Teorema de Agnew

El teorema de Agnew , propuesto por el matemático estadounidense Ralph Palmer Agnew , caracteriza las reordenaciones de términos de series infinitas que preservan la convergencia para todas las series. ^{[ 1 ]}

Lo llamamos permutación.${\displaystyle p:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$una permutación de Agnew ^{[ a ]} ​​si existe${\displaystyle K\in \mathbb {N} }$de tal manera que cualquier intervalo que comience con 1 es mapeado por p a una unión de como máximo K intervalos, es decir,${\textstyle \exists K\in \mathbb {N} \,:\;\forall n\in \mathbb {N} \;\;\#_{[\,]}(p([1,\,n]))\leq K\,}$, dónde${\displaystyle \#_{[\,]}}$cuenta el número de intervalos.

Teorema de Agnew. ${\displaystyle p}$es una permutación de Agnew${\displaystyle \iff }$para todas las series convergentes de términos reales o complejos${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\,}$, la serie${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{p(i)}}$converge a la misma suma. ^{[ 2 ]}

Corolario 1. ${\displaystyle p^{-1}}$(el inverso de${\displaystyle p}$) es una permutación de Agnew${\displaystyle \implies }$para todas las series divergentes de términos reales o complejos${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\,}$, la serie${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{p(i)}}$diverge. ^{[ b ]}

Corolario 2. ${\displaystyle p}$y${\displaystyle p^{-1}}$son permutaciones de Agnew${\displaystyle \implies }$para todas las series de términos reales o complejos${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\,}$, el tipo de convergencia de la serie${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{p(i)}}$es lo mismo. ^{[ c ] [ b ]}

El teorema de Agnew es útil cuando la convergencia de${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$Ya se ha establecido que cualquier permutación de Agnew puede utilizarse para reorganizar sus términos manteniendo la convergencia a la misma suma.

El corolario 2 es útil cuando el tipo de convergencia de${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$es desconocido: el tipo de convergencia de${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{p(i)}}$es la misma que la de la serie original.

Una clase importante de permutaciones son las composiciones infinitas de permutaciones.${\displaystyle p=\cdots \circ p_{k}\circ \cdots \circ p_{1}}$en la que cada permutación constituyente${\displaystyle p_{k}}$actúa únicamente en su intervalo correspondiente.${\displaystyle [g_{k}+1,\,g_{k+1}]}$(con${\displaystyle g_{1}=0}$). Desde${\displaystyle p([1,\,n])=[1,\,g_{k}]\cup p_{k}([g_{k}+1,\,n])}$para${\displaystyle g_{k}+1\leq n<g_{k+1}}$, solo necesitamos considerar el comportamiento de${\displaystyle p_{k}}$como${\displaystyle n}$aumenta.