Fórmula de Ackermann

En la teoría de control , la fórmula de Ackermann proporciona un método para diseñar controladores para lograr el comportamiento deseado del sistema calculando directamente las ganancias de retroalimentación necesarias para colocar los polos ( autovalores ) del sistema de lazo cerrado ^{[ 1 ]} en ubicaciones específicas ( problema de asignación de polos ).

Estos polos influyen directamente en la respuesta del sistema a las entradas y perturbaciones. La fórmula de Ackermann proporciona una forma directa de calcular los ajustes necesarios —en concreto, las ganancias de retroalimentación— para desplazar los polos del sistema a las posiciones objetivo. Este método, desarrollado por Jürgen Ackermann [ ^{2 ] ,} resulta especialmente útil para sistemas que no varían con el tiempo ( sistemas invariantes en el tiempo ), permitiendo a los ingenieros controlar con precisión la dinámica del sistema, como su estabilidad y capacidad de respuesta.

Consideremos un sistema lineal invariante en el tiempo continuo con una representación en el espacio de estados.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\dot {x}} (t)&=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {Bu} (t)\\\mathbf {y} (t)&=\mathbf {Cx} (t)\end{aligned}}}$$

donde x es el vector de estado, u es el vector de entrada, y A , B , C son matrices de dimensiones compatibles que representan la dinámica del sistema. Una descripción de entrada-salida de este sistema viene dada por la función de transferencia.

$${\displaystyle {\begin{aligned}G(s)&=\mathbf {C} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} \\[4pt]&=\mathbf {C} \ {\frac {\operatorname {adj} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )}{\det(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )}}\ \mathbf {B}.\end{aligned}}}$$

donde det es el determinante y adj es el adjugado . Dado que el denominador de la ecuación de la derecha viene dado por el polinomio característico de A , los polos de G son los autovalores de A (nótese que lo contrario no es necesariamente cierto, ya que puede haber cancelaciones entre los términos del numerador y el denominador). Si el sistema es inestable , o tiene una respuesta lenta o cualquier otra característica que no especifique los criterios de diseño, podría ser ventajoso hacerle cambios. Sin embargo, las matrices A , B , C pueden representar parámetros físicos de un sistema que no se pueden alterar. Por lo tanto, un enfoque para este problema podría ser crear un bucle de retroalimentación con una ganancia k que alimentará la variable de estado x a la entrada u .

Si el sistema es controlable , siempre hay una entrada u ( t ) tal que cualquier estado x ₀ puede transferirse a cualquier otro estado x ( t ) . Teniendo esto en cuenta, se puede agregar un bucle de retroalimentación al sistema con la entrada de control u ( t ) = r ( t ) − kx ( t ) , de modo que la nueva dinámica del sistema será

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\dot {x}} (t)&=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {B} [\mathbf {r} (t)-\mathbf {kx} (t)]\\[2pt]&=[\mathbf {A} -\mathbf {Bk} ]\mathbf {x} (t)+\mathbf {Br} (t),\\[4pt]\mathbf {y} (t)&=\mathbf {Cx} (t).\end{aligned}}}$$

En esta nueva realización, los polos dependerán del polinomio característico Δ _​​nuevo de A − Bk , es decir

$${\displaystyle \Delta _{\text{nuevo}}(s)=\det {\bigl (}s\mathbf {I} -(\mathbf {A} -\mathbf {Bk} ){\bigr )}.}$$

Calcular el polinomio característico y elegir una matriz de retroalimentación adecuada puede ser una tarea desafiante, especialmente en sistemas más grandes. Una forma de facilitar los cálculos es mediante la fórmula de Ackermann. Para simplificar, consideremos un único vector de entrada sin parámetro de referencia r , como por ejemplo:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (t)&=-\mathbf {k} ^{\rm {T}}\mathbf {x} (t)\\[2pt]\mathbf {\dot {x}} (t)&=\mathbf {Ax} (t)-\mathbf {Bk} ^{\rm {T}}\mathbf {x} (t),\end{aligned}}}$$

donde k ^T es un vector de retroalimentación de dimensiones compatibles. La fórmula de Ackermann establece que el proceso de diseño se puede simplificar calculando únicamente la siguiente ecuación:

$${\displaystyle \mathbf {k} ^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}\,{\mathcal {C}}^{-1}\Delta _{\text{new}}(\mathbf {A} ),}$$

en la que Δ _nuevo ( A ) es el polinomio característico deseado evaluado en la matriz A , y${\displaystyle {\mathcal {C}}}$es la matriz de controlabilidad del sistema.

Considere ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} ={\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}}\mathbf {x} +{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\mathbf {u} }$$

Sabemos por el polinomio característico de A que el sistema es inestable ya que

$${\displaystyle {\begin{aligned}\det(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )&=(s-1)(s-2)-1\\&=s^{2}-3s+2,\end{aligned}}}$$

La matriz A solo tendrá valores propios positivos. Por lo tanto, para estabilizar el sistema, colocaremos una ganancia de retroalimentación.

$${\displaystyle \mathbf {k} ={\begin{bmatrix}k_{1}&k_{2}\end{bmatrix}}.}$$

A partir de la fórmula de Ackermann, podemos encontrar una matriz k que modificará el sistema de manera que su ecuación característica sea igual a un polinomio deseado. Supongamos que queremos${\displaystyle \Delta _{\text{desired}}(s)=s^{2}+11s+30.}$

De este modo,${\displaystyle \Delta _{\text{desired}}(\mathbf {A} )=\mathbf {A} ^{2}+11\mathbf {A} +30\mathbf {I} }$y el cálculo de la matriz de controlabilidad produce

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {C}}&={\begin{bmatrix}\mathbf {B} &\mathbf {AB} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\\[4pt]\implies {\mathcal {C}}^{-1}&={\begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

Además, tenemos eso${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}=\left[{\begin{smallmatrix}2&3\\3&5\end{smallmatrix}}\right].}$

Finalmente, a partir de la fórmula de Ackermann

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {k} ^{\rm {T}}&={\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}2&3\\3&5\end{bmatrix}}+11{\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}}+30\mathbf {I} \right)\\[2pt]&={\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}43&14\\14&57\end{bmatrix}}\\[2pt]&={\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}29&-43\\14&57\end{bmatrix}}\\[6pt]&={\begin{bmatrix}14&57\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

La fórmula de Ackermann también se puede utilizar para el diseño de observadores de estado . Consideremos el sistema observado lineal de tiempo discreto.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {x}} (n+1)&=\mathbf {A{\hat {x}}} (n)+\mathbf {Bu} (n)+\mathbf {L} [\mathbf {y} (n)-\mathbf {\hat {y}} (n)]\\\mathbf {\hat {y}} (n)&=\mathbf {C{\hat {x}}} (n)\end{aligned}}}$$

con ganancia del observador L. Entonces, la fórmula de Ackermann para el diseño de observadores de estado se denota como

$${\displaystyle \mathbf {L} ^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}({\mathcal {O}}^{\rm {T}})^{-1}\Delta _{\text{new}}(\mathbf {A} ^{\rm {T}})}$$

con matriz de observabilidad${\displaystyle {\mathcal {O}}}$Aquí es importante señalar que la matriz de observabilidad y la matriz del sistema están transpuestas :${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\rm {T}}}$y A ^T.​

La fórmula de Ackermann también se puede aplicar a sistemas observados en tiempo continuo.

• Comentarios sobre el estado completo

• Capítulo sobre la fórmula de Ackermann en el Wikilibro de Sistemas de Control e Ingeniería de Control.