Matriz de admitancia nodal

En ingeniería eléctrica , la matriz de admitancia nodal (o simplemente matriz de admitancia ) es una matriz N x N que describe un sistema eléctrico lineal con N nodos . Representa la admitancia nodal de los nodos en un sistema eléctrico. En sistemas reales que contienen miles de nodos, la matriz de admitancia es bastante dispersa. Cada nodo en un sistema eléctrico real generalmente está conectado a solo unos pocos nodos más a través de las líneas de transmisión . ^{[ 1 ]} La matriz de admitancia nodal se utiliza en la formulación del problema de flujo de potencia .

La matriz de admitancia nodal de un sistema eléctrico es una forma de matriz laplaciana del diagrama de admitancia nodal del sistema, que se obtiene mediante la aplicación de las leyes de Kirchhoff al diagrama de admitancia del sistema. Partiendo del diagrama unifilar del sistema eléctrico, el diagrama de admitancia nodal se obtiene mediante:

• reemplazando cada línea del diagrama con su admitancia equivalente, y
• convertir todas las fuentes de voltaje en su fuente de corriente equivalente.

Consideremos un grafo de admitancia con${\displaystyle N}$autobuses. El vector de voltajes de los autobuses ,${\displaystyle V}$, es un${\displaystyle N\times 1}$vector donde${\displaystyle V_{k}}$es el voltaje del bus${\displaystyle k}$y vector de inyecciones de corriente de bus ,${\displaystyle I}$, es un${\displaystyle N\times 1}$vector donde${\displaystyle I_{k}}$es la corriente acumulada inyectada en el bus${\displaystyle k}$por todas las cargas y fuentes conectadas al autobús. La admisión entre autobuses${\displaystyle k}$y${\displaystyle i}$es un número complejo${\displaystyle y_{ki}}$y es la suma de la admisión de todas las líneas que conectan los autobuses${\displaystyle k}$y${\displaystyle i}$. La admisión entre el autobús${\displaystyle k}$y el suelo es${\displaystyle y_{k}}$y es la suma de la admitancia de todas las cargas conectadas al bus${\displaystyle k}$.

Considere la inyección actual ,${\displaystyle I_{k}}$, en el autobús${\displaystyle k}$Aplicando la ley actual de Kirchhoff

${\displaystyle I_{k}=\sum _{i=1,2,\ldots ,N}I_{ki}}$

dónde${\displaystyle I_{ki}}$es la corriente del autobús${\displaystyle k}$al autobús${\displaystyle i}$para${\displaystyle k\neq i}$y${\displaystyle I_{kk}}$es la corriente del autobús${\displaystyle k}$a tierra a través de la carga del bus. Aplicando la ley de Ohm al diagrama de admitancia, las tensiones del bus y las corrientes de línea y de carga están relacionadas por la siguiente relación:

${\displaystyle I_{ki}={\begin{cases}V_{k}{y_{k}},&{\mbox{si}}\quad i=k\\(V_{k}-V_{i})y_{ki},&{\mbox{si}}\quad i\neq k.\end{cases}}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle I_{k}=\sum _{i=1,2,\ldots ,N \atop i\neq k}{(V_{k}-V_{i})y_{ki}}+V_{k}y_{k}=V_{k}\left(y_{k}+\sum _{i=1,2,\ldots ,N \atop i\neq k}y_{ki}\right)-\sum _{i=1,2,\ldots ,N \atop i\neq k}V_{i}y_{ki}}$

Esta relación se puede escribir de forma concisa en forma matricial utilizando la matriz de admitancia. La matriz de admitancia nodal${\displaystyle Y}$es un${\displaystyle N\times N}$matriz tal que la tensión del bus y la inyección de corriente satisfagan la ley de Ohm

${\displaystyle YV=I}$

en formato vectorial. Las entradas de${\displaystyle Y}$Luego se determinan mediante las ecuaciones para las inyecciones de corriente en los buses, lo que resulta en

${\displaystyle Y_{kj}={\begin{cases}y_{k}+\sum _{i=1,2,\ldots ,N \atop i\neq k}{y_{ki}},&{\mbox{si}}\quad k=j\\-y_{kj},&{\mbox{si}}\quad k\neq j.\end{cases}}}$

Como ejemplo, consideremos el diagrama de admitancia de una red de tres barras completamente conectada de la figura 1. La matriz de admitancia derivada de la red de tres barras de la figura es:

${\displaystyle Y={\begin{pmatrix}y_{1}+y_{12}+y_{13}&-y_{12}&-y_{13}\\-y_{12}&y_{2}+y_{12}+y_{23}&-y_{23}\\-y_{13}&-y_{23}&y_{3}+y_{13}+y_{23}\\\end{pmatrix}}}$

Las entradas diagonales${\displaystyle Y_{11},Y_{22},...,Y_{nn}}$Se denominan auto-admitancia de los nodos de la red. Las entradas no diagonales son las admitancias mutuas de los nodos correspondientes a los subíndices de la entrada. La matriz de admitancia${\displaystyle Y}$es típicamente una matriz simétrica como${\displaystyle Y_{ki}=Y_{ik}}$Sin embargo, las extensiones del modelo de línea pueden hacer${\displaystyle Y}$asimétrico. Por ejemplo, el modelado de transformadores de desplazamiento de fase da como resultado una matriz de admitancia hermitiana . ^{[ 2 ]}

La matriz de admitancia se utiliza con mayor frecuencia en la formulación del problema de flujo de potencia . ^{[ 3 ] [ 4 ]}

• Parámetros de admitancia
• Análisis nodal
• Zbus

• Programa y código fuente en AC/C++ para el cálculo de matrices Ybus y Zbus.