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Articulo de referencia

Cadena de Markov aditiva

En teoría de la probabilidad , una cadena de Markov aditiva es una cadena de Markov con una función de probabilidad condicional aditiva . En este caso, el proceso es una cadena ...

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En teoría de la probabilidad , una cadena de Markov aditiva es una cadena de Markov con una función de probabilidad condicional aditiva . En este caso, el proceso es una cadena de Markov de tiempo discreto de orden m , y la probabilidad de transición a un estado en el siguiente instante es una suma de funciones, cada una de las cuales depende del siguiente estado y de uno de los m estados anteriores.

Definición

Una cadena de Markov aditiva de orden m es una secuencia de variables aleatorias X 1 , X 2 , X 3 , ..., que posee la siguiente propiedad: la probabilidad de que una variable aleatoria X n tenga un cierto valor x n bajo la condición de que los valores de todas las variables anteriores estén fijos depende de los valores de m variables anteriores solamente ( cadena de Markov de orden m ), y la influencia de las variables anteriores sobre una generada es aditiva,   

Pr(incógnitanorte=incógnitanorte∣incógnitanorte−1=incógnitanorte−1,incógnitanorte−2=incógnitanorte−2,…,incógnitanorte−metro=incógnitanorte−metro)=∑r=1metroF(incógnitanorte,incógnitanorte−r,r).{\displaystyle \Pr(X_{n}=x_{n}\mid X_{n-1}=x_{n-1},X_{n-2}=x_{n-2},\dots ,X_{nm}=x_{nm})=\sum _{r=1}^{m}f(x_{n},x_{nr},r).}

caso binario

Una cadena de Markov aditiva binaria es aquella cuyo espacio de estados consta únicamente de dos valores, X n ∈ { x 1 , x 2 }. Por ejemplo, X n ∈ { 0, 1 }. La función de probabilidad condicional de una cadena de Markov aditiva binaria se puede representar como          

Pr(incógnitanorte=1∣incógnitanorte−1=incógnitanorte−1,incógnitanorte−2=incógnitanorte−2,…)=incógnita¯+∑r=1metroF(r)(incógnitanorte−r−incógnita¯),{\displaystyle \Pr(X_{n}=1\mid X_{n-1}=x_{n-1},X_{n-2}=x_{n-2},\dots )={\bar {X}}+\sum _{r=1}^{m}F(r)(x_{nr}-{\bar {X}}),}
Pr(incógnitanorte=0∣incógnitanorte−1=incógnitanorte−1,incógnitanorte−2=incógnitanorte−2,…)=1−Pr(incógnitanorte=1∣incógnitanorte−1=incógnitanorte−1,incógnitanorte−2=incógnitanorte−2,…).{\displaystyle \Pr(X_{n}=0\mid X_{n-1}=x_{n-1},X_{n-2}=x_{n-2},\dots )=1-\Pr(X_{n}=1\mid X_{n-1}=x_{n-1},X_{n-2}=x_{n-2},\dots ).}

Aquíincógnita¯{\displaystyle {\bar {X}}}es la probabilidad de encontrar X n  =  1 en la secuencia y F ( r ) se denomina función de memoria. El valor deincógnita¯{\displaystyle {\bar {X}}}y la función F ( r ) contiene toda la información sobre las propiedades de correlación de la cadena de Markov.

Relación entre la función de memoria y la función de correlación

En el caso binario, la función de correlación entre las variablesincógnitanorte{\displaystyle X_{n}}yincógnitak{\displaystyle X_{k}}de la cadena depende de la distancianorte−k{\displaystyle nk}solamente. Se define de la siguiente manera:

K(r)=⟨(incógnitanorte−incógnita¯)(incógnitanorte+r−incógnita¯)⟩=⟨incógnitanorteincógnitanorte+r⟩−incógnita¯2,{\displaystyle K(r)=\langle (X_{n}-{\bar {X}})(X_{n+r}-{\bar {X}})\rangle =\langle X_{n}X_{n+r}\rangle -{\bar {X}}^{2},}

donde el símbolo⟨⋯⟩{\displaystyle \langle \cdots \rangle }denota el promedio sobre todos los n . Por definición,

K(−r)=K(r),K(0)=incógnita¯(1−incógnita¯).{\displaystyle K(-r)=K(r),K(0)={\bar {X}}(1-{\bar {X}}).}

Existe una relación entre la función de memoria y la función de correlación de la cadena de Markov aditiva binaria: [ 1 ]

K(r)=∑s=1metroK(r−s)F(s),r=1,2,….{\displaystyle K(r)=\sum _{s=1}^{m}K(rs)F(s),\,\,\,\,r=1,2,\dots \,.}

Véase también

Notas

  1. ↑ SS Melnyk, OV Usatenko y VA Yampol'skii. (2006) "Funciones de memoria de las cadenas de Markov aditivas: aplicaciones a sistemas dinámicos complejos", Physica A , 361 (2), 405–415 doi : 10.1016/j.physa.2005.06.083

Referencias

  • AA Markov. (1906) "Rasprostranenie zakona bol'shih chisel na velichiny, zavisyaschie drug o druga". Izvestiya Fiziko-matematicheskogo obschestva pri Kazanskom universitete , 2-ya seriya, tom 15, 135–156
  • AA Markov. (1971) "Extensión de los teoremas límite de la teoría de la probabilidad a una suma de variables conectadas en una cadena". Reimpreso en el Apéndice B de: R. Howard. Sistemas probabilísticos dinámicos, volumen 1: Cadenas de Markov . John Wiley and Sons.
  • S. Hod; U. Keshet (2004). "Transición de fase en caminatas aleatorias con correlaciones de largo alcance". Phys. Rev. E . 70 (1 Pt 2) 015104. arXiv : cond-mat/0311483 . Bibcode : 2004PhRvE..70a5104H . doi : 10.1103/PhysRevE.70.015104 . PMID 15324113 . S2CID 18169687 .  
  • SL Narasimhan; JA Nathan; KPN Murthy (2005). "¿Puede el grano grueso introducir correlaciones de largo alcance en una secuencia simbólica?". Europhys. Lett . 69 (1): 22. arXiv : cond-mat/0409042 . Bibcode : 2005EL.....69...22N . doi : 10.1209/epl/i2004-10307-2 . S2CID 250845691 . 
  • Ramakrishnan, S. (1981) "Cadenas de Markov finitamente aditivas", Transactions of the American Mathematical Society , 265 (1), 247–272 JSTOR 1998493