Grupoide de acción

En matemáticas, un grupoide de acción o un grupoide de transformación es un grupoide que expresa una acción de grupo . Es decir, dada una acción de grupo (derecha)

${\displaystyle X\times G\to X,}$

obtenemos el grupoide${\displaystyle {\mathcal {G}}}$(= una categoría cuyos morfismos son todos invertibles) donde

• los objetos son elementos de${\displaystyle X}$,
• morfismos de${\displaystyle x}$a${\displaystyle y}$son las acciones de los elementos${\displaystyle g}$en${\displaystyle G}$de tal manera que${\displaystyle y=xg}$,
• composiciones para${\displaystyle x{\overset {g}{\to }}y}$y${\displaystyle y{\overset {h}{\to }}z}$es${\displaystyle x{\overset {hg}{\to }}z}$. ^{[ 1 ]}

Un grupoide se suele representar mediante dos flechas. Aquí lo anterior se puede escribir como:

${\displaystyle X\times G\,{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}\,X}$

dónde${\displaystyle s,t}$denotan la fuente y el destino de un morfismo en${\displaystyle {\mathcal {G}}}$; de este modo,${\displaystyle s(x,g)=x}$es la proyección y${\displaystyle t(x,g)=xg}$es la acción de grupo dada (aquí el conjunto de morfismos en${\displaystyle {\mathcal {G}}}$se identifica con${\displaystyle X\times G}$).

Dejar${\displaystyle C}$ser una ∞-categoría y${\displaystyle G}$un objeto grupoide en él. Entonces, una acción de grupo o un grupoide de acción sobre un objeto X en C es el diagrama simplicial ^{[ 2 ].}

${\displaystyle \cdots \,{\underset {\rightrightarrows }{\rightrightarrows }}\,X\times G\times G\,{\underset {\rightarrow }{\rightrightarrows }}\,X\times G\,\rightrightarrows \,X}$

que satisface los axiomas de forma similar a un grupoide de acción en el caso usual.

• https://ncatlab.org/nlab/show/action+groupoid
• https://mathoverflow.net/questions/130950/groupoids-vs-action-groupoids
• https://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~wakate/mcyr/2023/pdf/uchimura_tomoki.pdf en japonés