functores adjuntos

En cierto sentido, un functor adjunto es una forma de proporcionar la solución más eficiente a un problema mediante un método formulado . Por ejemplo, un problema elemental en teoría de anillos es cómo transformar un rng (que es como un anillo que podría no tener un elemento neutro multiplicativo) en un anillo . La forma más eficiente es adjuntar un elemento '1' al rng, adjuntar todos (y solo) los elementos necesarios para satisfacer los axiomas del anillo (por ejemplo, r + 1 para cada r en el anillo), y no imponer ninguna relación en el anillo recién formado que no esté determinada por los axiomas. Además, esta construcción es formulada en el sentido de que funciona esencialmente de la misma manera para cualquier rng.

Esto es bastante vago, aunque sugerente, y puede precisarse en el lenguaje de la teoría de categorías: una construcción es más eficiente si satisface una propiedad universal y es formulaica si define un functor . Las propiedades universales se dividen en dos tipos: propiedades iniciales y propiedades terminales. Dado que son nociones duales , solo es necesario analizar una de ellas.

La idea de utilizar una propiedad inicial consiste en plantear el problema en términos de una categoría auxiliar E , de modo que el problema en cuestión corresponda a encontrar un objeto inicial de E. Esto tiene la ventaja de que la optimización —el sentido de que el proceso encuentra la solución más eficiente— significa algo riguroso y reconocible, similar a la obtención de un supremo . La categoría E también es formulística en esta construcción, ya que siempre es la categoría de elementos del functor al que se le está construyendo un adjunto.

Volvamos a nuestro ejemplo: tomemos el rng dado R y hagamos una categoría E cuyos objetos sean homomorfismos rng R → S , con S un anillo que tiene una identidad multiplicativa. Los morfismos en E entre R → S ₁ y R → S ₂ son triángulos conmutativos de la forma ( R → S ₁ , R → S ₂ , S ₁ → S ₂ ) donde S ₁ → S ₂ es una aplicación de anillos (que preserva la identidad). (Nótese que esta es precisamente la definición de la categoría coma de R sobre la inclusión de anillos unitarios en rng). La existencia de un morfismo entre R → S ₁ y R → S ₂ implica que S ₁ es al menos una solución tan eficiente como S ₂ a nuestro problema: S ₂ puede tener más elementos adjuntos y/o más relaciones no impuestas por axiomas que S ₁ . Por lo tanto, la afirmación de que un objeto R → R ^∗ es inicial en E , es decir, que existe un morfismo de él a cualquier otro elemento de E , significa que el anillo R * es una solución más eficiente a nuestro problema.

Los dos hechos que hacen que este método de convertir rngs en anillos sea el más eficiente y formulístico se pueden expresar simultáneamente diciendo que define un functor adjunto . Más explícitamente: Sea F el proceso anterior de adjuntar una identidad a un rng, de modo que F ( R )= R ^∗ . Sea G el proceso de "olvidar" si un anillo S tiene una identidad y considerarlo simplemente como un rng, de modo que esencialmente G ( S )= S . Entonces F es el functor adjunto izquierdo de G .

Sin embargo, tenga en cuenta que aún no hemos construido R ^∗ ; es un hecho algebraico importante y no del todo trivial que tal functor adjunto izquierdo R → R ^∗ realmente exista.

También es posible partir del functor F y plantear la siguiente pregunta (vaga): ¿existe algún problema para el cual F sea la solución más eficiente?

La idea de que F es la solución más eficiente al problema planteado por G es, en cierto sentido riguroso, equivalente a la idea de que G plantea el problema más difícil que F resuelve.

Esto da la intuición detrás del hecho de que los functores adjuntos aparecen en pares: si F es adjunto izquierdo de G , entonces G es adjunto derecho de F.

La teoría de los adjuntos se basa en los términos izquierda y derecha , y existen muchos componentes que pertenecen a una de las dos categorías C y D que se están considerando. Por lo tanto, puede ser útil elegir las letras en orden alfabético según pertenezcan a la categoría C (izquierda) o a la categoría D (derecha) , y también escribirlas en este orden siempre que sea posible.

En este artículo, por ejemplo, las letras X , F , f , ε denotarán consistentemente elementos que pertenecen a la categoría C , las letras Y , G , g , η denotarán consistentemente elementos que pertenecen a la categoría D , y siempre que sea posible, se hará referencia a dichos elementos en orden de izquierda a derecha (un functor F  : D → C puede considerarse que "vive" donde se encuentran sus salidas, en C ). Si se dibujaran las flechas del functor adjunto izquierdo F, apuntarían hacia la izquierda; si se dibujaran las flechas del functor adjunto derecho G, apuntarían hacia la derecha.

Por definición, un functor ${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$es un functor adjunto izquierdo si para cada objeto${\displaystyle X}$en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$existe un morfismo universal de${\displaystyle F}$a${\displaystyle X}$En otras palabras, esto significa que para cada objeto${\displaystyle X}$en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$existe un objeto ${\displaystyle G(X)}$en${\displaystyle {\mathcal {D}}}$y un morfismo${\displaystyle \varepsilon _{X}:F(G(X))\to X}$de tal manera que para cada objeto ${\displaystyle Y}$en${\displaystyle {\mathcal {D}}}$y cada morfismo${\displaystyle f:F(Y)\to X}$existe un morfismo único ${\displaystyle g:Y\to G(X)}$con${\displaystyle \varepsilon _{X}\circ F(g)=f}$.

Esta última ecuación se expresa mediante el siguiente diagrama conmutativo :

En esta situación, se puede demostrar que${\displaystyle G}$puede convertirse en un functor${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$de una manera única tal que ${\displaystyle \varepsilon _{X}\circ F(G(f))=f\circ \varepsilon _{X'}}$ para todos los morfismos${\displaystyle f:X'\to X}$en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$;${\displaystyle F}$entonces se le llama adjunto izquierdo a${\displaystyle G}$.

De manera similar, podemos definir functores adjuntos derechos. Un functor${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$es un functor adjunto derecho si para cada objeto${\displaystyle Y}$en${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, existe un morfismo universal de${\displaystyle Y}$a${\displaystyle G}$En otras palabras, esto significa que para cada objeto${\displaystyle Y}$en${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, existe un objeto${\displaystyle F(Y)}$en${\displaystyle C}$y un morfismo${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to G(F(Y))}$de tal manera que para cada objeto${\displaystyle X}$en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ y cada morfismo${\displaystyle g:Y\to G(X)}$existe un morfismo único${\displaystyle f:F(Y)\to X}$con${\displaystyle G(f)\circ \eta _{Y}=g}$.

De nuevo, esto${\displaystyle F}$puede convertirse de forma única en un functor${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$de tal manera que${\displaystyle G(F(g))\circ \eta _{Y}=\eta _{Y'}\circ g}$para${\displaystyle g:Y\to Y'}$un morfismo en${\displaystyle {\mathcal {D}}}$;${\displaystyle G}$entonces se le llama adjunto derecho a${\displaystyle F}$.

Es cierto, como lo implica la terminología, que${\displaystyle F}$queda adyacente a${\displaystyle G}$si y solo si${\displaystyle G}$es adjunto derecho a${\displaystyle F}$.

Estas definiciones mediante morfismos universales suelen ser útiles para determinar si un funtor dado es adjunto izquierdo o derecho, debido a sus requisitos minimalistas. Además, tienen un significado intuitivo, ya que encontrar un morfismo universal es como resolver un problema de optimización.

Utilizando conjuntos de hom , una adjunción entre dos categorías${\displaystyle {\mathcal {C}}}$y${\displaystyle {\mathcal {D}}}$puede definirse como compuesto por dos functores${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$y${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$y un isomorfismo natural$${\displaystyle \Phi$$ :\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(F-,-)\to \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(-,G-).} Esto especifica una familia de biyecciones $${\displaystyle \Phi _{Y,X}:\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\to \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}$$ para todos los objetos${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$y${\displaystyle Y\in {\mathcal {D}}.}$

En esta situación,${\displaystyle F}$queda adyacente a${\displaystyle G}$y${\displaystyle G}$es adjunto derecho a${\displaystyle F}$.

Esta definición constituye un compromiso lógico, ya que resulta más difícil demostrar su satisfacción que las definiciones de morfismo universal y tiene menos implicaciones inmediatas que la definición de counidad-unidad. Es útil por su evidente simetría y como punto de partida entre las demás definiciones.

Para interpretar${\displaystyle \Phi }$como isomorfismo natural , uno debe reconocer${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(F-,-)}$y${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(-,G-)}$como functores. De hecho, ambos son bifunctores de${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\text{op}}\times {\mathcal {C}}}$a${\displaystyle \mathbf {Set} }$(la categoría de conjuntos ). Para más detalles, consulte el artículo sobre hom-functores . En otras palabras, la naturalidad de${\displaystyle \Phi }$significa que para todos los morfismos${\displaystyle f:X\to X'}$en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$y todos los morfismos${\displaystyle g:Y'\to Y}$en${\displaystyle {\mathcal {D}}}$El siguiente diagrama conmuta :

Las flechas verticales en este diagrama (${\displaystyle {\text{Hom}}(g,Gf)}$y${\displaystyle {\text{Hom}}(Fg,f)}$) son aquellos inducidos por la composición. Formalmente,${\displaystyle {\text{Hom}}(Fg,f):{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(FY,X)\to {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(FY',X')}$es dado por${\displaystyle h\mapsto f\circ h\circ Fg}$para cada${\displaystyle h\in {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(FY,X).}$${\displaystyle {\text{Hom}}(g,Gf)}$es similar.

Una tercera forma de definir una adjunción entre dos categorías${\displaystyle {\mathcal {C}}}$y${\displaystyle {\mathcal {D}}}$consta de dos functores${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$y${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$y dos transformaciones naturales$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &:FG\to 1_{\mathcal {C}}\\\eta &:1_{\mathcal {D}}\to GF\end{aligned}}}$$ respectivamente denominadas counidad y unidad de la adjunción (terminología del álgebra universal ), de modo que las composiciones $${\displaystyle F\xrightarrow {\overset {}{\;F\eta \;}} FGF\xrightarrow {\overset {}{\;\varepsilon F\,}} F}$$$${\displaystyle G\xrightarrow {\overset {}{\;\eta G\;}} GFG\xrightarrow {\overset {}{\;G\varepsilon \,}} G}$$ son los morfismos identidad${\displaystyle 1_{F}}$y${\displaystyle 1_{G}}$en F y G respectivamente.

En esta situación decimos que F es adjunto izquierdo de G y G es adjunto derecho de F , y podemos indicar esta relación escribiendo${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$ o, simplemente${\displaystyle F\dashv G}$ .

En forma de ecuación, las condiciones anteriores sobre${\displaystyle (\varepsilon ,\eta )}$son las ecuaciones counidad-unidad$${\displaystyle {\begin{aligned}1_{F}&=\varepsilon F\circ F\eta \\1_{G}&=G\varepsilon \circ \eta G\end{aligned}}}$$ lo que implica que para cada${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$y cada uno${\displaystyle Y\in {\mathcal {D}},}$$${\displaystyle {\begin{aligned}1_{FY}&=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\1_{GX}&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}.\end{aligned}}}$$

Tenga en cuenta que${\displaystyle 1_{\mathcal {C}}}$denota el functor identidad en la categoría${\displaystyle {\mathcal {C}}}$,${\displaystyle 1_{F}}$denota la transformación natural identidad del functor F en sí mismo, y${\displaystyle 1_{FY}}$denota el morfismo identidad del objeto${\displaystyle FY}$.

Estas ecuaciones son útiles para reducir demostraciones sobre functores adjuntos a manipulaciones algebraicas. A veces se las llama identidades triangulares , o a veces ecuaciones en zigzag debido a la apariencia de los diagramas de cuerdas correspondientes . Una forma de recordarlas es escribir primero la ecuación sin sentido.${\displaystyle 1=\varepsilon \circ \eta }$y luego complete F o G de una de las dos maneras sencillas que definen las composiciones.

Nota: El uso del prefijo "co" en counit aquí no es consistente con la terminología de límites y colímites, porque un colímite satisface una propiedad inicial mientras que los morfismos de counit satisfacen propiedades terminales , y de manera dual para límite versus unidad. El término unidad aquí se toma prestado de la teoría de mónadas , donde se asemeja a la inserción de la identidad 1 en un monoide .

La construcción de grupos libres es un ejemplo común e ilustrativo.

Sea F  : Set → Grp el functor que asigna a cada conjunto Y el grupo libre generado por los elementos de Y , y sea G  : Grp → Set el functor de olvido , que asigna a cada grupo X su conjunto subyacente. Entonces F es adjunto izquierdo de G :

Morfismos iniciales.

Para cada conjunto Y , el conjunto GFY es simplemente el conjunto subyacente del grupo libre FY generado por Y. Sea${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to GFY}$sea ​​el conjunto mapeado dado por "inclusión de generadores". Este es un morfismo inicial de Y a G , porque cualquier conjunto mapeado de Y al conjunto subyacente GW de algún grupo W se factorizará a través de${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to GFY}$a través de un homomorfismo de grupo único de FY a W. Esta es precisamente la propiedad universal del grupo libre en Y.

Morfismos terminales.

Para cada grupo X , el grupo FGX es el grupo libre generado libremente por GX , los elementos de X. Sea${\displaystyle \varepsilon _{X}:FGX\to X}$Sea el homomorfismo de grupos que envía los generadores de FGX a los elementos de X a los que corresponden, el cual existe por la propiedad universal de los grupos libres. Entonces cada${\displaystyle (GX,\varepsilon _{X})}$es un morfismo terminal de F a X , porque cualquier homomorfismo de grupo de un grupo libre FZ a X se factorizará a través de${\displaystyle \varepsilon _{X}:FGX\to X}$a través de un único mapeo de conjuntos de Z a GX . Esto significa que ( F , G ) es un par adjunto.

Adjunción del conjunto de inicio.

Los homomorfismos de grupo del grupo libre FY a un grupo X corresponden precisamente a aplicaciones del conjunto Y al conjunto GX : cada homomorfismo de FY a X está completamente determinado por su acción sobre los generadores, otra reformulación de la propiedad universal de los grupos libres. Se puede verificar directamente que esta correspondencia es una transformación natural, lo que significa que es una adjunción de conjuntos hom para el par ( F , G ) .

Adjunción counidad-unidad.

También se puede verificar directamente que ε y η son naturales. Luego, una verificación directa de que forman una adjunción counidad-unidad${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$es el siguiente:

La primera ecuación counidad-unidad

${\displaystyle 1_{F}=\varepsilon F\circ F\eta }$dice que para cada conjunto Y la composición $${\displaystyle FY\xrightarrow {\overset {}{\;F(\eta _{Y})\;}} FGFY\xrightarrow {\;\varepsilon _{FY}\,} FY}$$ debería ser la identidad. El grupo intermedio FGFY es el grupo libre generado libremente por las palabras del grupo libre FY . (Piense en estas palabras como colocadas entre paréntesis para indicar que son generadores independientes). La flecha${\displaystyle F(\eta _{Y})}$es el homomorfismo de grupo de FY en FGFY que envía cada generador y de FY a la palabra correspondiente de longitud uno ( y ) como generador de FGFY . La flecha${\displaystyle \varepsilon _{FY}}$es el homomorfismo de grupo de FGFY a FY que envía cada generador a la palabra de FY a la que corresponde (por lo que este mapa está "eliminando paréntesis"). La composición de estos mapas es de hecho la identidad en FY .

La segunda ecuación counidad-unidad

${\displaystyle 1_{G}=G\varepsilon \circ \eta G}$dice que para cada grupo X la composición $${\displaystyle GX\xrightarrow {\;\eta _{GX}\;} GFGX\xrightarrow {\overset {}{\;G(\varepsilon _{X})\,}} GX}$$ debería ser la identidad. El conjunto intermedio GFGX es simplemente el conjunto subyacente de FGX . La flecha${\displaystyle \eta _{GX}}$es el conjunto de "inclusión de generadores" mapeo del conjunto GX al conjunto GFGX . La flecha${\displaystyle G(\varepsilon _{X})}$es el mapeo de conjuntos de GFGX a GX , que subyace al homomorfismo de grupo que envía cada generador de FGX al elemento de X al que corresponde ("omitiendo paréntesis"). La composición de estos mapeos es de hecho la identidad en GX .

Los objetos libres son todos ejemplos de un adjunto izquierdo de un functor olvidadizo , que asigna a un objeto algebraico su conjunto subyacente. Estos functores libres algebraicos tienen, en general, la misma descripción que la descrita detalladamente anteriormente para la situación de grupos libres.

Los productos , retrocesos , ecualizadores y núcleos son ejemplos de la noción categórica de límite . Cualquier functor límite es adjunto derecho de un functor diagonal correspondiente (siempre que la categoría tenga el tipo de límites en cuestión), y la counidad de la adjunción proporciona las aplicaciones definitorias del objeto límite (es decir, del functor diagonal sobre el límite, en la categoría de functores). A continuación se presentan algunos ejemplos específicos.

Los coproductos , los pushouts , los coecualizadores y los cokernels son ejemplos de la noción categórica de colímite . Cualquier functor de colímite es adjunto izquierdo de un functor diagonal correspondiente (siempre que la categoría tenga el tipo de colímites en cuestión), y la unidad de la adjunción proporciona las aplicaciones que definen el objeto colímite. A continuación se presentan algunos ejemplos específicos.

• Coproductos . Si F  : Ab ² → Ab asigna a cada par ( X ₁ , X ₂ ) de grupos abelianos su suma directa , y si G  : Ab → Ab ² es el functor que asigna a cada grupo abeliano Y el par ( Y , Y ) , entonces F es adjunto izquierdo de G , nuevamente una consecuencia de la propiedad universal de las sumas directas. La unidad de este par adjunto es el par definitorio de mapas de inclusión de X ₁ y X ₂ en la suma directa, y la counidad es el mapa aditivo de la suma directa de ( X , X ) de vuelta a X (enviando un elemento ( a , b ) de la suma directa al elemento a + b de X ).
  Ejemplos análogos los proporcionan la suma directa de espacios vectoriales y módulos , el producto libre de grupos y la unión disjunta de conjuntos.

Dado un functor adjunto derecho G  : C → D , en el sentido de morfismos iniciales, se puede construir la adjunción de conjuntos hom inducida siguiendo los siguientes pasos.

• Construye un functor F  : D → C y una transformación natural η .
  • Para cada objeto Y en D , elija un morfismo inicial ( F ( Y ), η _Y ) de Y a G , de modo que η _Y  : Y → G ( F ( Y )) . Tenemos el mapeo de F en objetos y la familia de morfismos η .
  • Para cada f  : Y ₀ → Y ₁ , como ( F ( Y ₀ ), η _{Y 0} ) es un morfismo inicial, entonces factorizamos η _{Y 1} ∘ F con η _{Y 0} y obtenemos F ( f )  : F ( Y ₀ ) → F ( Y ₁ ) . Este es el mapeo de F sobre morfismos.
  • El diagrama de conmutación de esa factorización implica el diagrama de conmutación de transformaciones naturales, por lo que η  : 1 _D → G ∘ F es una transformación natural .
  • La unicidad de esa factorización y el hecho de que G sea un functor implica que la aplicación de F sobre morfismos preserva composiciones e identidades.
• Construir un isomorfismo natural Φ  : hom _C ( F − , − ) → hom _D ( − , G − ) .
  • Para cada objeto X en C , cada objeto Y en D , como ( F ( Y ), η _Y ) es un morfismo inicial, entonces Φ _{Y , X} es una biyección, donde Φ _{Y , X} ( f  : F ( Y ) → X ) = G ( F ) ∘ η _Y .
  • η es una transformación natural, G es un functor, entonces para cualesquiera objetos X ₀ , X ₁ en C , cualesquiera objetos Y ₀ , Y ₁ en  D}}, cualquier x  : X ₀ → X ₁ , cualquier y  : Y ₁ → Y ₀ , tenemos Φ _{Y 1 , X 1} ( x ∘ f ∘ F ( y )) = G( x ) ∘ G ( f ) ∘ G ( f ( y )) ∘ η _{Y 1} = G ( x ) ∘ G ( f ) ∘ η _{Y 0} ∘ y = G ( x ) ∘ Φ _{Y 0 , X 0} ( ∘ ) ∘ y , y entonces Φ es natural en ambos argumentos.

Un argumento similar permite construir una adjunción de conjuntos hom a partir de los morfismos terminales a un functor adjunto izquierdo. (La construcción que comienza con un adjunto derecho es ligeramente más común, ya que el adjunto derecho en muchos pares adjuntos es una inclusión definida trivialmente o un functor de olvido).

Dados los functores F  : D → C , G  : C → D , y una adjunción counit-unit (ε, η)  : F ⊣ G , podemos construir una adjunción hom-set encontrando la transformación natural Φ  : hom _C ( F − , − ) → hom _D ( − , G − ) en los siguientes pasos:

• Para cada f  : FY → X y cada g  : Y → GX , definimos$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Psi _{Y,X}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}}$$Las transformaciones Φ y Ψ son naturales porque η y ε son naturales.
• Utilizando, en orden, que F es un functor, que ε es natural y la ecuación counidad-unidad 1 _FY = ε _FY ∘ F (η _Y ) , obtenemos$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi \Phi f&=\varepsilon _{X}\circ FG(f)\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ 1_{FY}=f\end{aligned}}}$$Por lo tanto, ΨΦ es la transformación identidad.
• Dualmente, usando que G es un functor, que η es natural y la ecuación de counidad-unidad 1 _GX = G (ε _X ) ∘ η _GX , obtenemos$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi \Psi g&=G(\varepsilon _{X})\circ GF(g)\circ \eta _{Y}\\&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\circ g\\&=1_{GX}\circ g=g\end{aligned}}}$$Por lo tanto, ΦΨ es la transformación identidad. Así, Φ es un isomorfismo natural con inversa Φ ⁻¹ = Ψ .

Dados los functores F  : D → C , G  : C → D , y una adjunción hom-conjunto Φ  : hom _C ( F − , − ) → hom _D ( − , G − ) , se puede construir una adjunción counidad-unidad

$${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G,}$$

que define familias de morfismos iniciales y terminales, en los siguientes pasos:

• Dejar${\displaystyle \varepsilon _{X}=\Phi _{GX,X}^{-1}(1_{GX})\in \mathrm {hom} _{C}(FGX,X)}$para cada X en C , donde${\displaystyle 1_{GX}\in \mathrm {hom} _{D}(GX,GX)}$es el morfismo identidad.
• Dejar${\displaystyle \eta _{Y}=\Phi _{Y,FY}(1_{FY})\in \mathrm {hom} _{D}(Y,GFY)}$para cada Y en D , donde${\displaystyle 1_{FY}\in \mathrm {hom} _{C}(FY,FY)}$es el morfismo identidad.
• La biyectividad y la naturalidad de Φ implican que cada ( GX , ε _X ) es un morfismo terminal de F a X en C , y cada ( FY , η _Y ) es un morfismo inicial de Y a G en D .
• La naturalidad de Φ implica la naturalidad de ε y η , y las dos fórmulas$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Phi _{Y,X}^{-1}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}}$$para cada f : FY → X y g : Y → GX (que determinan completamente Φ ).
• Sustituyendo FY por X y η _Y = Φ _{Y , FY} (1 _FY ) por g en la segunda fórmula se obtiene la primera ecuación counidad-unidad$${\displaystyle 1_{FY}=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y}),}$$y sustituyendo GX por Y y ε _X = Φ ⁻¹ _{GX, X} (1 _GX )}} por f en la primera fórmula se obtiene la segunda ecuación counidad-unidad$${\displaystyle 1_{GX}=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}.}$$

No todo functor G  : C → D admite un adjunto izquierdo. Si C es una categoría completa , entonces los functores con adjuntos izquierdos pueden caracterizarse mediante el teorema del functor adjunto de Peter J. Freyd : G tiene un adjunto izquierdo si y solo si es continuo y se satisface una cierta condición de pequeñez: para cada objeto Y de D existe una familia de morfismos.

donde los índices i provienen de un conjunto I , no de una clase propia , de tal manera que cada morfismo

se puede escribir como

h = G ( t )${\displaystyle \circ }$f _i

para algún i en I y algún morfismo

Una afirmación análoga caracteriza a aquellos functores con adjunto derecho.

Un caso especial importante es el de las categorías localmente presentables . Si${\displaystyle F:C\to D}$es un functor entre categorías localmente presentables, entonces

• F tiene un adjunto derecho si y solo si F preserva colímites pequeños.
• F tiene un adjunto izquierdo si y solo si F preserva límites pequeños y es un functor accesible.

Si el functor F  : D → C tiene dos adjuntos derechos G y G ′ , entonces G y G ′ son isomorfos de forma natural . Lo mismo ocurre con los adjuntos izquierdos.

Por el contrario, si F es adjunto izquierdo de G , y G es naturalmente isomorfo a G ′, entonces F también es adjunto izquierdo de G ′ . Más generalmente, si ⟨F , G , ε, η⟩ es una adjunción (con counidad–unidad ( ε , η ) ) y {{block indent| σ  : F → F ′ {{block indent| τ  : G → G ′ son isomorfismos naturales, entonces ⟨F′ , G ′ , ε ′ , η′⟩ es una adjunción donde $${\displaystyle {\begin{aligned}\eta '&=(\tau \ast \sigma )\circ \eta \\\varepsilon '&=\varepsilon \circ (\sigma ^{-1}\ast \tau ^{-1}).\end{aligned}}}$$ Aquí${\displaystyle \circ }$denota la composición vertical de transformaciones naturales y${\displaystyle \ast }$indica composición horizontal.

Las adjunciones se pueden componer de forma natural. Específicamente, si ⟨ F , G , ε , η ⟩ es una adjunción entre C y D y ⟨ F ′ , G ′ , ε ′ , η ′ ⟩ es una adjunción entre D y E , entonces el functor $${\displaystyle F\circ F':E\rightarrow C}$$ queda adyacente a $${\displaystyle G'\circ G:C\to E.}$$ Más precisamente, existe una adjunción entre FF ′ y G ′ G con unidad y counidad dadas respectivamente por las composiciones: $${\displaystyle {\begin{aligned}&1_{\mathcal {E}}{\xrightarrow {\eta '}}G'F'{\xrightarrow {G'\eta F'}}G'GFF'\\&FF'G'G{\xrightarrow {F\varepsilon 'G}}FG{\xrightarrow {\varepsilon }}1_{\mathcal {C}}.\end{aligned}}}$$ Esta nueva adjunción se llama composición de las dos adjunciones dadas.

Puesto que también existe una forma natural de definir una adjunción identidad entre una categoría C y ella misma, se puede formar una categoría cuyos objetos sean todas categorías pequeñas y cuyos morfismos sean adjunciones.

La propiedad más importante de los adjuntos es su continuidad: todo functor que tiene un adjunto izquierdo (y por lo tanto es un adjunto derecho) es continuo (es decir, conmuta con los límites en el sentido de la teoría de categorías); todo functor que tiene un adjunto derecho (y por lo tanto es un adjunto izquierdo) es cocontinuo (es decir, conmuta con los colímites ).

Dado que muchas construcciones comunes en matemáticas son límites o colímites, esto proporciona una gran cantidad de información. Por ejemplo:

• Al aplicar un functor adjunto derecho a un producto de objetos se obtiene el producto de las imágenes;
• Al aplicar un functor adjunto izquierdo a un coproducto de objetos, se obtiene el coproducto de las imágenes;
• todo functor adjunto derecho entre dos categorías abelianas es exacto por la izquierda ;
• Todo functor adjunto izquierdo entre dos categorías abelianas es exacto por la derecha .

Si C y D son categorías preaditivas y F  : D → C es un functor aditivo con un adjunto derecho G  : C → D , entonces G también es un functor aditivo y las biyecciones del conjunto de homs

$${\displaystyle \Phi _{Y,X}:\mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}$$ son, de hecho, isomorfismos de grupos abelianos. De manera dual, si G es aditivo con un adjunto izquierdo F , entonces F también es aditivo.

Además, si tanto C como D son categorías aditivas (es decir, categorías preaditivas con todos los biproductos finitos ), entonces cualquier par de functores adjuntos entre ellas son automáticamente aditivos.

Como se indicó anteriormente, una adjunción entre las categorías C y D da lugar a una familia de morfismos universales , uno para cada objeto en C y otro para cada objeto en D. Recíprocamente, si existe un morfismo universal a un functor G  : C → D desde cada objeto de D , entonces G tiene un adjunto izquierdo.

Sin embargo, las construcciones universales son más generales que los functores adjuntos: una construcción universal es como un problema de optimización; da lugar a un par adjunto si y solo si este problema tiene una solución para cada objeto de D (equivalentemente, para cada objeto de C ).

Si un functor F  : D → C es la mitad de una equivalencia de categorías , entonces es el adjunto izquierdo en una equivalencia adjunta de categorías, es decir, una adjunción cuya unidad y counidad son isomorfismos.

Toda adjunción ⟨ F , G , ε , η ⟩ extiende una equivalencia de ciertas subcategorías. Definimos C ₁ como la subcategoría completa de C que consta de aquellos objetos X de C para los cuales ε _X es un isomorfismo, y definimos D ₁ como la subcategoría completa de D que consta de aquellos objetos Y de D para los cuales η _Y es un isomorfismo. Entonces, F y G pueden restringirse a D ₁ y C ₁ , y dan lugar a equivalencias inversas de estas subcategorías.

En cierto sentido, los adjuntos son inversos "generalizados". Sin embargo, cabe señalar que un inverso derecho de F (es decir, un functor G tal que FG es naturalmente isomorfo a 1 _D ) no tiene por qué ser un adjunto derecho (o izquierdo) de F. Los adjuntos generalizan los inversos bilaterales .

Cada adjunción ⟨ F , G , ε , η ⟩ da lugar a una mónada asociada ⟨ T , η , μ ⟩ en la categoría D . El functor $${\displaystyle T:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}}$$ viene dada por T = GF . La unidad de la mónada $${\displaystyle \eta :1_{\mathcal {D}}\to T}$$ es simplemente la unidad η de la adjunción y la transformación de multiplicación. $${\displaystyle \mu :T^{2}\to T\,}$$ viene dado por μ = GεF . De manera dual, la tripleta ⟨ FG , ε , FηG ⟩ define una comónada en C .

Cada mónada surge de alguna adjunción —de hecho, típicamente de muchas adjunciones— de la manera antes descrita. Dos construcciones, la categoría de álgebras de Eilenberg-Moore y la categoría de Kleisli, son dos soluciones extremas al problema de construir una adjunción que dé lugar a una mónada dada.