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Polygon

Some polygons of different kinds: open (excluding its boundary), boundary only (excluding interior), closed (including both boundary and interior), and self-intersecting. In geo...

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Some polygons of different kinds: open (excluding its boundary), boundary only (excluding interior), closed (including both boundary and interior), and self-intersecting.

In geometry, a polygon (/ˈpɒlɪɡɒn/) is a planefigure made up of line segments connected to form a closed polygonal chain.

The segments of a closed polygonal chain are called its edges or sides. The points where two edges meet are the polygon's vertices or corners. An n-gon is a polygon with n sides; for example, a triangle is a 3-gon.

A simple polygon is one which does not intersect itself. More precisely, the only allowed intersections among the line segments that make up the polygon are the shared endpoints of consecutive segments in the polygonal chain. A simple polygon is the boundary of a region of the plane that is called a solid polygon. The interior of a solid polygon is its body, also known as a polygonal region or polygonal area. In contexts where one is concerned only with simple and solid polygons, a polygon may refer only to a simple polygon or to a solid polygon.

A polygonal chain may cross over itself, creating star polygons and other self-intersecting polygons. Some sources also consider closed polygonal chains in Euclidean space to be a type of polygon (a skew polygon), even when the chain does not lie in a single plane.

A polygon is a 2-dimensional example of the more general polytope in any number of dimensions. There are many more generalizations of polygons defined for different purposes.

Etymology

The word polygon derives from the Greek adjective πολύς (polús) 'much' / 'many' and γωνία (gōnía) 'corner' or 'angle', thus 'having multiple angles'. It has been suggested that γόνυ (gónu) 'knee' may be the origin of gon.[1]

Classification

Some different types of polygon

Number of sides

Polygons are primarily classified by the number of sides.

Convexity and intersection

Polygons may be characterized by their convexity or type of non-convexity:

  • Convex: any line drawn through the polygon (and not tangent to an edge or corner) meets its boundary exactly twice. As a consequence, all its interior angles are less than 180°. Equivalently, any line segment with endpoints on the boundary passes through only interior points between its endpoints. This condition is true for polygons in any geometry, not just Euclidean.[2]
  • Non-convex: a line may be found which meets its boundary more than twice. Equivalently, there exists a line segment between two boundary points that passes outside the polygon.
  • Simple: the boundary of the polygon does not cross itself. All convex polygons are simple.
  • Concave: Non-convex and simple. There is at least one interior angle greater than 180°.
  • Star-shaped: the whole interior is visible from at least one point, without crossing any edge. The polygon must be simple, and may be convex or concave. All convex polygons are star-shaped.
  • Self-intersecting: the boundary of the polygon crosses itself. The term complex is sometimes used in contrast to simple, but this usage risks confusion with the idea of a complex polygon as one which exists in the complex Hilbert plane consisting of two complex dimensions.
  • Star polygon: a polygon which self-intersects in a regular way. A polygon cannot be both a star and star-shaped.

Equality and symmetry

The property of regularity may be defined in other ways: a polygon is regular if and only if it is both isogonal and isotoxal, or equivalently it is both cyclic and equilateral. A non-convex regular polygon is called a regular star polygon.

Miscellaneous

  • Rectilinear: the polygon's sides meet at right angles, i.e. all its interior angles are 90 or 270 degrees.
  • Monotone with respect to a given line L: every line orthogonal to L intersects the polygon not more than twice.

Properties and formulas

Partitioning an n-gon into n − 2 triangles

Euclidean geometry is assumed throughout.

Angles

Any polygon has as many corners as it has sides. Each corner has several angles. The two most important ones are:

  • Interior angle – The sum of the interior angles of a simple n-gon is (n − 2) × πradians or (n − 2) × 180degrees. This is because any simple n-gon ( having n sides ) can be considered to be made up of (n − 2) triangles, each of which has an angle sum of π radians or 180 degrees. The measure of any interior angle of a convex regular n-gon is (1−2n)π{\displaystyle \left(1-{\tfrac {2}{n}}\right)\pi } radians or 180−360n{\displaystyle 180-{\tfrac {360}{n}}} degrees. The interior angles of regular star polygons were first studied by Poinsot, in the same paper in which he describes the four regular star polyhedra: for a regular pq{\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}-gon (a p-gon with central density q), each interior angle is π(p−2q)p{\displaystyle {\tfrac {\pi (p-2q)}{p}}} radians or 180(p−2q)p{\displaystyle {\tfrac {180(p-2q)}{p}}} degrees.[3]
  • Exterior angle – The exterior angle is the supplementary angle to the interior angle. Tracing around a convex n-gon, the angle "turned" at a corner is the exterior or external angle. Tracing all the way around the polygon makes one full turn, so the sum of the exterior angles must be 360°. This argument can be generalized to concave simple polygons, if external angles that turn in the opposite direction are subtracted from the total turned. Tracing around an n-gon in general, the sum of the exterior angles (the total amount one rotates at the vertices) can be any integer multiple d of 360°, e.g. 720° for a pentagram and 0° for an angular "eight" or antiparallelogram, where d is the density or turning number of the polygon.

Area

Coordinates of a non-convex pentagon

In this section, the vertices of the polygon under consideration are taken to be (x0,y0),(x1,y1),…,(xn−1,yn−1){\displaystyle (x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})} in order. For convenience in some formulas, the notation (xn, yn) = (x0, y0) will also be used.

Simple polygons

If the polygon is non-self-intersecting (that is, simple), the signed area is

A=12∑i=0n−1(xiyi+1−xi+1yi)where xn=x0 and yn=y0,{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\quad {\text{where }}x_{n}=x_{0}{\text{ and }}y_{n}=y_{0},}

or, using determinants

16A2=∑i=0n−1∑j=0n−1|Qi,jQi,j+1Qi+1,jQi+1,j+1|,{\displaystyle 16A^{2}=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}{\begin{vmatrix}Q_{i,j}&Q_{i,j+1}\\Q_{i+1,j}&Q_{i+1,j+1}\end{vmatrix}},}

where Qi,j{\displaystyle Q_{i,j}} is the squared distance between (xi,yi){\displaystyle (x_{i},y_{i})} and (xj,yj).{\displaystyle (x_{j},y_{j}).}[4][5]

The signed area depends on the ordering of the vertices and of the orientation of the plane. Commonly, the positive orientation is defined by the (counterclockwise) rotation that maps the positive x-axis to the positive y-axis. If the vertices are ordered counterclockwise (that is, according to positive orientation), the signed area is positive; otherwise, it is negative. In either case, the area formula is correct in absolute value. This is commonly called the shoelace formula or surveyor's formula.[6]

The area A of a simple polygon can also be computed if the lengths of the sides, a1, a2, ..., an and the exterior angles, θ1, θ2, ..., θn are known, from:

A=12(a1[a2sin⁡(θ1)+a3sin⁡(θ1+θ2)+⋯+an−1sin⁡(θ1+θ2+⋯+θn−2)]+a2[a3sin⁡(θ2)+a4sin⁡(θ2+θ3)+⋯+an−1sin⁡(θ2+⋯+θn−2)]+⋯+an−2[an−1sin⁡(θn−2)]).{\displaystyle {\begin{aligned}A={\frac {1}{2}}(a_{1}[a_{2}\sin(\theta _{1})+a_{3}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+a_{2}[a_{3}\sin(\theta _{2})+a_{4}\sin(\theta _{2}+\theta _{3})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+\cdots +a_{n-2}[a_{n-1}\sin(\theta _{n-2})]).\end{aligned}}}

The formula was described by Lopshits in 1963.[7]

If the polygon can be drawn on an equally spaced grid such that all its vertices are grid points, Pick's theorem gives a simple formula for the polygon's area based on the numbers of interior and boundary grid points: the former number plus one-half the latter number, minus 1.

In every polygon with perimeter p and area A , the isoperimetric inequalityp2>4πA{\displaystyle p^{2}>4\pi A} holds.[8]

For any two simple polygons of equal area, the Bolyai–Gerwien theorem asserts that the first can be cut into polygonal pieces which can be reassembled to form the second polygon.

The lengths of the sides of a polygon do not in general determine its area.[9] However, if the polygon is simple and cyclic then the sides do determine the area.[10] Of all n-gons with given side lengths, the one with the largest area is cyclic. Of all n-gons with a given perimeter, the one with the largest area is regular (and therefore cyclic).[11]

Regular polygons

Many specialized formulas apply to the areas of regular polygons.

The area of a regular polygon is given in terms of the radius r of its inscribed circle and its perimeter p by

A=12⋅p⋅r.{\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\cdot p\cdot r.}

Este radio también se denomina su apotema y a menudo se representa como un .

El área de un n -gono regular se puede expresar en términos del radio R de su círculo circunscrito (el único círculo que pasa por todos los vértices del n -gono regular) de la siguiente manera: [ 12 ] [ 13 ]

A=R2⋅norte2⋅pecado⁡2πnorte=R2⋅norte⋅pecado⁡πnorte⋅porque⁡πnorte{\displaystyle A=R^{2}\cdot {\frac {n}{2}}\cdot \sin {\frac {2\pi }{n}}=R^{2}\cdot n\cdot \sin {\frac {\pi }{n}}\cdot \cos {\frac {\pi }{n}}}

Autointersecante

El área de un polígono que se autointerseca se puede definir de dos maneras diferentes, dando resultados diferentes:

  • Utilizando las fórmulas para polígonos simples, permitimos que ciertas regiones dentro del polígono tengan su área multiplicada por un factor que denominamos densidad de la región. Por ejemplo, el pentágono convexo central en el centro de un pentagrama tiene una densidad de 2. Las dos regiones triangulares de un cuadrilátero cruzado (como un ocho) tienen densidades de signo opuesto, y la suma de sus áreas puede dar como resultado un área total de cero para toda la figura. [ 14 ]
  • Considerando las regiones encerradas como conjuntos de puntos, podemos hallar el área de dicho conjunto. Esta área corresponde al área del plano cubierto por el polígono o al área de uno o más polígonos simples con el mismo contorno que el que se autointerseca. En el caso del cuadrilátero cruzado, se trata como dos triángulos simples.

centroide

Utilizando la misma convención para las coordenadas de los vértices que en la sección anterior, las coordenadas del centroide de un polígono simple sólido son:

doincógnita=16A∑i=0norte−1(incógnitai+incógnitai+1)(incógnitaiyi+1−incógnitai+1yi),{\displaystyle C_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}),}
doy=16A∑i=0norte−1(yi+yi+1)(incógnitaiyi+1−incógnitai+1yi).{\displaystyle C_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}).}

En estas fórmulas, el valor con signo del áreaA{\displaystyle A}debe utilizarse.

Para triángulos ( n = 3 ), los centroides de los vértices y de la figura sólida son iguales, pero, en general, esto no es cierto para n > 3. El centroide del conjunto de vértices de un polígono con n vértices tiene las coordenadas

doincógnita=1norte∑i=0norte−1incógnitai,{\displaystyle c_{x}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}x_{i},}
doy=1norte∑i=0norte−1yi.{\displaystyle c_{y}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}y_{i}.}

Generalizaciones

La idea de un polígono se ha generalizado de diversas maneras. Algunas de las más importantes incluyen:

  • Un polígono esférico es un circuito formado por arcos de círculos máximos (lados) y vértices en la superficie de una esfera. Permite la existencia del digon , un polígono con solo dos lados y dos vértices, lo cual es imposible en un plano. Los polígonos esféricos desempeñan un papel importante en la cartografía (elaboración de mapas) y en la construcción de los poliedros uniformes de Wythoff .
  • Un polígono sesgado no se encuentra en un plano, sino que describe un zigzag en tres (o más) dimensiones. Los polígonos de Petrie de los politopos regulares son ejemplos bien conocidos.
  • Un apeirogon es una secuencia infinita de lados y ángulos que no es cerrada pero que no tiene extremos porque se extiende indefinidamente en ambas direcciones.
  • Un apeirogon sesgado es una secuencia infinita de lados y ángulos que no se encuentran en un plano horizontal.
  • Un polígono con agujeros es un polígono plano, conexo por área o múltiplemente conexo, con un límite externo y uno o más límites internos (agujeros).
  • Un polígono complejo es una configuración análoga a un polígono ordinario, que existe en el plano complejo de dos dimensiones reales y dos imaginarias .
  • Un polígono abstracto es un conjunto algebraico parcialmente ordenado que representa los distintos elementos (lados, vértices, etc.) y su conectividad. Un polígono geométrico real se considera una realización del polígono abstracto asociado. Dependiendo de la correspondencia, todas las generalizaciones aquí descritas pueden realizarse.
  • Un poliedro es un sólido tridimensional delimitado por caras poligonales planas, análogo a un polígono en dos dimensiones. Las figuras correspondientes en cuatro o más dimensiones se denominan politopos . [ 15 ] (En otras convenciones, los términos poliedro y politopo se utilizan en cualquier dimensión, con la distinción entre ambos de que un politopo está necesariamente delimitado. [ 16 ] )

Nomenclatura

La palabra polígono proviene del latín tardío polygōnum (sustantivo), del griego πολύγωνον ( polygōnon/polugōnon ), sustantivo neutro de πολύγωνος ( polygōnos/polugōnos , adjetivo masculino), que significa "de muchos ángulos". Los polígonos individuales se nombran (y a veces se clasifican) según el número de lados, combinando un prefijo numérico de origen griego con el sufijo -gon , por ejemplo, pentágono , dodecágono . El triángulo , el cuadrilátero y el nonágono son excepciones.

Más allá de los decágonos (de 10 lados) y los dodecágonos (de 12 lados), los matemáticos generalmente utilizan notación numérica, por ejemplo, 17-gono y 257-gono. [ 17 ]

Existen excepciones para los recuentos de lados que se pueden expresar fácilmente de forma verbal (por ejemplo, 20 y 30), o que son utilizados por personas que no son matemáticas. Algunos polígonos especiales también tienen sus propios nombres; por ejemplo, el pentágono estrellado regular también se conoce como pentagrama .

Para construir el nombre de un polígono con más de 20 y menos de 100 aristas, combine los prefijos de la siguiente manera. [ 21 ] El término "kai" se aplica a polígonos de 13 lados o más y fue utilizado por Kepler y defendido por John H. Conway para mayor claridad de los números de prefijo concatenados en la denominación de poliedros cuasirregulares , [ 25 ] aunque no todas las fuentes lo utilizan.

Historia

Imagen histórica de polígonos (1699)

Los polígonos se conocen desde la antigüedad. Los antiguos griegos conocían los polígonos regulares ; el pentagrama , un polígono regular no convexo ( polígono estrellado ), aparece ya en el siglo VII a. C. en un cráter de Aristófanes , hallado en Caere y que actualmente se conserva en el Museo Capitolino . [ 40 ] [ 41 ]

El primer estudio sistemático conocido de polígonos no convexos en general fue realizado por Thomas Bradwardine en el siglo XIV. [ 42 ]

En 1952, Geoffrey Colin Shephard generalizó la idea de polígonos al plano complejo, donde cada dimensión real está acompañada por una imaginaria , para crear polígonos complejos . [ 43 ]

En la naturaleza

La Calzada del Gigante , en Irlanda del Norte.

Los polígonos aparecen en las formaciones rocosas, generalmente como las caras planas de los cristales , donde los ángulos entre los lados dependen del tipo de mineral del que está hecho el cristal.

Los hexágonos regulares pueden aparecer cuando el enfriamiento de la lava forma áreas de columnas de basalto muy compactas , como se puede observar en la Calzada del Gigante en Irlanda del Norte o en el Devil's Postpile en California .

En biología , la superficie del panal de cera que fabrican las abejas es una matriz de hexágonos , y los lados y la base de cada celda también son polígonos.

Gráficos por computadora

En gráficos por computadora , un polígono es una primitiva utilizada en el modelado y la renderización. Se definen en una base de datos que contiene matrices de vértices (las coordenadas de los vértices geométricos , así como otros atributos del polígono, como color, sombreado y textura), información de conectividad y materiales . [ 44 ] [ 45 ]

Any surface is modelled as a tessellation called polygon mesh. If a square mesh has n + 1 points (vertices) per side, there are n squared squares in the mesh, or 2n squared triangles since there are two triangles in a square. There are (n + 1)2 / 2(n2) vertices per triangle. Where n is large, this approaches one half. Or, each vertex inside the square mesh connects four edges (lines).

The imaging system calls up the structure of polygons needed for the scene to be created from the database. This is transferred to active memory and finally, to the display system (screen, TV monitors etc.) so that the scene can be viewed. During this process, the imaging system renders polygons in correct perspective ready for transmission of the processed data to the display system. Although polygons are two-dimensional, through the system computer they are placed in a visual scene in the correct three-dimensional orientation.

In computer graphics and computational geometry, it is often necessary to determine whether a given point P=(x0,y0){\displaystyle P=(x_{0},y_{0})} lies inside a simple polygon given by a sequence of line segments. This is called the point in polygon test.[46]

See also

References

Bibliography

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Notes

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  2. ↑Magnus, Wilhelm (1974). Noneuclidean tesselations and their groups. Pure and Applied Mathematics. Vol. 61. Academic Press. p. 37.
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  13. ↑ Un polígono regular con un número infinito de lados es un círculo:límitenorte→+∞R2⋅norte2⋅pecado⁡2πnorte=π⋅R2{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }R^{2}\cdot {\frac {n}{2}}\cdot \sin {\frac {2\pi }{n}}=\pi \cdot R^{2}}.
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  • Algoritmos de gráficos computacionales: Preguntas frecuentes , soluciones a problemas matemáticos de cálculo de polígonos 2D y 3D.
  • Comparación de los diferentes algoritmos para operaciones booleanas con polígonos : se comparan sus capacidades, velocidad y robustez numérica.
  • Suma de ángulos interiores de polígonos: una fórmula general . Proporciona una investigación interactiva en Java que extiende la fórmula de suma de ángulos interiores para polígonos cerrados simples para incluir polígonos cruzados (complejos).