Grassmanniano afín

En matemáticas , la grassmanniana afín de un grupo algebraico G sobre un cuerpo k es un ind-esquema —un colímite de esquemas de dimensión finita— que puede pensarse como una variedad de banderas para el grupo de lazos G ( k (( t ))) y que describe la teoría de representación del grupo dual de Langlands ^L G a través de lo que se conoce como la correspondencia geométrica de Satake .

Sea k un cuerpo, y denotemos por${\displaystyle k{\text{-Alg}}}$y${\displaystyle \mathrm {Establecer} }$la categoría de k -álgebras conmutativas y la categoría de conjuntos respectivamente. Mediante el lema de Yoneda , un esquema X sobre un cuerpo k está determinado por su functor de puntos , que es el functor${\displaystyle X:k{\text{-Alg}}\to \mathrm {Set} }$que transforma A en el conjunto X ( A ) de los puntos A de X. Decimos entonces que este functor es representable mediante el esquema X. El grassmanniano afín es un functor de k -álgebras a conjuntos que no es representable en sí mismo, pero que tiene una filtración por functores representables. Como tal, aunque no es un esquema, puede considerarse como una unión de esquemas, y esto basta para aplicar de forma definitiva métodos geométricos para estudiarlo.

Sea G un grupo algebraico sobre k . El grassmanniano afín Gr _G es el functor que asocia a un k -álgebra A el conjunto de clases de isomorfismo de pares ( E , φ ), donde E es un espacio homogéneo principal para G sobre Spec A [[t]] y φ es un isomorfismo, definido sobre Spec A (( t )), de E con el G -fibrado trivial G × Spec A (( t )). Por el teorema de Beauville-Laszlo , también es posible especificar estos datos fijando una curva algebraica X sobre k , un k -punto x en X , y tomando E como un G -fibrado en X _A y φ una trivialización en ( X  − x ) _A . Cuando G es un grupo reductivo , Gr _G es de hecho ind-proyectivo, es decir, un límite inductivo de esquemas proyectivos. 

Denotemos por${\displaystyle {\mathcal {K}}=k((t))}$el campo de series formales de Laurent sobre k y por${\displaystyle {\mathcal {O}}=k[[t]]}$el anillo de series de potencias formales sobre k . Al elegir una trivialización de E sobre todo${\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}}$, el conjunto de k puntos de Gr _G se identifica con el espacio de clases laterales${\displaystyle G({\mathcal {K}})/G({\mathcal {O}})}$.

• Alexander Schmitt (11 de agosto de 2010). Variedades de banderas afines y haces principales . Springer. págs. 3–6 . ISBN  978-3-0346-0287-7Consultado el 1 de noviembre de 2012 .