Notación actuarial

La tasa de interés efectiva anual es${\displaystyle i}$Proporciona el factor de crecimiento anual.${\displaystyle 1+i}$, por lo que una cantidad de 1 se convierte en${\displaystyle 1+i}$después de un año y${\displaystyle (1+i)^{n}}$después${\displaystyle n}$años. ^{[ 2 ] [ 1 ]} Por ejemplo, si la tasa anual es del 5% entonces${\displaystyle i=0.05}$y la cantidad actual 1 crece a${\displaystyle 1.05}$después de un año y${\displaystyle 1.05^{3}\approx 1.1576}$después de tres años. ^{[ 5 ]}

Una tasa de interés nominal convertible${\displaystyle m}$veces al año se escribe como${\displaystyle i^{(m)}}$. Está emparejado con una tasa periódica de${\displaystyle i^{(m)}/m}$aplicado${\displaystyle m}$veces durante el año, y su tasa efectiva anual correspondiente satisface ${\displaystyle 1+i=\left(1+{\frac {i^{(m)}}{m}}\right)^{m}}$. ^{[ 2 ]} Por ejemplo, con un 12% nominal compuesto mensualmente,${\displaystyle i^{(12)}=0.12}$y${\displaystyle 1+i=\left(1+0.12/12\right)^{12}\approx 1.1268}$, por lo que la tasa efectiva anual es de aproximadamente 12,68%. ^{[ 5 ]}

El factor de descuento${\displaystyle v}$es el valor presente hoy de 1 pagadero dentro de un año. Es igual a${\displaystyle v=(1+i)^{-1}}$. ^{[ 1 ]} Intuitivamente,${\displaystyle v}$es el “precio actual” para un determinado pago de 1 en un año cuando el mercado crece a una tasa${\displaystyle i}$. Durante varios años,${\displaystyle v^{n}}$descuentos un pago vencido en${\displaystyle n}$años. Con${\displaystyle i=5\%}$tenemos${\displaystyle v=1/1.05\approx 0.9524}$y${\displaystyle v^{3}\approx 0.8638}$. ^{[ 5 ]}

La tasa de descuento efectiva anual es${\displaystyle d}$, definido por la relación entre el importe y el valor presente durante un año. Satisface${\displaystyle d={\frac {i}{1+i}}}$, entonces${\displaystyle 1-d=v=(1+i)^{-1}}$. ^{[ 2 ]} Conceptualmente,${\displaystyle d}$es la fracción “reducida” un año antes del pago para alcanzar el mismo valor presente que la capitalización a${\displaystyle i}$A partir de hoy.

Una tasa de descuento nominal convertible${\displaystyle m}$veces al año se escribe${\displaystyle d^{(m)}}$Está vinculado a la tasa efectiva anual por${\displaystyle 1+i=\left(1-{\frac {d^{(m)}}{m}}\right)^{-m}}$. ^{[ 1 ]}

La fuerza de interés${\displaystyle \delta }$es la tasa nominal límite bajo capitalización cada vez más frecuente. Proporciona capitalización continua a través de ${\displaystyle 1+i=e^{\delta }}$, entonces${\displaystyle \delta =\ln(1+i)}$. ^{[ 2 ]} Con${\displaystyle i=5\%}$uno tiene${\displaystyle \delta \approx \ln(1.05)\approx 0.04879}$.

Estas relaciones resumen las conversiones comunes entre las descripciones efectivas, nominales y continuas del mismo crecimiento anual:

${\displaystyle (1+i)=\left(1+{\frac {i^{(m)}}{m}}\right)^{m}=e^{\delta }=\left(1-{\frac {d^{(m)}}{m}}\right)^{-m}=(1-d)^{-1}}$. ^{[ 2 ] [ 1 ]}

Una tabla de vida (o tabla de mortalidad) resume el patrón de supervivencia de un grupo hipotético grande, generalmente llamado cohorte. Registra el número de personas vivas a cada edad exacta y las probabilidades de sobrevivir o morir en intervalos determinados. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle l_{x}}$es el número de personas vivas, en relación con una cohorte inicial, a una edad exacta${\displaystyle x}$. A medida que aumenta la edad, disminuye el número de personas vivas, por lo que${\displaystyle l_{x+1}\leq l_{x}}$. ^{[ 1 ]}

${\displaystyle l_{0}}$es el valor inicial para${\displaystyle l_{x}}$Se le llama la base de la tabla y suele ser un número redondo conveniente, como por ejemplo:${\displaystyle 10^{5}}$o${\displaystyle 10^{6}}$. ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \omega }$es la edad límite de la tabla. A partir de esta edad, la cohorte está agotada, por lo que${\displaystyle l_{n}=0}$a pesar de${\displaystyle n\geq \omega }$. ^{[ 1 ]}

${\displaystyle d_{x}}$es el número de personas que mueren entre edades exactas${\displaystyle x}$y${\displaystyle x+1}$Se calcula a partir de la tabla de vidas mediante${\displaystyle d_{x}=l_{x}-l_{x+1}}$. ^{[ 1 ]}

${\displaystyle q_{x}}$es la probabilidad de que una vida envejezca${\displaystyle x}$muere antes de alcanzar la edad${\displaystyle x+1}$. Entonces

${\displaystyle q_{x}={\frac {d_{x}}{l_{x}}}}$. ^{[ 1 ]}

${\displaystyle p_{x}}$es la probabilidad de que una vida envejezca${\displaystyle x}$sobrevive hasta la vejez${\displaystyle x+1}$. Entonces

${\displaystyle p_{x}={\frac {l_{x+1}}{l_{x}}}}$.

Dado que sobrevivir o morir son las únicas posibilidades a lo largo del año,

${\displaystyle p_{x}+q_{x}=1}$. ^{[ 1 ]}

Estos símbolos se extienden naturalmente a varios años colocando el número de años en la parte inferior izquierda. Por ejemplo,

${\displaystyle {}_{n}d_{x}=l_{x}-l_{x+n}}$

es el número de personas que mueren entre edades${\displaystyle x}$y${\displaystyle x+n}$y las probabilidades correspondientes son

${\displaystyle {}_{n}q_{x}={\frac {{}_{n}d_{x}}{l_{x}}}}$y${\displaystyle {}_{n}p_{x}={\frac {l_{x+n}}{l_{x}}}}$. ^{[ 1 ]}

Otra estadística derivada de una tabla de vida es la esperanza de vida . La esperanza de vida abreviada${\displaystyle e_{x}}$es el número esperado de años completos de vida futura para una persona de edad${\displaystyle x}$, lo cual es igual a

${\displaystyle e_{x}=\sum _{t=1}^{\infty }{}_{t}p_{x}}$. ^{[ 2 ]}

Una tabla de vida generalmente muestra${\displaystyle l_{x}}$en edades enteras, mientras que muchos modelos actuariales necesitan valores dentro del año. Una suposición simplificadora común es la distribución uniforme de muertes dentro de cada año de edad, lo que da lugar a una interpolación lineal entre${\displaystyle l_{x}}$y${\displaystyle l_{x+1}}$:

${\displaystyle l_{x+t}=(1-t)l_{x}+t\,l_{x+1}}$para${\displaystyle 0\leq t<1}$. ^{[ 1 ]}

El símbolo básico para el valor presente de una anualidad es${\displaystyle \,a}$A continuación, se puede añadir la siguiente notación:

• La anotación en la parte superior derecha indica la frecuencia de pago (es decir, el número de pagos de anualidad que se realizarán cada año). Si no aparece dicha anotación, significa que los pagos se realizan anualmente.
• La anotación en la parte inferior derecha indica la edad de la persona cuando comienza a percibir la renta vitalicia y el período durante el cual se paga dicha renta.
• La notación situada justo encima del símbolo básico indica cuándo se realizan los pagos. Dos puntos indican una anualidad cuyos pagos se realizan al principio de cada año (una "anualidad anticipada"); una línea horizontal encima del símbolo indica una anualidad pagadera de forma continua (una "anualidad continua"); la ausencia de marca encima del símbolo básico indica una anualidad cuyos pagos se realizan al final de cada año (una "anualidad inmediata").

Si los pagos de una anualidad son independientes de cualquier acontecimiento vital, se denomina anualidad garantizada . En caso contrario, especialmente si los pagos finalizan al fallecimiento del beneficiario , se denomina anualidad vitalicia .

${\displaystyle a_{{\overline {n|}}i}}$(leer a-ángulo-n en i ) representa el valor presente de una anualidad inmediata, que es una serie de pagos unitarios al final de cada año para${\displaystyle n}$años (es decir: el valor un período antes del primero de n pagos). Este valor se obtiene de:

${\displaystyle \,a_{{\overline {n|}}i}=v+v^{2}+\cdots +v^{n}={\frac {1-v^{n}}{i}}}$

(${\displaystyle i}$en el denominador coincide con 'i' en inmediato)

${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}}$representa el valor presente de una anualidad anticipada, que es una serie de pagos unitarios al comienzo de cada año por${\displaystyle n}$años (es decir: el valor en el momento del primero de n pagos). Este valor se obtiene de:

${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}=1+v+\cdots +v^{n-1}={\frac {1-v^{n}}{d}}}$

(${\displaystyle d}$en el denominador coincide con 'd' en debido)

${\displaystyle \,s_{{\overline {n|}}i}}$es el valor en el momento del último pago,${\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n|}}i}}$el valor un período después.

Si el símbolo${\displaystyle \,(m)}$se agrega en la esquina superior derecha, representa el valor presente de una anualidad cuyos pagos ocurren cada uno${\displaystyle m}$de un año durante un período de${\displaystyle n}$años, y cada pago es uno${\displaystyle m}$½ de una unidad.

${\displaystyle a_{{\overline {n|}}i}^{(m)}={\frac {1-v^{n}}{i^{(m)}}}}$,${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}^{(m)}={\frac {1-v^{n}}{d^{(m)}}}}$

${\displaystyle {\overline {a}}_{{\overline {n|}}i}}$es el valor límite de${\displaystyle \,a_{{\overline {n|}}i}^{(m)}}$cuando${\displaystyle m}$aumenta sin límite. La anualidad subyacente se conoce como anualidad continua .

${\displaystyle {\overline {a}}_{{\overline {n|}}i}={\frac {1-v^{n}}{\delta }}}$

Los valores actuales de estas anualidades se pueden comparar de la siguiente manera:

${\displaystyle a_{{\overline {n|}}i}<a_{{\overline {n|}}i}^{(m)}<{\overline {a}}_{{\overline {n|}}i}<{\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}^{(m)}<{\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}}$

Para comprender las relaciones mostradas anteriormente, tenga en cuenta que los flujos de efectivo pagados en un momento posterior tienen un valor presente menor que los flujos de efectivo del mismo importe total que se pagan en momentos anteriores.

• El subíndice${\displaystyle i}$que representa la tasa de interés puede ser reemplazada por${\displaystyle d}$o${\displaystyle \delta }$y a menudo se omite si la tasa se conoce claramente por el contexto.
• Al utilizar estos símbolos, el tipo de interés no tiene por qué ser constante durante la vigencia de las anualidades. Sin embargo, cuando el tipo varía, las fórmulas anteriores dejan de ser válidas; se pueden desarrollar fórmulas específicas para fluctuaciones concretas del tipo de interés.

Una renta vitalicia es una renta vitalicia cuyos pagos dependen de que el beneficiario siga viviendo. La edad del beneficiario es un factor importante a la hora de calcular el valor actual actuarial de una renta vitalicia.

• La edad del beneficiario se sitúa en la parte inferior derecha del símbolo, sin ninguna marca angular.

Por ejemplo:

${\displaystyle \,a_{65}}$Indica una anualidad de 1 unidad por año pagadera al final de cada año hasta el fallecimiento de una persona que actualmente tenga 65 años.

${\displaystyle a_{\overline {10|}}}$indica una anualidad de 1 unidad por año pagadera durante 10 años con pagos realizados al final de cada año.

${\displaystyle a_{65:{\overline {10|}}}}$Indica una anualidad de 1 unidad por año durante 10 años, o hasta el fallecimiento si este ocurre antes, para una persona que actualmente tiene 65 años.

${\displaystyle a_{65:64}}$Indica una anualidad de 1 unidad por año hasta el fallecimiento del miembro o del cónyuge, lo que ocurra primero, para una persona que actualmente tenga 65 años y su cónyuge 64 años.

${\displaystyle a_{\overline {65:64}}}$indica una anualidad de 1 unidad por año hasta el fallecimiento posterior del miembro o del cónyuge, para una persona que actualmente tiene 65 años y su cónyuge tiene 64 años.

${\displaystyle a_{65}^{(12)}}$Indica una anualidad de 1 unidad por año pagadera 12 veces al año (1/12 de unidad por mes) hasta el fallecimiento de una persona que actualmente tenga 65 años.

${\displaystyle {\ddot {a}}_{65}}$Indica una anualidad de 1 unidad por año pagadera al comienzo de cada año hasta el fallecimiento de una persona que actualmente tenga 65 años.

o en general:

${\displaystyle a_{x:{\overline {n|}}i}^{(m)}}$, dónde${\displaystyle x}$es la edad del beneficiario de la renta vitalicia,${\displaystyle n}$es el número de años de pagos (o hasta el fallecimiento si ocurre antes),${\displaystyle m}$es el número de pagos por año, y${\displaystyle i}$es la tasa de interés.

En aras de la simplicidad, la notación es limitada y no muestra, por ejemplo, si la anualidad se paga a un hombre o a una mujer (un hecho que normalmente se determinaría a partir del contexto, incluyendo si la tabla de mortalidad se basa en tasas de mortalidad masculinas o femeninas).

El valor actual actuarial de los pagos contingentes de vida puede tratarse como la esperanza matemática de una variable aleatoria de valor actual, o calcularse a través de la forma de pago actual.

El símbolo básico de un seguro de vida es${\displaystyle \,A}$A continuación, se puede añadir la siguiente notación:

• La anotación en la parte superior derecha indica el momento del pago de una prestación por fallecimiento. La ausencia de anotación significa que los pagos se realizan al final del año del fallecimiento. Una cifra entre paréntesis (por ejemplo${\displaystyle A^{(12)}}$) significa que el beneficio se paga al final del período indicado (12 para mensual; 4 para trimestral; 2 para semestral; 365 para diario).
• La anotación en la parte inferior derecha indica la edad de la persona cuando comienza el seguro de vida.
• La anotación situada justo encima del símbolo básico indica el tipo de seguro de vida, es decir, si el pago se realiza al final del periodo o de forma inmediata. Una línea horizontal indica un seguro de vida pagadero de inmediato, mientras que la ausencia de una marca sobre el símbolo indica que el pago se realizará al final del periodo indicado.

Por ejemplo:

${\displaystyle \,A_{x}}$indica un beneficio de seguro de vida de 1 pagadero al final del año del fallecimiento.

${\displaystyle \,A_{x}^{(12)}}$indica un beneficio de seguro de vida de 1 pagadero al final del mes del fallecimiento.

${\displaystyle \,{\overline {A}}_{x}}$indica un beneficio de seguro de vida de 1 pagadero en el instante (matemático) de la muerte.

El símbolo básico para premium es${\displaystyle \,P}$o ${\displaystyle \,\pi }$.${\displaystyle \,P}$generalmente se refiere a las primas netas por año,${\displaystyle \,\pi }$a primas especiales, como una prima única.

La tabla que aparece a continuación enumera las principales letras que se utilizan en el ámbito laboral y financiero, junto con breves explicaciones; los detalles y las variantes se presentan en las secciones siguientes. ^{[ 1 ] [ 2 ]}