Número abundante

En teoría de números , un número abundante o excesivo es un entero positivo cuya suma de divisores propios es mayor que el propio número. El entero 12 es el primer número abundante: sus divisores propios son 1, 2, 3, 4 y 6, y su suma, 16, es mayor que 12. La cantidad en que la suma excede al número se denomina abundancia . Por ejemplo, el número 12 tiene una abundancia de 4.

Definición y ejemplos

Un número abundante es un número natural $n$ para el cual la suma de divisores $σ (n)$ satisface $σ (n) > 2n,$ o, equivalentemente, la suma de divisores propios (o suma alícuota ) $s (n)$ satisface $s (n) > n$ . ^{[ 1 ]}^{: 84}^{[ 2 ]}^{: 693}^{[ 3 ]}^{: 273}^{[ 4 ]}^{: 185} La abundancia de un número natural es el entero $σ (n) - 2n$ (equivalentemente, $s (n) - n$ ). ^{[ 5 ]}

Los números abundantes menores de 100 son

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90 y 96 (secuencia A005101 en el OEIS ) .

Por ejemplo, los divisores propios de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8 y 12, cuya suma es 36. Como 36 es mayor que 24, el número 24 es abundante, y su abundancia es $36 - 24 = 12$ .

Los números que no son abundantes son perfectos (si $σ (n) = 2 n$ ) o deficientes (si $σ (n) < 2 n$ ).

Propiedades

{\displaystyle a(n)} — Dejar $a(n)$ sea el número de números abundantes que no exceda $n$ . Trama de $a(n)/n$ para $n<10^{6}$ (con $n$ escala logarítmica)

Todo múltiplo de un número abundante es abundante. ^{[ 2 ]}^{: 695}^{[ 5 ]} Por ejemplo, todo múltiplo de 20 (incluido el 20 mismo) es abundante porque si $n$ es un múltiplo de 20 entonces $\sigma (n)\geq {\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{4}}+{\tfrac {n}{5}}+{\tfrac {n}{10}}+{\tfrac {n}{20}}=n+{\tfrac {n}{10}}.$ De manera similar, todo múltiplo de un número perfecto (excepto el número perfecto mismo) es abundante. ^{[ 6 ]}^{: 134} Por ejemplo, todo múltiplo $n$ de 6 mayor que 6 es abundante porque $\sigma (n)\geq 1+{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{3}}+{\tfrac {n}{6}}=n+1.$ Un número abundante que no es múltiplo de un número abundante o un número perfecto (es decir, cuyos divisores propios son todos deficientes) se denomina número abundante primitivo .

A diferencia de los números perfectos, se sabe que existen números abundantes pares e impares . El número abundante impar más pequeño es 945. ^{[ 7 ]}^{[ 3 ]}^{: 199} En consecuencia, existen infinitos números abundantes con cada paridad . El número abundante más pequeño que no es divisible por 2 ni por 3 es 5391411025; sus factores primos distintos son 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29. Un algoritmo dado por Iannucci en 2005 muestra cómo encontrar el número abundante más pequeño que no es divisible por los primeros k primos (secuencia A047802 en la OEIS ) . ^{[ 8 ]} Si $A(k)$ representa el número abundante más pequeño no divisible por los primeros k primos, entonces para todo $\epsilon >0$ tenemos $(1-\epsilon )(k\ln k)^{2-\epsilon }<\ln A(k)<(1+\epsilon )(k\ln k)^{2+\epsilon }$ para k suficientemente grande .

El conjunto de números abundantes tiene una densidad natural distinta de cero ; es decir, a medida que $N$ aumenta, la fracción de los números naturales menores que $N$ que son abundantes se aproxima a una constante. Esta fracción límite se encuentra entre 0,2476171 y 0,2476475. ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

El primer par de números abundantes consecutivos es (5775, 5776), y la primera terna consecutiva es (171078830, 171078831, 171078832). ^{[ 12 ]} Sea $E(n)$ sea la longitud de la racha más larga de números abundantes consecutivos que no exceda $n$ Paul Erdős (1935) demostró que existen dos constantes $c_{1},c_{2}$ de tal manera que $c_{1}\log \log \log n\leq E(n)\leq c_{2}\log \log \log n$ para todos suficientemente grandes $n$ . ^{[ 13 ]} De hecho, el límite $\lim _{n\to \infty }{\dfrac {E(n)}{\log \log \log n}}$ existe, con un valor que se encuentra entre 3,24 y 3,54. ^{[ 14 ]}

Todo entero mayor que 20161 puede escribirse como la suma de dos números abundantes. ^{[ 3 ]}^{: 273} El mayor número par que no es la suma de dos números abundantes es 46. ^{[ 15 ]}

Conceptos relacionados

Los números cuya suma de factores propios es igual al número mismo (como 6 y 28) se denominan números perfectos , ^{[ 4 ]}^{: 11}^{[ 1 ]}^{: 84} mientras que los números cuya suma de factores propios es menor que el número mismo se denominan números deficientes . ^{[ 4 ]}^{: 185}^{[ 1 ]}^{: 84} La primera clasificación conocida de los números como deficientes, perfectos o abundantes fue realizada por Nicómaco en su Introductio Arithmetica (ca. 100 d. C.) y por Teón de Esmirna en su Sobre las matemáticas útiles para la comprensión de Platón (ca. 100 d. C.). ^{[ 16 ]}^{: 74}^{[ 6 ]}^{: 128}

El índice de abundancia de $n$ es la razón $σ (n)/ n$ . ^{[ 1 ]}^{: 84} Un número cuyo índice de abundancia es mayor que cualquier número menor se llama número superabundante (secuencia A004394 en el OEIS ) . ^{[ 1 ]}^{: 88} Los números distintos n ₁ , n ₂ , ... (sean abundantes o no) con el mismo índice de abundancia se llaman números amigos .

La secuencia ( a _k ) de los números más pequeños n tales que σ ( n ) > kn , en la que a ₂ = 12 corresponde al primer número abundante, crece muy rápidamente (secuencia A134716 en la OEIS ) . El entero impar más pequeño con índice de abundancia mayor que 3 es 1018976683725 = 3 ³ × 5 ² × 7 ² × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29. ^{[ 17 ]}

Si p = ( p ₁ , ..., p _n ) es una lista de números primos, entonces p se denomina abundante si algún entero compuesto únicamente por primos en p es abundante. Una condición necesaria y suficiente para esto es que el producto de los números ${\frac {p_{k}}{p_{k}-1}}$ ser mayor que 2. ^{[ 18 ]}

Un número $n$ para el cual la suma de sus divisores (incluido él mismo) es mayor que la suma de los divisores de cualquier número natural menor se denomina número altamente abundante .

Un número abundante que no es un número semiperfecto se llama número extraño . ^{[ 6 ]}^{: 144} Un número abundante con abundancia 1 se llama número cuasiperfecto ; no se sabe si existen números cuasiperfectos.

Referencias

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Enlaces externos

El glosario principal: Número abundante
Gran cantidad en PlanetMath .

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