displaystyle N_{G}(x)=\lfloor x\rfloor }$, el mayor entero que no excede x .

• Si K es un cuerpo de números algebraicos , es decir, una extensión finita del cuerpo de números racionales Q , entonces el conjunto G de todos los ideales no nulos en el anillo de enteros O _K de K forma un semigrupo aritmético con elemento identidad O _K y la norma de un ideal I viene dada por la cardinalidad del anillo cociente O _K / I. En este caso, la generalización apropiada del teorema de los números primos es el teorema de los ideales primos de Landau , que describe la distribución asintótica de los ideales en O _K.

• Se pueden considerar diversas categorías aritméticas que satisfacen un teorema de tipo Krull-Schmidt. En todos estos casos, los elementos de G son clases de isomorfismo en una categoría apropiada , y P consta de todas las clases de isomorfismo de objetos indescomponibles , es decir, objetos que no pueden descomponerse como un producto directo de objetos no nulos. Algunos ejemplos típicos son los siguientes.
  • La categoría de todos los grupos abelianos finitos bajo la operación de producto directo usual y la aplicación de normas.${\displaystyle |A|=\operatorname {card} (A).}$Los objetos indescomponibles son los grupos cíclicos de orden de potencia prima.
  • La categoría de todas las variedades riemannianas compactas , simplemente conexas y globalmente simétricas bajo el producto riemanniano de variedades y la aplicación de norma.${\displaystyle |M|=c^{\dim M},}$donde c > 1 es fijo, y dim M denota la dimensión de la variedad M. Los objetos indescomponibles son los espacios simétricos irreducibles compactos simplemente conexos .
  • La categoría de todos los espacios topológicos finitos pseudometrisables bajo la aplicación de suma y norma topológicas${\displaystyle |X|=2^{\operatorname {card} (X)}.}$Los objetos indescomponibles son los espacios conectados .

El uso de funciones aritméticas y funciones zeta es extenso. La idea es extender los diversos argumentos y técnicas de las funciones aritméticas y funciones zeta de la teoría analítica clásica de números al contexto de un semigrupo aritmético arbitrario que puede satisfacer uno o más axiomas adicionales. Un ejemplo típico de este axioma es el siguiente, generalmente denominado "Axioma A" en la literatura:

• Axioma A. Existen constantes positivas A y${\displaystyle \delta }$y una constante ${\displaystyle \nu }$con${\displaystyle 0\leq \nu <\delta}$, de tal manera que${\displaystyle N_{G}(x)=Ax^{\delta }+O(x^{\nu }){\mbox{ cuando }}x\rightarrow \infty .}$^{[ 5 ]}

Para cualquier semigrupo aritmético que satisfaga el Axioma A , tenemos el siguiente teorema abstracto de números primos : ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \pi _{G}(x)\sim {\frac {x^{\delta }}{\delta \log x}}{\mbox{ cuando }}x\rightarrow \infty }$

donde π _G ( x ) = número total de elementos p en P de norma | p | ≤ x .

• Axioma A , una propiedad de los sistemas dinámicos
• Función zeta de Beurling

• Burris, Stanley N. (2001). Densidad teórica de números y leyes de límites lógicos . Mathematical Surveys and Monographs. Vol.  86. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 0-8218-2666-2. Zbl 0995.11001 . 
• Knopfmacher, John (1990) [1975]. Abstract Analytic Number Theory (2.ª  ed.). Nueva York, NY: Dover Publishing. ISBN 0-486-66344-2. Zbl 0743.11002 . 
• Montgomery, Hugh L.; Vaughan , Robert C. (2007). Teoría multiplicativa de números I. Teoría clásica . Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. Vol.  97. p.  278. ISBN 978-0-521-84903-6. Zbl 1142.11001 .