Identidad aditiva

En matemáticas , la identidad aditiva de un conjunto que está equipado con la operación de adición es un elemento que, cuando se suma a cualquier elemento x del conjunto, da como resultado x . Una de las identidades aditivas más conocidas es el número 0 de las matemáticas elementales , pero las identidades aditivas aparecen en otras estructuras matemáticas donde se define la adición, como en grupos y anillos .

• La identidad aditiva familiar de las matemáticas elementales es cero, denotado 0. Por ejemplo,

  ${\displaystyle 5+0=5=0+5.}$

• En los números naturales ( si se incluye el 0), los enteros, los racionales , los reales y los complejos , la identidad aditiva es 0. Esto dice que para un número n perteneciente a cualquiera de estos conjuntos ,${\displaystyle \mathbb {N}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z},}$ ${\displaystyle \mathbb {Q},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

  ${\displaystyle n+0=n=0+n.}$

Sea N un grupo cerrado bajo la operación de adición , denotado + . Una identidad aditiva para N , denotada e , es un elemento en N tal que para cualquier elemento n en N ,

${\displaystyle e+n=n=n+e.}$

• En un grupo , la identidad aditiva es el elemento identidad del grupo, a menudo se denota como 0 y es único (ver prueba a continuación).
• Un anillo o campo es un grupo bajo la operación de adición y, por lo tanto, también tienen una identidad aditiva única 0. Esta se define como diferente de la identidad multiplicativa 1 si el anillo (o campo) tiene más de un elemento. Si la identidad aditiva y la identidad multiplicativa son iguales, entonces el anillo es trivial (como se demuestra a continuación).
• En el anillo M _{m × n} ( R ) de matrices m -por- n sobre un anillo R , la identidad aditiva es la matriz cero, ^[1] denotada O o 0 , y es la matriz m -por- n cuyas entradas consisten enteramente en el elemento identidad 0 en R . Por ejemplo, en las matrices 2×2 sobre los enteros ⁠ ⁠ la identidad aditiva es ${\displaystyle \nombre del operador {M} _{2}(\mathbb {Z} )}$

  ${\displaystyle 0={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}}$

• En los cuaterniones , 0 es la identidad aditiva.
• En el anillo de funciones de ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} \a \mathbb {R} }$ , la función que asigna cada número a 0 es la identidad aditiva.
• En el grupo aditivo de vectores en ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ el origen o vector cero es la identidad aditiva.

Sea ( G , +) un grupo y sean 0 y 0' en G ambos identidades aditivas, por lo que para cualquier g en G ,

${\displaystyle 0+g=g=g+0,\qquad 0'+g=g=g+0'.}$

De lo anterior se desprende que

${\displaystyle {\color {verde}0'}={\color {verde}0'}+0=0'+{\color {rojo}0}={\color {rojo}0}.}$

En un sistema con una operación de multiplicación que se distribuye sobre la suma, la identidad aditiva es un elemento absorbente multiplicativo , lo que significa que para cualquier s en S , s · 0 = 0. Esto se deduce porque:

${\displaystyle {\begin{aligned}s\cdot 0&=s\cdot (0+0)=s\cdot 0+s\cdot 0\\\Flecha derecha s\cdot 0&=s\cdot 0-s\cdot 0\\\Flecha derecha s\cdot 0&=0.\end{aligned}}}$

Sea R un anillo y supongamos que la identidad aditiva 0 y la identidad multiplicativa 1 son iguales, es decir, 0 = 1. Sea r cualquier elemento de R. Entonces

${\displaystyle r=r\veces 1=r\veces 0=0}$

demostrando que R es trivial, es decir, R = {0}. Por lo tanto, se muestra el contrapositivo , es decir, que si R no es trivial, entonces 0 no es igual a 1.

• 0 (número)
• Inverso aditivo
• Elemento de identidad
• Identidad multiplicativa

• David S. Dummit, Richard M. Foote, Álgebra abstracta , Wiley (3.ª ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9 . 

• Unicidad de la identidad aditiva en un anillo en PlanetMath .