Transposición conjugada

En matemáticas , la transpuesta conjugada , también conocida como transpuesta hermítica , de una matriz compleja es una matriz que se obtiene transponiendo y aplicando la conjugación compleja a cada entrada (el conjugado complejo de es , para números reales y ). Existen varias notaciones, como o , ^[1] , ^[2] o (a menudo en física) . ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A}}$${\displaystyle n\veces m}$ ${\displaystyle \mathbf {A}}$${\estilo de visualización a+ib}$${\displaystyle a-ib}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} '}$${\displaystyle \mathbf {A} ^{\dagger }}$

Para matrices reales , la transpuesta conjugada es simplemente la transpuesta, . ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}$

La transpuesta conjugada de una matriz se define formalmente por ${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle \mathbf {A}}$

donde el subíndice denota la entrada -ésima, para y , y la barra superior denota un conjugado complejo escalar. ${\estilo de visualización ij}$${\estilo de visualización (i,j)}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$${\displaystyle 1\leq j\leq m}$

Esta definición también se puede escribir como

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}}}$

donde denota la transpuesta y denota la matriz con entradas conjugadas complejas. ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}$${\displaystyle {\overline {\mathbf {A}}}$

Otros nombres para la transpuesta conjugada de una matriz son conjugada hermítica , matriz adjunta o transjugada . La transpuesta conjugada de una matriz se puede denotar con cualquiera de estos símbolos: ${\displaystyle \mathbf {A}}$

• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$, comúnmente utilizado en álgebra lineal
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$, comúnmente utilizado en álgebra lineal
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\dagger }}$(a veces pronunciado como A dagger ), comúnmente utilizado en mecánica cuántica
• ${\displaystyle \mathbf {A} ^{+}}$, aunque este símbolo se utiliza más comúnmente para la pseudoinversa de Moore-Penrose

En algunos contextos, denota la matriz con sólo entradas conjugadas complejas y sin transposición. ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$

Supongamos que queremos calcular la transpuesta conjugada de la siguiente matriz . ${\displaystyle \mathbf {A}}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{bmatrix}}}$

Primero transponemos la matriz:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&1+i\\-2-i&i\\5&4-2i\end{bmatrix}}}$

Luego conjugamos cada entrada de la matriz:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\begin{bmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\\5&4+2i\end{bmatrix}}}$

Una matriz cuadrada con entradas se llama ${\displaystyle \mathbf {A}}$$estilo de visualización a_ {ij}}$

• Hermítico o autoadjunto si ; es decir, .${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$${\displaystyle a_{ij}={\overline {a_{ji}}}}$
• Hermítico sesgado o antihermítico si ; es decir, .${\displaystyle \mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$${\displaystyle a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}}$
• Normal si .${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$
• Unitario si , equivalentemente , equivalentemente .${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{-1}}$${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {I}}}$${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} ={\boldsymbol {I}}}$

Incluso si no es cuadrado, las dos matrices y son ambas hermíticas y, de hecho, matrices semidefinidas positivas . ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$

La matriz transpuesta conjugada "adjunta" no debe confundirse con la matriz adjunta , , que a veces también se denomina adjunta . ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )}$

La transpuesta conjugada de una matriz con entradas reales se reduce a la transpuesta de , ya que el conjugado de un número real es el número mismo. ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

La transpuesta conjugada se puede motivar observando que los números complejos se pueden representar de manera útil mediante matrices reales, obedeciendo a la suma y multiplicación de matrices: ${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle a+ib\equiv {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.}$

Es decir, denotando cada número complejo por la matriz real de la transformación lineal en el diagrama de Argand (visto como el espacio vectorial real ), afectado por la multiplicación compleja en . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Por lo tanto, una matriz de números complejos podría representarse bien mediante una matriz de números reales. La transpuesta conjugada, por lo tanto, surge de manera muy natural como resultado de la simple transposición de dicha matriz, cuando se la vuelve a considerar como una matriz compuesta de números complejos. ${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle 2m\times 2n}$${\displaystyle n\times m}$

Para explicar la notación utilizada aquí, comenzamos representando los números complejos como la matriz de rotación, es decir, ${\displaystyle e^{i\theta }}$

${\displaystyle e^{i\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}=\cos \theta {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+\sin \theta {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

Dado que llegamos a las representaciones matriciales de los números unitarios como ${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$

${\displaystyle 1={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad i={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$ Un número complejo general se representa entonces como ${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle z={\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}}.}$ Se considera que la operación conjugada compleja, donde i→−i, es simplemente la transposición de la matriz.

^[3]

• ${\displaystyle (\mathbf {A} +{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }+{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }}$para dos matrices cualesquiera y de las mismas dimensiones.${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$
• ${\displaystyle (z\mathbf {A} )^{\mathrm {H} }={\overline {z}}\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$para cualquier número complejo y cualquier matriz .${\displaystyle z}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle (\mathbf {A} {\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$para cualquier matriz y cualquier matriz . Nótese que el orden de los factores está invertido. ^[1]${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle n\times p}$${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$
• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} }$para cualquier matriz , es decir, la transposición hermítica es una involución .${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle \mathbf {A} }$
• Si es una matriz cuadrada, entonces donde denota el determinante de .${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\det \left(\mathbf {A} \right)}}}$${\displaystyle \operatorname {det} (A)}$${\displaystyle \mathbf {A} }$
• Si es una matriz cuadrada, entonces donde denota la traza de .${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\operatorname {tr} (\mathbf {A} )}}}$${\displaystyle \operatorname {tr} (A)}$${\displaystyle \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \mathbf {A} }$es invertible si y sólo si es invertible, y en ese caso .${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)^{-1}=\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{\mathrm {H} }}$
• Los valores propios de son los conjugados complejos de los valores propios de .${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$${\displaystyle \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \left\langle \mathbf {A} x,y\right\rangle _{m}=\left\langle x,\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }y\right\rangle _{n}}$para cualquier matriz , cualquier vector en y cualquier vector . Aquí, denota el producto interno complejo estándar en , y de manera similar para .${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle y\in \mathbb {C} ^{m}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{m}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{n}}$

La última propiedad dada anteriormente muestra que si se considera como una transformación lineal del espacio de Hilbert a entonces la matriz corresponde al operador adjunto de . El concepto de operadores adjuntos entre espacios de Hilbert puede verse así como una generalización de la transpuesta conjugada de matrices con respecto a una base ortonormal. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{m},}$${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$${\displaystyle \mathbf {A} }$

Existe otra generalización: supongamos que es una función lineal de un espacio vectorial complejo a otro, , entonces se definen la función lineal conjugada compleja así como la función lineal transpuesta , y podemos tomar la transpuesta conjugada de como el conjugado complejo de la transpuesta de . Esta función mapea el dual conjugado de al dual conjugado de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$

• Producto escalar complejo
• Adjunto hermítico
• Matriz adjunta

• "Matriz adjunta", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]