Abuso de notación

Muchos objetos matemáticos constan de un conjunto , a menudo llamado conjunto subyacente, dotado de alguna estructura adicional, como una operación matemática o una topología . Es un abuso común de la notación usar el mismo símbolo para el conjunto subyacente y el objeto estructurado, un fenómeno conocido como supresión de parámetros. ^{[ 2 ]}

Por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {Z} }$puede denotar el conjunto de los enteros , el grupo de enteros junto con la suma , o el anillo de enteros con la suma y la multiplicación . Asimismo,${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$a menudo se usa para referirse al espacio euclidiano 3D tomado como un espacio vectorial , un espacio métrico o un espacio topológico , dependiendo de las propiedades relevantes en el contexto. Esto se debe a que, por ejemplo, la distancia euclidiana se entiende como la métrica 'predeterminada' en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$y se da por sentado cuando no se indica lo contrario, aunque existan otros.

De manera similar, mientras que un espacio topológico${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$consta de un conjunto subyacente${\displaystyle X}$y una topología${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, es costumbre hablar del "espacio"${\displaystyle X}$" en situaciones donde solo una topología en${\displaystyle X}$siempre se tiene en cuenta, una vez que esa topología está claramente establecida.

En general, no hay problema con la supresión de parámetros si el objeto al que se hace referencia se comprende bien, y evitar tal abuso de notación podría incluso hacer que los textos matemáticos sean más pedantes y más difíciles de leer. Cuando este abuso de notación puede resultar confuso, se puede distinguir entre estructuras denotando, por ejemplo,${\displaystyle (\mathbb {Z},+)}$el grupo de enteros con suma y${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\cdot )}$el anillo de los enteros; definiendo explícitamente la topología, la estructura métrica, etc. de interés en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$; o escribiendo explícitamente tuplas como${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$y${\displaystyle (X,{\mathcal {T'}})}$para distinguir entre diferentes espacios topológicos con el mismo conjunto subyacente.

En muchos libros de texto se pueden encontrar frases como "Dejar${\displaystyle f(x)}$ser una función ...". Esto es un abuso de notación, ya que el nombre de la función es${\displaystyle f,}$y${\displaystyle f(x)}$denota el valor de${\displaystyle f}$para el elemento${\displaystyle x}$de su dominio. Las frases más precisas y correctas incluyen "Dejar${\displaystyle f}$ser una función de la variable${\displaystyle x}$...” o "Dejar${\displaystyle x\mapsto f(x)}$ser una función ...” Este abuso de la notación se utiliza ampliamente, ya que simplifica la formulación, y el uso sistemático de una notación correcta se vuelve rápidamente pedante.

Otro abuso de la notación se produce en oraciones como "Consideremos la función${\displaystyle x^{2}+x+1}$...", cuando en realidad${\displaystyle x^{2}+x+1}$es una expresión polinómica , no una función en sí misma, mientras que la función que mapea la variable${\displaystyle x}$a${\displaystyle x^{2}+x+1}$podría denotarse formalmente${\displaystyle x\mapsto x^{2}+x+1.}$De manera similar, una función constante${\displaystyle f}$puede identificarse con su valor, como en${\displaystyle f=c}$, cuando sería más correcto escribir, por ejemplo, "${\displaystyle f(x)=c}$para todas las entradas${\displaystyle x}$Sin embargo, estos abusos de notación se utilizan ampliamente, ya que son más concisos y generalmente no generan confusión.

Muchas estructuras matemáticas se definen mediante una propiedad característica (a menudo una propiedad universal ). Una vez definida esta propiedad, existen diversas maneras de construir la estructura, y los resultados correspondientes son objetos formalmente diferentes, pero que poseen exactamente las mismas propiedades (es decir, isomorfos ). Dado que no hay forma de distinguir estos objetos isomorfos mediante sus propiedades, es habitual considerarlos iguales, aunque esto sea formalmente incorrecto. ^{[ 3 ]}

Un ejemplo de esto es el producto cartesiano , que a menudo se considera asociativo:

${\displaystyle (E\times F)\times G=E\times (F\times G)=E\times F\times G}$.

Pero esto, estrictamente hablando, no es cierto: si${\displaystyle x\in E}$,${\displaystyle y\in F}$y${\displaystyle z\in G}$, la identidad${\displaystyle ((x,y),z)=(x,(y,z))}$implicaría que${\displaystyle (x,y)=x}$y${\displaystyle z=(y,z)}$, y entonces${\displaystyle ((x,y),z)=(x,y,z)}$no significaría nada. Sin embargo, estas igualdades pueden legitimarse y hacerse rigurosas en la teoría de categorías , utilizando la idea de un isomorfismo natural .

Otro ejemplo de abusos similares se da en afirmaciones como "hay dos grupos no abelianos de orden 8", que, dicho de forma más estricta, significa "hay dos clases de isomorfismo de grupos no abelianos de orden 8".

Hacer referencia a una clase de equivalencia de una relación de equivalencia mediante${\displaystyle x}$en lugar de${\displaystyle [x]}$es un abuso de notación. Formalmente, si un conjunto${\displaystyle X}$está particionado por una relación de equivalencia${\displaystyle \sim }$, luego para cada${\displaystyle x\in X}$, la clase de equivalencia ${\displaystyle \{y\in X|y\sim x\}}$se denota${\displaystyle [x]}$. Pero en la práctica, si el resto de la discusión se centra en las clases de equivalencia en lugar de en los elementos individuales del conjunto subyacente, entonces es común omitir los corchetes en la discusión.

Por ejemplo, en aritmética modular , un grupo finito de orden${\displaystyle n}$puede formarse mediante la partición de los enteros a través de la relación de equivalencia "${\displaystyle x\sim y}$si y solo si${\displaystyle x\equiv y\ (\mathrm {mod} \ n)}$". Los elementos de ese grupo serían entonces${\displaystyle [0],[1],\dots ,[n-1]}$, pero en la práctica suelen denominarse simplemente como${\displaystyle 0,1,...,n-1}$.

Otro ejemplo es el espacio de (clases de) funciones medibles sobre un espacio de medida , o clases de funciones integrables de Lebesgue , donde la relación de equivalencia es igualdad " casi en todas partes ".