Síntesis aditiva

La síntesis aditiva es una técnica de síntesis de sonido que crea timbres mediante la suma de ondas sinusoidales . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Desde la perspectiva de la teoría de Fourier, el timbre de los instrumentos musicales puede considerarse compuesto por múltiples armónicos o armónicos parciales o sobretonos . Cada parcial es una onda sinusoidal de diferente frecuencia y amplitud que aumenta y disminuye con el tiempo debido a la modulación de una envolvente de ataque, decaimiento, sostenimiento y liberación ( envolvente ADSR ) o un oscilador de baja frecuencia de cuatro parámetros .

La síntesis aditiva genera sonido de forma más directa mediante la suma de la salida de múltiples generadores de ondas sinusoidales. Otras implementaciones pueden utilizar tablas de ondas precalculadas o la transformada rápida de Fourier inversa .

Los sonidos que escuchamos en la vida cotidiana no se caracterizan por una sola frecuencia . En cambio, consisten en una suma de frecuencias sinusoidales puras, cada una con una amplitud diferente . Cuando los humanos escuchamos estas frecuencias simultáneamente, podemos reconocer el sonido. Esto es cierto tanto para sonidos "no musicales" (por ejemplo, salpicaduras de agua, crujido de hojas, etc.) como para sonidos "musicales" (por ejemplo, una nota de piano, el trino de un pájaro, etc.). Este conjunto de parámetros (frecuencias, sus amplitudes relativas y cómo cambian estas amplitudes relativas con el tiempo) se engloba en el timbre del sonido. El análisis de Fourier es la técnica que se utiliza para determinar estos parámetros exactos del timbre a partir de una señal de sonido global; a su vez, el conjunto resultante de frecuencias y amplitudes se denomina serie de Fourier de la señal de sonido original.

En el caso de una nota musical, la frecuencia más baja de su timbre se denomina frecuencia fundamental del sonido . Para simplificar, solemos decir que la nota suena a esa frecuencia fundamental (por ejemplo, " el do central es 261,6 Hz"), ^{[ 3 ]} aunque el sonido de esa nota también consta de muchas otras frecuencias. El conjunto de las frecuencias restantes se denomina sobretonos (o armónicos , si sus frecuencias son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental) del sonido. ^{[ 4 ]} En otras palabras, la frecuencia fundamental por sí sola es responsable del tono de la nota, mientras que los sobretonos definen el timbre del sonido. Los sobretonos de un piano que toca el do central serán muy diferentes de los sobretonos de un violín que toca la misma nota; eso es lo que nos permite diferenciar los sonidos de ambos instrumentos. Incluso existen sutiles diferencias de timbre entre distintas versiones del mismo instrumento (por ejemplo, un piano vertical frente a un piano de cola ).

La síntesis aditiva busca aprovechar esta propiedad del sonido para construir el timbre desde cero. Al sumar frecuencias puras ( ondas sinusoidales ) de diferentes frecuencias y amplitudes, podemos definir con precisión el timbre del sonido que deseamos crear.

La síntesis aditiva armónica está estrechamente relacionada con el concepto de serie de Fourier , que es una forma de expresar una función periódica como la suma de funciones sinusoidales con frecuencias iguales a múltiplos enteros de una frecuencia fundamental común . Estas sinusoides se denominan armónicos , sobretonos o, en general, parciales . En general, una serie de Fourier contiene un número infinito de componentes sinusoidales, sin límite superior para la frecuencia de las funciones sinusoidales, e incluye un componente de CC (con una frecuencia de 0 Hz ). Las frecuencias fuera del rango audible humano pueden omitirse en la síntesis aditiva. Como resultado, solo se modela un número finito de términos sinusoidales con frecuencias dentro del rango audible.

Se dice que una forma de onda o función es periódica si

${\displaystyle y(t)=y(t+P)}$

a pesar de${\displaystyle t}$y durante algún período${\displaystyle P}$.

La serie de Fourier de una función periódica se expresa matemáticamente como:

${\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left[a_{k}\cos(2\pi kf_{0}t)-b_{k}\sin(2\pi kf_{0}t)\right]\\&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }r_{k}\cos \left(2\pi kf_{0}t+\phi _{k}\right)\\\end{aligned}}}$

dónde

• ${\displaystyle f_{0}=1/P}$es la frecuencia fundamental de la forma de onda y es igual al recíproco del período,
• ${\displaystyle a_{k}=r_{k}\cos(\phi _{k})=2f_{0}\int _{0}^{P}y(t)\cos(2\pi kf_{0}t)\,dt,\quad k\geq 0}$
• ${\displaystyle b_{k}=r_{k}\sin(\phi _{k})=-2f_{0}\int _{0}^{P}y(t)\sin(2\pi kf_{0}t)\,dt,\quad k\geq 1}$
• ${\displaystyle r_{k}={\sqrt {a_{k}^{2}+b_{k}^{2}}}}$es la amplitud de la${\displaystyle k}$armónico n,
• ${\displaystyle \phi _{k}=\operatorname {atan2} (b_{k},a_{k})}$es el desfase de la${\displaystyle k}$armónico n.º. atan2 es la función arcotangente de cuatro cuadrantes ,

Al ser inaudible, el componente de CC ,${\displaystyle a_{0}/2}$y todos los componentes con frecuencias superiores a algún límite finito,${\displaystyle Kf_{0}}$, se omiten en las siguientes expresiones de síntesis aditiva.

Las implementaciones modernas de la síntesis aditiva son principalmente digitales. (Véase la sección Ecuaciones de tiempo discreto para la teoría subyacente de tiempo discreto).

Es posible analizar los componentes de frecuencia de un sonido grabado, obteniendo una representación de "suma de sinusoides". Esta representación puede resintetizarse mediante síntesis aditiva. Un método para descomponer un sonido en parciales sinusoidales variables en el tiempo es el análisis de McAulay- Quatieri basado en la transformada de Fourier de tiempo corto (STFT) . ^{[ 17 ] [ 18 ]}

Al modificar la representación de la suma de sinusoides, se pueden realizar alteraciones tímbricas antes de la resíntesis. Por ejemplo, un sonido armónico podría reestructurarse para sonar inarmónico, y viceversa. La hibridación o "transformación" del sonido se ha implementado mediante la resíntesis aditiva. ^{[ 19 ]}

El análisis/resíntesis aditivo se ha empleado en varias técnicas, incluyendo el modelado sinusoidal, ^{[ 20 ]} la síntesis de modelado espectral (SMS), ^{[ 19 ]} y el modelo de sonido aditivo mejorado con ancho de banda reasignado. ^{[ 21 ]} El software que implementa el análisis/resíntesis aditivo incluye: SPEAR, ^{[ 22 ]} LEMUR, LORIS, ^{[ 23 ]} SMSTools, ^{[ 24 ]} ARSS. ^{[ 25 ]}

Productos

Resíntesis aditiva mediante concatenación de marcos tímbricos:

Concatenación con fundidos cruzados (en Synclavier)

Concatenación con interpolación de envolvente espectral (en Vocaloid)

El New England Digital Synclavier contaba con una función de resíntesis que permitía analizar muestras y convertirlas en "tramas tímbricas", las cuales formaban parte de su motor de síntesis aditiva. El Technos Acxel , lanzado en 1987, utilizaba el modelo de análisis/resíntesis aditiva, en una implementación de FFT .

Vocaloid , también un sintetizador vocal, se ha implementado sobre la base del análisis/resíntesis aditiva: su modelo de voz espectral llamado Excitation plus Resonances (EpR) ^{[ 26 ] [ 27 ]} se extiende basado en Spectral Modeling Synthesis (SMS), y su síntesis concatenativa de difonos se procesa utilizando la técnica de procesamiento de picos espectrales (SPP) ^{[ 28 ]} similar a un vocoder de bloqueo de fase modificado ^{[ 29 ]} (un vocoder de fase mejorado para el procesamiento de formantes). ^{[ 30 ]} Utilizando estas técnicas, los componentes espectrales ( formantes ) que consisten en parciales puramente armónicos pueden transformarse adecuadamente en la forma deseada para el modelado de sonido, y la secuencia de muestras cortas ( difonos o fonemas ) que constituyen la frase deseada, pueden conectarse suavemente interpolando parciales coincidentes y picos de formantes, respectivamente, en la región de transición insertada entre diferentes muestras. (Véase también Timbres dinámicos )

La máquina de predicción de mareas de Lord Kelvin

Sintetizador armónico

Analizador de armónicos

El análisis armónico fue descubierto por Joseph Fourier , ^{[ 42 ]} quien publicó un extenso tratado de su investigación en el contexto de la transferencia de calor en 1822. ^{[ 43 ]} La teoría encontró una aplicación temprana en la predicción de mareas . Alrededor de 1876, ^{[ 44 ]} William Thomson (más tarde ennoblecido como Lord Kelvin ) construyó un predictor de mareas mecánico . Consistía en un analizador armónico y un sintetizador armónico , como ya se les llamaba en el siglo XIX. ^{[ 45 ] [ 46 ]} El análisis de las mediciones de mareas se realizó utilizando la máquina integradora de James Thomson . Los coeficientes de Fourier resultantes se introdujeron en el sintetizador, que luego utilizó un sistema de cuerdas y poleas para generar y sumar parciales sinusoidales armónicos para la predicción de mareas futuras. En 1910, se construyó una máquina similar para el análisis de formas de onda periódicas del sonido. ^{[ 47 ]} El sintetizador dibujó un gráfico de la forma de onda combinada, que se utilizó principalmente para la validación visual del análisis. ^{[ 47 ]}

resonador de Helmholtz

Generador de tonos que lo utiliza

Georg Ohm aplicó la teoría de Fourier al sonido en 1843. Hermann von Helmholtz impulsó enormemente esta línea de investigación , publicando en 1863 el resultado de ocho años de trabajo. ^{[ 48 ]} Helmholtz creía que la percepción psicológica del timbre está sujeta al aprendizaje, mientras que la audición sensorial es puramente fisiológica. ^{[ 49 ]} Apoyó la idea de que la percepción del sonido deriva de señales de las células nerviosas de la membrana basilar y que los apéndices elásticos de estas células vibran simpáticamente mediante tonos sinusoidales puros de frecuencias apropiadas. ^{[ 47 ]} Helmholtz coincidió con el hallazgo de Ernst Chladni de 1787 de que ciertas fuentes sonoras tienen modos de vibración inarmónicos. ^{[ 49 ]}

Analizador de sonido y sintetizador de Rudolph Koenig

sintetizador de sonido

analizador de sonido

En la época de Helmholtz, la amplificación electrónica no estaba disponible. Para la síntesis de tonos con armónicos parciales, Helmholtz construyó un conjunto de diapasones excitados eléctricamente y cámaras de resonancia acústica que permitían ajustar las amplitudes de los parciales. ^{[ 50 ]} Construidos al menos desde 1862, ^{[ 50 ]} estos fueron a su vez perfeccionados por Rudolph Koenig , quien demostró su propio montaje en 1872. ^{[ 50 ]} Para la síntesis armónica, Koenig también construyó un gran aparato basado en su sirena de ondas . Era neumático y utilizaba ruedas tonales recortadas , y fue criticado por la baja pureza de sus tonos parciales. ^{[ 44 ]} Además, los tubos tibiales de los órganos de tubos tienen formas de onda casi sinusoidales y pueden combinarse a la manera de la síntesis aditiva. ^{[ 44 ]}

En 1938, con nuevas e importantes pruebas que lo respaldaban, ^{[ 51 ]} se informó en las páginas de Popular Science Monthly que las cuerdas vocales humanas funcionan como una sirena de incendios para producir un tono rico en armónicos, que luego es filtrado por el tracto vocal para producir diferentes tonos vocálicos. ^{[ 52 ]} Para entonces, el órgano Hammond aditivo ya estaba en el mercado. La mayoría de los primeros fabricantes de órganos electrónicos pensaron que era demasiado caro fabricar la pluralidad de osciladores que requerían los órganos aditivos, y comenzaron en su lugar a construir los sustractivos . ^{[ 53 ]} En una reunión del Instituto de Ingenieros de Radio de 1940 , el ingeniero jefe de campo de Hammond explicó que el nuevo Novachord de la compañía tenía un "sistema sustractivo" en contraste con el órgano Hammond original en el que "los tonos finales se construían combinando ondas sonoras" . ^{[ 54 ]} Alan Douglas utilizó los calificadores aditivo y sustractivo para describir diferentes tipos de órganos electrónicos en un artículo de 1948 presentado a la Royal Musical Association . ^{[ 55 ]} La terminología contemporánea síntesis aditiva y síntesis sustractiva se puede encontrar en su libro de 1957, La producción eléctrica de la música , en el que enumera categóricamente tres métodos de formación de timbres musicales, en secciones tituladas Síntesis aditiva , Síntesis sustractiva y Otras formas de combinaciones . ^{[ 56 ]}

Un sintetizador aditivo moderno típico produce su salida como una señal eléctrica analógica o como audio digital , como en el caso de los sintetizadores de software , que se popularizaron alrededor del año 2000. ^{[ 57 ]}

En las implementaciones digitales de la síntesis aditiva, se utilizan ecuaciones de tiempo discreto en lugar de las ecuaciones de síntesis de tiempo continuo. Una convención de notación para señales de tiempo discreto utiliza corchetes, es decir${\displaystyle y[n]\,}$y el argumento${\displaystyle n\,}$Solo pueden ser valores enteros. Si la salida de síntesis de tiempo continuo${\displaystyle y(t)\,}$Se espera que tenga un ancho de banda suficientemente limitado ; por debajo de la mitad de la frecuencia de muestreo o${\displaystyle f_{\mathrm {s} }/2\,}$Basta con muestrear directamente la expresión en tiempo continuo para obtener la ecuación de síntesis discreta. La salida de síntesis continua se puede reconstruir posteriormente a partir de las muestras utilizando un convertidor digital-analógico . El período de muestreo es${\displaystyle T=1/f_{\mathrm {s} }\,}$.

Comenzando con ( 3 ),

${\displaystyle y(t)=\sum _{k=1}^{K}r_{k}(t)\cos \left(2\pi \int _{0}^{t}f_{k}(u)\ du+\phi _{k}\right)}$

y muestreo en momentos discretos${\displaystyle t=nT=n/f_{\mathrm {s} }\,}$resultados en

${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]&=y(nT)=\sum _{k=1}^{K}r_{k}(nT)\cos \left(2\pi \int _{0}^{nT}f_{k}(u)\ du+\phi _{k}\right)\\&=\sum _{k=1}^{K}r_{k}(nT)\cos \left(2\pi \sum _{i=1}^{n}\int _{(i-1)T}^{iT}f_{k}(u)\ du+\phi _{k}\right)\\&=\sum _{k=1}^{K}r_{k}(nT)\cos \left(2\pi \sum _{i=1}^{n}(Tf_{k}[i])+\phi _{k}\right)\\&=\sum _{k=1}^{K}r_{k}[n]\cos \left({\frac {2\pi }{f_{\mathrm {s} }}}\sum _{i=1}^{n}f_{k}[i]+\phi _{k}\right)\\\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle r_{k}[n]=r_{k}(nT)\,}$es la envolvente de amplitud variable en el tiempo discreto

${\displaystyle f_{k}[n]={\frac {1}{T}}\int _{(n-1)T}^{nT}f_{k}(t)\ dt\,}$es la frecuencia instantánea de diferencia hacia atrás en tiempo discreto .

Esto es equivalente a

${\displaystyle y[n]=\sum _{k=1}^{K}r_{k}[n]\cos \left(\theta _{k}[n]\right)}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{k}[n]&={\frac {2\pi }{f_{\mathrm {s} }}}\sum _{i=1}^{n}f_{k}[i]+\phi _{k}\\&=\theta _{k}[n-1]+{\frac {2\pi }{f_{\mathrm {s} }}}f_{k}[n]\\\end{aligned}}}$a pesar de${\displaystyle n>0\,}$^{[ 15 ]}

y

${\displaystyle \theta _{k}[0]=\phi _{k}.\,}$

• Síntesis de modulación de frecuencia
• Síntesis sustractiva
• Síntesis de voz
• Serie armónica (música)

• Sinergia de teclados digitales