Economía abstracta

En el modelo de Debreu, ^{[ 1 ]} una economía abstracta contiene un número finito N de agentes . Para cada agente${\displaystyle i}$, hay:

• Un conjunto de opciones${\displaystyle X_{i}}$(un subconjunto de algún espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{l}}$). Esto representa el conjunto global de opciones que el agente puede elegir.
  • Definimos el producto cartesiano de todos los conjuntos de elección como:${\displaystyle X:=\prod _{j=1}^{N}X_{j}}$.
• Una correspondencia de acción${\displaystyle A_{i}:X\twoheadrightarrow X_{i}}$Esto representa el conjunto de acciones posibles que el agente puede realizar, dadas las elecciones de los demás agentes.
• Una función de utilidad:${\displaystyle U_{i}:X\to \mathbb {R} }$, que representa la utilidad que el agente recibe de cada combinación de elecciones.

El objetivo de cada agente es elegir la acción que maximice su utilidad.

Un equilibrio en una economía abstracta es un vector de elecciones,${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{N})=(x_{i},x_{-i})}$, de tal manera que, para cada agente${\displaystyle i}$, la acción${\displaystyle x_{i}}$maximiza la función${\displaystyle U_{i}(\cdot ,x_{-i})}$sujeto a la restricción${\displaystyle x_{i}\in A_{i}(x)}$:

${\displaystyle U_{i}(x_{i},x_{-i})=\max _{x_{i}'\in A_{i}(x)}U_{i}(x_{i}',x_{-i})}$

De forma equivalente, para cada agente${\displaystyle i}$No hay ninguna acción${\displaystyle x_{i}'\in A_{i}(x)}$de tal manera que:

${\displaystyle U_{i}(x_{i}',x_{-i})>U_{i}(x_{i},x_{-i})}$

Las siguientes condiciones son suficientes para la existencia de equilibrio: ^{[ 1 ] [ 4 ] [ 5 ]}

• Cada conjunto de opciones${\displaystyle X_{i}}$es compacto, no vacío y convexo.
• Cada acción-correspondencia${\displaystyle A_{i}}$es continua, y sus valores son no vacíos y convexos.
• Cada función de utilidad${\displaystyle U_{i}}$es continuo en${\displaystyle x}$y cuasi cóncava en${\displaystyle x_{i}}$.

Las condiciones de continuidad sobre las funciones de utilidad pueden debilitarse de la siguiente manera: ^{[ 6 ] : Teorema 2}

• Cada función de utilidad${\displaystyle U_{i}}$es cuasi cóncava en${\displaystyle x_{i}}$, semicontinuo superior en${\displaystyle x}$y gráfica continua .

Otro debilitamiento, que no utiliza la continuidad de grafos, es: ^{[ 6 ]}

• Cada función de utilidad${\displaystyle U_{i}}$es cuasi cóncava en${\displaystyle x_{i}}$, semicontinuo superior en${\displaystyle x}$y la función${\displaystyle W_{i}(x_{-i}):=\max _{x_{i}}U_{i}(x_{i},x_{-i})}$[que se define desde ${\displaystyle U_{i}}$es semicontinua superior ] es semicontinua inferior .

Las demostraciones utilizan el teorema del punto fijo de Kakutani .

Una economía de intercambio es un sistema con N-1 consumidores y${\displaystyle l}$bienes homogéneos divisibles. Para cada consumidor i, existe:

• Un conjunto de consumo${\displaystyle Y_{i}}$(un subconjunto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{l}}$). Esto representa el conjunto de paquetes que el agente puede consumir.
  • Definimos el producto cartesiano de todos los conjuntos de consumo como:${\displaystyle Y:=\prod _{j=1}^{N}Y_{j}}$.
• Un vector de dotación inicial${\displaystyle w_{i}\in \mathbb {R} _{+}^{l}.}$
• Una función de utilidad${\displaystyle V_{i}:Y_{i}\to \mathbb {R} }$Esto representa las preferencias del agente. Cabe destacar que la utilidad de un consumidor depende únicamente de su propio consumo, y no de la asignación total.

Definimos el conjunto de posibles vectores de precios como:${\displaystyle \Delta$ :=\{p\in \mathbb {R} _{+}^{l}|\sum _{i=1}^{l}p_{i}=1\}} .

Un equilibrio walrasiano (también conocido como equilibrio competitivo ) en una economía de intercambio es un vector de cestas de consumo y un vector de precios,${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{N-1},p)}$, de tal manera que:

• El consumo total es, como máximo, igual a la dotación total:${\displaystyle \sum y_{i}\leq \sum w_{i}}$.
• El gasto total de cada agente es, como máximo, su presupuesto:${\displaystyle p\cdot y_{i}\leq p\cdot w_{i}}$.
• Para cada agente${\displaystyle i}$, el consumo${\displaystyle y_{i}}$maximiza la función${\displaystyle V_{i}(\cdot )}$sujeto a la restricción${\displaystyle p\cdot y_{i}\leq p\cdot w_{i}}$. Es decir, si${\ Displaystyle V_ {i} (z)> V_ {i} (y_ {i})}$, entonces ${\displaystyle p\cdot z>p\cdot w_{i}\geq p\cdot y_{i}}$.

Arrow y Debreu ^{[ 2 ]} presentaron la siguiente reducción de la economía de intercambio a la economía abstracta.

Dada una economía de intercambio con ( N -1) agentes, definimos una economía abstracta con N agentes añadiendo un agente especial denominado creador de mercado o jugador de mercado . El "consumo" de este jugador especial se denota por p . Los componentes de la economía abstracta se definen de la siguiente manera:

• Cada uno de los primeros N -1 agentes tiene un conjunto de opciones.${\displaystyle X_{i}=Y_{i}}$función de utilidad${\displaystyle U_{i}=V_{i}}$y un conjunto de acciones definido por su presupuesto:${\displaystyle A_{i}(y,p)=\{y_{i}\in Y_{i}|py_{i}\leq pw_{i}\}}$.
• El jugador del mercado tiene un conjunto de opciones${\displaystyle X_{N}:=\Delta }$(el conjunto de posibles vectores de precios), función de utilidad${\displaystyle U_{N}(y,p):=p\cdot (\sum y_{i}-\sum w_{i})}$y conjunto de acciones definido por ${\displaystyle A_{N}(y,p)\equiv \Delta }$.

Intuitivamente, el agente del mercado elige el precio de manera que equilibre la oferta y la demanda : para las materias primas con más oferta que demanda, el término de la derecha en${\displaystyle U_{N}(y,p)}$es negativo, por lo que el agente del mercado elige un precio bajo; para los productos básicos con más demanda que oferta, el término es positivo, por lo que el agente del mercado elige un precio alto.

Las siguientes condiciones en la economía de intercambio son suficientes para garantizar que la economía abstracta satisfaga las condiciones de equilibrio:

• Cada conjunto de consumo${\displaystyle Y_{i}}$es compacto y convexo, y contiene la dotación${\displaystyle w_{i}}$en su interior.
• Cada función de utilidad${\displaystyle V_{i}}$es continua y cuasicóncava .

Además, la siguiente condición adicional es suficiente para garantizar que el equilibrio${\displaystyle y}$En la economía abstracta, lo que corresponde a un equilibrio competitivo en la economía de intercambio es:

• Para cada agente i,${\displaystyle y_{i}}$no es un máximo local (sin restricciones) de${\displaystyle V_{i}}$. Por ejemplo, basta con suponer que no todos los agentes están saciados .

La definición${\displaystyle A_{i}(y,p)=\{y_{i}\in Y_{i}|py_{i}\leq pw_{i}\}}$garantiza que el gasto total de cada agente sea como máximo su presupuesto. La definición ${\displaystyle U_{i}=V_{i}}$garantiza que el consumo de cada agente maximice su utilidad dado el presupuesto. Y la definición${\displaystyle U_{N}(y,p):=p\cdot (\sum y_{i}-\sum w_{i})}$garantiza que el consumo total sea igual a la dotación total.

Por lo tanto, si la economía de intercambio satisface las tres condiciones anteriores, existe un equilibrio competitivo.

En la demostración asumimos que${\displaystyle V_{i}}$depende únicamente de${\displaystyle y_{i}}$, pero esta suposición no es realmente necesaria: la prueba sigue siendo válida incluso si la utilidad depende del consumo de otros agentes ( externalidades ) o de los precios.

En el modelo generalizado de Shafer y Sonnenschein, ^{[ 3 ]} Para cada agente${\displaystyle i}$hay:

• Un conjunto de opciones${\displaystyle X_{i}}$- como se indicó anteriormente;
• Una correspondencia de restricciones${\displaystyle A_{i}:X\twoheadrightarrow X_{i}}$ - como se indicó anteriormente;
• Una correspondencia de preferencias${\displaystyle P_{i}:X\twoheadrightarrow X_{i}}$Esto representa, para cada combinación de elecciones de los otros agentes, qué elecciones prefiere estrictamente el agente a su elección actual.

El modelo de Debreu es un caso especial de este modelo, en el que las correspondencias de preferencias se definen en función de funciones de utilidad:${\displaystyle P_{i}(x):=\{z_{i}\in X_{i}:U_{i}(z_{i},x_{-i})>U_{i}(x_{i},x_{-i})\}}$Sin embargo, el modelo generalizado no requiere que la correspondencia de preferencias pueda representarse mediante una función de utilidad. En particular, no tiene por qué corresponder a una relación transitiva .

Un equilibrio en una economía abstracta generalizada es un vector de elecciones,${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{N})=(x_{i},x_{-i})}$, de tal manera que, para cada agente${\displaystyle i}$, ${\displaystyle x_{i}\in A_{i}(x)}$y${\displaystyle P_{i}(x)\cap A_{i}(x)=\emptyset }$El concepto de equilibrio de Debreu es un caso especial de este equilibrio.

Las siguientes condiciones son suficientes para la existencia de equilibrio en la economía abstracta generalizada: ^{[ 3 ]}

• (a) Cada conjunto de opciones${\displaystyle X_{i}}$es compacto, no vacío y convexo.
• (b') Cada correspondencia de acción${\displaystyle A_{i}}$es continuo.
• (b '' ) Los valores${\displaystyle A_{i}(x)}$son no vacías y convexas para cada x.
• (c') Cada correspondencia de preferencia${\displaystyle P_{i}}$tiene un gráfico abierto en${\displaystyle X\times X_{i}}$(Esta es una forma de condición de continuidad).
• (c '' ) Para cada${\displaystyle x\in X}$, la envoltura convexa de${\displaystyle P_{i}(x)}$no contiene${\displaystyle x_{i}}$(Esta es una forma de condición de no reflexividad: un agente no prefiere estrictamente una opción a sí mismo).

Mas-Colell generalizó la definición de economía de intercambio de la siguiente manera. ^{[ 7 ]} Para cada consumidor i, existe:

• Un conjunto de consumo${\displaystyle Y_{i}}$- como se indicó anteriormente;
• Un vector de dotación inicial${\displaystyle w_{i}\in \mathbb {R} _{+}^{l}}$- como se indicó anteriormente;
• Una relación de preferencia${\displaystyle \prec _{i}}$ que puede representarse de forma equivalente mediante una correspondencia de preferencias${\displaystyle P_{i}:Y_{i}\twoheadrightarrow Y_{i}}$, que depende únicamente del paquete consumido:${\displaystyle P_{i}(y_{i}):=\{z_{i}\in Y_{i}|z_{i}\succ _{i}y_{i}\}}$Cabe señalar que la relación de preferencia no tiene por qué ser completa ni transitiva.

Un equilibrio competitivo en dicha economía de intercambio se define mediante un vector de precios p y una asignación y tales que:

• La suma de todos los precios es 1;
• La suma de todas las asignaciones${\displaystyle y_{i}}$es como máximo la suma de las dotaciones${\displaystyle w_{i}}$;
• Por cada i:${\displaystyle p\cdot y_{i}=p\cdot w_{i}}$;
• Para cada paquete z: si${\ Displaystyle z \ succ _ {i} y_ {i}}$entonces${\displaystyle p\cdot z>p\cdot y_{i}}$(es decir, si el agente prefiere estrictamente z a su parte, entonces el agente no puede permitirse z).

La reducción del "creador de mercado" mostrada anteriormente, desde la economía de intercambio de Arrow-Debreu a la economía abstracta de Debreu, puede realizarse desde la economía de intercambio generalizada de Mas-Collel a la economía abstracta generalizada de Shafer-Sonnenschein. Esta reducción implica que las siguientes condiciones son suficientes para la existencia de un equilibrio competitivo en la economía de intercambio generalizada:

• Cada${\displaystyle \prec _{i}}$es relativamente abierto (equivalentemente, cada${\displaystyle P_{i}}$tiene un gráfico abierto );
• Para cada paquete x , el conjunto${\displaystyle P_{i}(x)}$es convexo y no contiene x (= irreflexividad). Mas-Collel añadió la condición de que el conjunto${\displaystyle P_{i}(x)}$no es vacío (= no saturado).
• Por cada i:${\displaystyle w_{i}\gg x_{i}}$ para algún conjunto x (esto significa que la dotación inicial está en el interior de los conjuntos de elección).

El siguiente ejemplo muestra que, cuando no se cumple la propiedad de grafo abierto, puede que no exista equilibrio.

Hay una economía con dos bienes, digamos manzanas y plátanos. Hay dos agentes con dotaciones idénticas (1,1). Tienen preferencias idénticas, basadas en el orden lexicográfico: para cada vector${\displaystyle y_{i}=(a_{i},b_{i})}$de${\displaystyle a_{i}}$manzanas y ${\displaystyle b_{i}}$plátanos, el conjunto${\displaystyle P_{i}(a_{i},b_{i}):=\{(a_{i}',b_{i}')|(a_{i}'>a_{i})~o~(a_{i}'=a_{i}~y~b_{i}'>b_{i})\}}$, es decir, cada agente quiere tantas manzanas como sea posible y, sujeto a eso, tantas bananas como sea posible. Tenga en cuenta que${\displaystyle P_{i}(a_{i},b_{i})}$representa una relación completa y transitiva, pero no tiene un grafo abierto.

Esta economía no tiene equilibrio. Supongamos por contradicción que existe un equilibrio. Entonces, la asignación de cada agente debe ser al menos (1,1) lexicográficamente. Pero esto significa que las asignaciones de ambos agentes deben ser exactamente (1,1). Ahora bien, hay dos casos: si el precio de los plátanos es 0, entonces ambos agentes pueden permitirse la cesta (1,2), que es estrictamente mejor que su asignación. Si el precio de los plátanos es algún p > 0 (donde el precio de las manzanas se normaliza a 1), entonces ambos agentes pueden permitirse la cesta (1+ p , 0), que es estrictamente mejor que su asignación. En ambos casos, no puede ser un precio de equilibrio.