Matriz de Cartan

En matemáticas , el término matriz de Cartan tiene tres significados. Todos ellos reciben su nombre del matemático francés Élie Cartan . Curiosamente, las matrices de Cartan en el contexto de las álgebras de Lie fueron investigadas por primera vez por Wilhelm Killing , mientras que la formulación de Killing se debe a Cartan.

Una matriz de Cartan generalizada (simetrizable) es una matriz cuadrada.${\displaystyle A=(a_{ij})}$con entradas enteras tales que

1. Para entradas diagonales,${\displaystyle a_{ii}=2}$.
2. Para entradas no diagonales,${\displaystyle a_{ij}\leq 0}$.
3. ${\displaystyle a_{ij}=0}$si y solo si${\displaystyle a_{ji}=0}$
4. ${\displaystyle A}$se puede escribir como${\displaystyle DS}$, dónde${\displaystyle D}$es una matriz diagonal y${\displaystyle S}$es una matriz simétrica .

Por ejemplo, la matriz de Cartan para G ₂ se puede descomponer de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-3\\-1&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&-1\\-1&2\end{bmatrix}}.}$

La tercera condición no es independiente, sino que es realmente una consecuencia de la primera y la cuarta condición.

Siempre podemos elegir una D con entradas diagonales positivas. En ese caso, si S en la descomposición anterior es definida positiva , entonces se dice que A es una matriz de Cartan .

La matriz de Cartan de un álgebra de Lie simple es la matriz cuyos elementos son los productos escalares.

${\displaystyle a_{ji}=2{(r_{i},r_{j}) \over (r_{j},r_{j})}}$^{[ 1 ]}

(a veces llamados enteros de Cartan ) donde r _i son las raíces simples del álgebra. Las entradas son enteras a partir de una de las propiedades de las raíces . La primera condición se deduce de la definición, la segunda del hecho de que para${\displaystyle i\neq j,r_{j}-{2(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}r_{i}}$es una raíz que es una combinación lineal de las raíces simples r _i y r _j con un coeficiente positivo para r _j y, por lo tanto, el coeficiente para r _i tiene que ser no negativo. La tercera es cierta porque la ortogonalidad es una relación simétrica. Y por último, sea${\displaystyle D_{ij}={\delta _{ij} \over (r_{i},r_{i})}}$y${\displaystyle S_{ij}=2(r_{i},r_{j})}$. Debido a que las raíces simples abarcan un espacio euclidiano , S es definida positiva.

Por el contrario, dada una matriz de Cartan generalizada, se puede recuperar su álgebra de Lie correspondiente. ( Para más detalles, véase el álgebra de Kac-Moody ).

En la teoría de la representación modular , y más generalmente en la teoría de las representaciones de álgebras asociativas de dimensión finita A que no son semisimples , una matriz de Cartan se define considerando un conjunto (finito) de módulos principales indescomponibles y escribiendo series de composición para ellos en términos de módulos irreducibles , lo que produce una matriz de enteros que cuenta el número de ocurrencias de un módulo irreducible.

En la teoría M , se puede considerar una geometría con dos ciclos que se intersecan entre sí en un número finito de puntos, en el límite donde el área de los dos ciclos tiende a cero. En este límite, aparece un grupo de simetría local . Se conjetura que la matriz de números de intersección de una base de los dos ciclos es la matriz de Cartan del álgebra de Lie de este grupo de simetría local. ^{[ 3 ]}

Esto se puede explicar de la siguiente manera. En la teoría M, existen solitones que son superficies bidimensionales llamadas membranas o 2-branas . Una 2-brana tiene una tensión y, por lo tanto, tiende a contraerse, pero puede envolver un ciclo de orden dos, lo que le impide contraerse hasta cero.

Se puede compactificar una dimensión compartida por todos los ciclos de dos elementos y sus puntos de intersección, y luego tomar el límite donde esta dimensión se reduce a cero, obteniendo así una reducción dimensional sobre dicha dimensión. Entonces se obtiene la teoría de cuerdas de tipo IIA como límite de la teoría M, con 2-branas que envuelven un ciclo de dos elementos ahora descrito por una cuerda abierta extendida entre D-branas . Existe un grupo de simetría local U(1) para cada D-brana, que se asemeja al grado de libertad de moverla sin cambiar su orientación. El límite donde los ciclos de dos elementos tienen área cero es el límite donde estas D-branas se superponen, de modo que se obtiene un grupo de simetría local ampliado.

Ahora bien, una cuerda abierta extendida entre dos D-branas representa un generador de álgebra de Lie, y el conmutador de dos de estos generadores es un tercero, representado por una cuerda abierta que se obtiene al unir las aristas de dos cuerdas abiertas. Esta última relación entre diferentes cuerdas abiertas depende de la forma en que las 2-branas pueden intersecarse en la teoría M original, es decir, en los números de intersección de los ciclos de dos elementos. Por lo tanto, el álgebra de Lie depende completamente de estos números de intersección. La relación precisa con la matriz de Cartan se debe a que esta última describe los conmutadores de las raíces simples , que están relacionadas con los ciclos de dos elementos en la base elegida.

En la subálgebra de Cartan, los generadores están representados por cadenas abiertas que se extienden entre una D-brana y ella misma.

• Diagrama de Dynkin
• Álgebra de Jordan excepcional
• Representación fundamental
• Forma asesina
• Grupo Simple Lie

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación: Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  129. Springer-Verlag. p.  334. ISBN 0-387-97495-4.
• Humphreys, James E. (1972). Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  9. Springer-Verlag. pp. 55–56 . doi : 10.1007/978-1-4612-6398-2 . ISBN  0-387-90052-7.
• Kac, Victor G. (1990). Álgebras de Lie de dimensión infinita (3.ª  ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46693-6..

• "Matriz de Cartan" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Matriz de Cartan" . MathWorld .