Aceleración

La aceleración media de un objeto${\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}}$durante un período de tiempo es su cambio de velocidad ,${\displaystyle \Delta \mathbf {v} }$, dividido por la duración del período,${\displaystyle \Delta t}$Matemáticamente, $${\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}.}$$La aceleración media es la forma más sencilla de medir la aceleración, ya que solo requiere conocer el cambio de velocidad y el cambio de tiempo. En sentido estricto, la aceleración media es la única aceleración verdadera que se puede medir directamente sin recurrir a una ley empírica , lo que significa que es la forma más fundamental de medición de la aceleración.

La aceleración media se utiliza con mayor frecuencia para aproximar la cinemática de un objeto asumiendo que la velocidad cambia linealmente con el tiempo. En intervalos de tiempo cortos, a menudo podemos asumir que la aceleración es uniforme , lo que significa que la aceleración${\displaystyle \mathbf {a} }$La aceleración del objeto será exactamente igual a la aceleración promedio.${\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}}$(Para más detalles, consulte la subsección Aceleración uniforme ).

Según la segunda ley del movimiento de Newton , la aceleración media está relacionada con la fuerza media.${\displaystyle {\bar {\mathbf {f} }}}$sobre una partícula de masa${\displaystyle m}$por, $${\displaystyle {\bar {\mathbf {f} }}=m{\bar {\mathbf {a} }}.}$$Esto significa que una medición de la aceleración promedio es también una medición de la fuerza promedio (también conocida como impulso) .${\displaystyle \mathbf {J} ={\bar {\mathbf {f} }}}$.)

La aceleración instantánea es el límite de la aceleración media en un intervalo de tiempo infinitesimal . En términos de cálculo , la aceleración instantánea es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo. $${\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\dot {\mathbf {v} }}.}$$ Como la aceleración se define como la derivada de la velocidad, v , con respecto al tiempo t , y la velocidad se define como la derivada de la posición, x , con respecto al tiempo, la aceleración puede considerarse como la segunda derivada de x con respecto a t : $${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}={\ddot {\mathbf {x} }}.}$$(Aquí y en otros lugares, si el movimiento es en línea recta , las cantidades vectoriales pueden sustituirse por escalares en las ecuaciones).

Según el teorema fundamental del cálculo , se puede ver que la integral de la función de aceleración a ( t ) es la función de velocidad v ( t ) ; es decir, el área bajo la curva de un gráfico de aceleración vs. tiempo ( a vs. t ) corresponde al cambio de velocidad. $${\displaystyle \Delta \mathbf {v} =\int \mathbf {a} \,dt.}$$

Asimismo, la integral de la función de variación de la aceleración j ( t ) , la derivada de la función de aceleración, se puede utilizar para hallar el cambio de aceleración en un momento determinado: $${\displaystyle \Delta \mathbf {a} =\int \mathbf {j} \,dt.}$$

La aceleración tiene las dimensiones de velocidad (L/T) dividida por tiempo, es decir L T ⁻² . La unidad del SI de aceleración es el metro por segundo al cuadrado (ms ⁻² ); o "metro por segundo por segundo", ya que la velocidad en metros por segundo cambia por el valor de la aceleración, cada segundo.

Un objeto que se mueve en un movimiento circular, como un satélite que orbita la Tierra, acelera debido al cambio de dirección de su movimiento, aunque su velocidad sea constante. En este caso, se dice que experimenta una aceleración centrípeta (dirigida hacia el centro).

La aceleración propia , la aceleración de un cuerpo en relación con una condición de caída libre, se mide mediante un instrumento llamado acelerómetro . La segunda ley de Newton se aplica normalmente en un sistema de referencia inercial. En un sistema de referencia que acelera con aceleración${\displaystyle a}$(en una dimensión), las leyes de Newton aún pueden utilizarse introduciendo una fuerza inercial (fuerza ficticia).${\displaystyle F=-ma}$en una masa${\displaystyle m}$, opuesto a la aceleración del marco. Esto explica la tendencia de la masa a mantener su movimiento inercial —a permanecer "como está", en reposo o moviéndose a velocidad constante— mientras el marco acelera. Un ejemplo es que una persona en un ascensor se siente más pesada o más ligera a medida que el ascensor acelera o desacelera. Si${\displaystyle m}$Se sabe que la medición de la fuerza de soporte sobre la masa puede usarse para inferir la aceleración; este es el principio de un acelerómetro mecánico. ^{[ 4 ] [ 5 ]} En la relatividad general, la gravedad y la aceleración inercial pueden ser localmente indistinguibles (véase Relatividad general ).

En mecánica clásica , para un cuerpo con masa constante, la aceleración (vectorial) del centro de masa del cuerpo es proporcional al vector de fuerza neta (es decir, la suma de todas las fuerzas) que actúan sobre él ( segunda ley de Newton ): $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \quad \implica \quad \mathbf {a} ={\frac {\mathbf {F} }{m}},}$$ donde F es la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo, m es la masa del cuerpo y a es la aceleración del centro de masas. A medida que las velocidades se aproximan a la velocidad de la luz , los efectos relativistas se vuelven cada vez más grandes.

La aceleración uniforme o constante es un tipo de movimiento en el que la velocidad de un objeto cambia en la misma cantidad en cada período de tiempo igual.

Un ejemplo frecuentemente citado de aceleración uniforme es el de un objeto en caída libre en un campo gravitatorio uniforme. La aceleración de un cuerpo en caída libre, en ausencia de resistencias al movimiento, depende únicamente de la intensidad del campo gravitatorio g (también llamada aceleración debida a la gravedad ). Según la segunda ley de Newton, la fuerza${\displaystyle \mathbf {F_{g}} }$La acción que se ejerce sobre un cuerpo viene dada por: $${\displaystyle \mathbf {F_{g}} =m\mathbf {g} .}$$

Debido a las propiedades analíticas simples del caso de aceleración constante, existen fórmulas simples que relacionan el desplazamiento , las velocidades inicial y dependiente del tiempo , y la aceleración con el tiempo transcurrido : ^{[ 12 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} (t)&=\mathbf {x} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}&=\mathbf {x} _{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {v} _{0}+\mathbf {v} (t)\right)t\\\mathbf {v} (t)&=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t\\{v^{2}}(t)&={v_{0}}^{2}+2\mathbf {a\cdot } [\mathbf {x} (t)-\mathbf {x} _{0}],\end{aligned}}}$$dónde

• ${\displaystyle t}$es el tiempo transcurrido,
• ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$es el desplazamiento inicial desde el origen,
• ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$es el desplazamiento desde el origen en el tiempo${\displaystyle t}$,
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$es la velocidad inicial,
• ${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$es la velocidad en el tiempo${\displaystyle t}$, y
• ${\displaystyle \mathbf {a} }$es la tasa de aceleración uniforme.

En particular, el movimiento puede descomponerse en dos partes ortogonales: una de velocidad constante y otra que se ajusta a las ecuaciones anteriores. Como demostró Galileo , el resultado final es un movimiento parabólico, que describe, por ejemplo, la trayectoria de un proyectil en el vacío cerca de la superficie terrestre. ^{[ 13 ]}

El vector de posición r siempre apunta radialmente desde el origen.

Vector de velocidad v , siempre tangente a la trayectoria del movimiento.

Vector de aceleración a , no paralelo al movimiento radial sino desplazado por las aceleraciones angular y de Coriolis, ni tangente a la trayectoria sino desplazado por las aceleraciones centrípeta y radial.

Vectores cinemáticos en coordenadas polares planas . Nótese que la configuración no se limita al espacio bidimensional, sino que puede representar el plano osculador en un punto de una curva arbitraria en cualquier dimensión superior.

En el movimiento circular uniforme , es decir, el desplazamiento a velocidad constante a lo largo de una trayectoria circular, una partícula experimenta una aceleración resultante del cambio de dirección del vector velocidad, mientras que su magnitud permanece constante. La derivada de la posición de un punto en una curva con respecto al tiempo, es decir, su velocidad, resulta ser siempre tangente a la curva y ortogonal al radio en dicho punto. Dado que en el movimiento uniforme la velocidad en la dirección tangencial no cambia, la aceleración debe estar en dirección radial, apuntando hacia el centro del círculo. Esta aceleración cambia constantemente la dirección de la velocidad para que sea tangente en el punto vecino, haciendo así rotar el vector velocidad a lo largo del círculo.

• Para una velocidad dada${\displaystyle v}$La magnitud de esta aceleración causada geométricamente (aceleración centrípeta) es inversamente proporcional al radio.${\displaystyle r}$del círculo, y aumenta con el cuadrado de esta velocidad:$${\displaystyle a_{c}={\frac {v^{2}}{r}}\,.}$$
• Para una velocidad angular dada${\displaystyle \omega }$La aceleración centrípeta es directamente proporcional al radio.${\displaystyle r}$Esto se debe a la dependencia de la velocidad.${\displaystyle v}$en el radio${\displaystyle r}$.$${\displaystyle v=\omega r.}$$

Expresar el vector de aceleración centrípeta en componentes polares, donde${\displaystyle \mathbf {r} }$es un vector desde el centro del círculo hasta la partícula con una magnitud igual a esta distancia, y considerando la orientación de la aceleración hacia el centro, se obtiene $${\displaystyle \mathbf {a} _{c}=-{\frac {v^{2}}{|\mathbf {r} |}}\cdot {\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}\,.}$$Como es habitual en las rotaciones, la velocidad${\displaystyle v}$de una partícula puede expresarse como una velocidad angular con respecto a un punto situado a una distancia${\displaystyle r}$como $${\displaystyle \omega ={\frac {v}{r}}.}$$De este modo${\displaystyle \mathbf {a} _ {c}=-\omega ^{2}\mathbf {r} \,.}$

Esta aceleración y la masa de la partícula determinan la fuerza centrípeta necesaria , dirigida hacia el centro del círculo, como la fuerza neta que actúa sobre esta partícula para mantenerla en movimiento circular uniforme. La denominada « fuerza centrífuga », que parece actuar hacia afuera sobre el cuerpo, es una pseudofuerza experimentada en el sistema de referencia del cuerpo en movimiento circular, debido al momento lineal del cuerpo , un vector tangente al círculo de movimiento.

En un movimiento circular no uniforme, es decir, la velocidad a lo largo de la trayectoria curva está cambiando, la aceleración tiene una componente no nula tangente a la curva y no está confinada a la normal principal , que apunta al centro del círculo osculador, que determina el radio.${\displaystyle r}$para la aceleración centrípeta. La componente tangencial viene dada por la aceleración angular.${\displaystyle \alpha }$es decir, la tasa de cambio${\displaystyle \alpha ={\dot {\omega }}}$de la velocidad angular${\displaystyle \omega }$veces el radio${\displaystyle r}$. Eso es, $${\displaystyle a_{t}=r\alpha .}$$

El signo de la componente tangencial de la aceleración está determinado por el signo de la aceleración angular (${\displaystyle \alpha }$), y la tangente siempre está dirigida en ángulo recto con respecto al vector de radio.

La teoría especial de la relatividad describe el comportamiento de los objetos que se mueven en relación con otros objetos a velocidades cercanas a la de la luz en el vacío. La mecánica newtoniana se revela como una aproximación a la realidad, válida con gran precisión a velocidades bajas. A medida que las velocidades relevantes aumentan hasta acercarse a la velocidad de la luz, la aceleración deja de ajustarse a las ecuaciones clásicas.

A medida que las velocidades se aproximan a la de la luz, la aceleración producida por una fuerza dada disminuye, volviéndose infinitesimalmente pequeña a medida que se aproxima la velocidad de la luz; un objeto con masa puede aproximarse a esta velocidad asintóticamente , pero nunca alcanzarla.

A menos que se conozca el estado de movimiento de un objeto, es imposible distinguir si una fuerza observada se debe a la gravedad o a la aceleración; la gravedad y la aceleración inercial tienen efectos idénticos. Albert Einstein denominó a esto el principio de equivalencia y afirmó que solo los observadores que no sienten ninguna fuerza —incluida la fuerza de la gravedad— están justificados para concluir que no están acelerando. ^{[ 15 ]}