Octacubo (escultura)

Los sólidos platónicos son figuras tridimensionales con una simetría especial y elevada. Representan un nivel dimensional superior al de los polígonos regulares bidimensionales (cuadrados, triángulos equiláteros, etc.). Los cinco sólidos platónicos son el tetraedro (4 caras), el cubo (6 caras), el octaedro (8 caras), el dodecaedro (12 caras) y el icosaedro (20 caras). Se conocen desde la época de los antiguos griegos y se valoran por su atractivo estético y su significado filosófico, incluso místico. (Véase también el Timeo , un diálogo de Platón ).

En dimensiones superiores, los contrapartes de los sólidos platónicos son los politopos regulares . Estas formas fueron descritas por primera vez a mediados del siglo XIX por el matemático suizo Ludwig Schläfli . En cuatro dimensiones, existen seis de ellos : el pentacorón ( de 5 celdas ), el teseracto ( de 8 celdas ), el hexadecacorón ( de 16 celdas ), el icositetracorón ( de 24 celdas , aquí llamado octacubo), el hecatonicosacorón ( de 120 celdas ) y el hexacosicocorón ( de 600 celdas ).

El poliedro de 24 celdas consta de 24 octaedros unidos en un espacio de cuatro dimensiones. Su vértice (la figura tridimensional que se forma al recortar una esquina de cuatro dimensiones) es un cubo. A pesar de su nombre sugerente, el octacubo no es el análogo en cuatro dimensiones ni del octaedro ni del cubo. De hecho, es el único de los seis politopos regulares de cuatro dimensiones que carece de un sólido platónico correspondiente. ^{[ nota 1 ]}

Ocneanu explica el desafío conceptual de trabajar en la cuarta dimensión: ^{[ 1 ]} "Aunque los matemáticos pueden trabajar con una cuarta dimensión de forma abstracta añadiendo una cuarta coordenada a las tres que usamos para describir un punto en el espacio, una cuarta dimensión espacial es difícil de visualizar".

Aunque es imposible ver o crear objetos tetradimensionales, es posible representarlos en dimensiones inferiores para obtener una idea aproximada de ellos. Una analogía para convertir el modelo tetradimensional de 24 celdas en su escultura tridimensional es la proyección cartográfica , donde la superficie de la Tierra tridimensional (o un globo terráqueo) se reduce a un plano bidimensional (un mapa portátil). Esto se logra proyectando la sombra del globo sobre el mapa o mediante alguna transformación matemática. Existen muchos tipos diferentes de proyección cartográfica: la conocida proyección rectangular de Mercator (utilizada para la navegación), la gnomónica circular (la primera proyección inventada) y varias otras. Todas ellas tienen limitaciones, ya que muestran algunas características de forma distorsionada —«no se puede aplanar una cáscara de naranja sin dañarla»—, pero son útiles como ayudas visuales y referencias prácticas.

De la misma manera que el exterior de la Tierra es una piel bidimensional (doblada hacia la tercera dimensión), el exterior de una forma tetradimensional es un espacio tridimensional (pero plegado a través del hiperespacio, la cuarta dimensión). Sin embargo, así como la superficie del globo terráqueo no puede proyectarse sobre un plano sin ciertas distorsiones, tampoco puede hacerlo la forma tridimensional exterior de la hiperforma tetradimensional de 24 celdas. En la imagen de la derecha, se muestra una hiperforma de 24 celdas proyectada en el espacio como un objeto tridimensional (y luego la imagen es una representación bidimensional de la misma, con perspectiva para facilitar la percepción visual). Algunas de las distorsiones:

• Líneas de borde curvas: estas son rectas en cuatro dimensiones, pero la proyección en una dimensión inferior hace que parezcan curvas (efectos similares ocurren al cartografiar la Tierra).
• Es necesario utilizar caras semitransparentes debido a la complejidad del objeto, para que se vean las numerosas "cajas" (celdas octaédricas).
• Solo se ven claramente 23 celdas. La celda número 24 es el "afuera hacia adentro", todo el espacio exterior que rodea al objeto visto en tres dimensiones.

Para representar la estructura de 24 celdas, Ocneanu utiliza una proyección relacionada que denomina proyección estereográfica radial con ventana . Al igual que en la proyección estereográfica, se muestran líneas curvas en el espacio tridimensional. En lugar de utilizar superficies semitransparentes, se realizan "ventanas" en las caras de las celdas para que se puedan ver las celdas interiores. Además, solo hay 23 vértices físicos. El vértice 24 "aparece en el infinito" debido a la proyección; lo que se ve son las 8 piernas y brazos de la escultura que divergen hacia afuera desde el centro de la escultura tridimensional. ^{[ 1 ]}

La escultura Octacube tiene una simetría muy alta. La estructura de acero inoxidable tiene el mismo grado de simetría que un cubo o un octaedro. La obra de arte puede visualizarse en relación con un cubo: los brazos y las piernas de la estructura se extienden hasta las esquinas. Imaginar un octaedro es más difícil; implica pensar en las caras del cubo visualizado formando las esquinas de un octaedro. El cubo y el octaedro tienen el mismo grado y tipo de simetría: simetría octaédrica , llamada Oh ₍ orden 48) en notación matemática. Algunos, pero no todos, de los elementos de simetría son

• Tres ejes de rotación cuádruples diferentes (uno a través de cada par de caras opuestas del cubo visualizado): arriba/abajo, adentro/afuera e izquierda/derecha, como se ve en la fotografía.
• 4 ejes de rotación triples diferentes (uno a través de cada par de esquinas opuestas del cubo [a lo largo de cada par de brazos/piernas opuestos])
• 6 ejes de rotación dobles diferentes (uno que pasa por el punto medio de cada arista opuesta del cubo visualizado)
• 9 planos de simetría que bisecan el cubo visualizado
  • 3 que lo cortan arriba/abajo, izquierda/derecha y adelante/atrás. Estos espejos representan su subsimetría diedral reflectiva D _2h , orden 8 (una simetría subordinada de cualquier objeto con simetría octaédrica).
  • 6 que recorren las diagonales de las caras opuestas del cubo visualizado (estas recorren conjuntos dobles de pares brazo-pierna). Estos espejos representan su subsimetría tetraédrica reflectante T _d , orden 24 (una simetría subordinada de cualquier objeto con simetría octaédrica).

Utilizando los puntos centrales de la sala, la escultura representa los sistemas radiculares de tipo D4, B4=C4 y F4, es decir, todos los de 4 dimensiones distintos de A4. Permite visualizar la proyección de D4 sobre B3 y de D4 sobre G2.

Muchas moléculas poseen la misma simetría que la escultura Octacube . El cubano (C₈H₈ ₎ , una molécula orgánica _, es un ejemplo. Los brazos y las piernas de la escultura se asemejan a los átomos de hidrógeno que se proyectan hacia afuera. El hexafluoruro de azufre (o cualquier molécula con geometría molecular octaédrica exacta ) también comparte esta simetría, aunque el parecido no es tan marcado.

El Octacubo también muestra paralelismos con conceptos de la física teórica. Su creador, Ocneanu, investiga aspectos matemáticos de la teoría cuántica de campos (TCC). El ganador de la Medalla Fields , Ed Witten , describió este tema como el área más difícil de la física. ^{[ 2 ]} Parte del trabajo de Ocneanu consiste en construir modelos teóricos, e incluso físicos, de las características de simetría en la TCC. Ocneanu cita la relación entre las mitades interna y externa de la estructura como análoga a la relación entre partículas de espín 1/2 (por ejemplo, electrones ) y partículas de espín 1 (por ejemplo, fotones ). ^{[ 1 ]}