Rectángulo de Ailles

El rectángulo de Ailles es un rectángulo construido a partir de cuatro triángulos rectángulos que se utiliza comúnmente en clases de geometría para encontrar los valores de las funciones trigonométricas de 15° y 75°. ^[1] Lleva el nombre de Douglas S. Ailles, quien era profesor de secundaria en el Kipling Collegiate Institute en Toronto . ^{[2] [3]}

Un triángulo de 30°–60°–90° tiene lados de longitud 1, 2 y . Cuando dos de estos triángulos se colocan en las posiciones que se muestran en la ilustración, el rectángulo más pequeño que puede encerrarlos tiene ancho y altura . Trazar una línea que conecte las esquinas superiores de los triángulos originales crea un triángulo de 45°–45°–90° entre los dos, con lados de longitudes 2, 2 y (según el teorema de Pitágoras ) . El espacio restante en la parte superior del rectángulo es un triángulo rectángulo con ángulos agudos de 15° y 75° y lados de , , y . ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle 1+{\sqrt {3}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}-1}$${\displaystyle {\sqrt {3}}+1}$${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$

De la construcción del rectángulo se deduce que

${\displaystyle \sin 15^{\circ }=\cos 75^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}},}$

${\displaystyle \sin 75^{\circ }=\cos 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}},}$

${\displaystyle \tan 15^{\circ}=\cot 75^{\circ}={\frac {{\sqrt {3}}-1}{{\sqrt {3}}+1}}={\frac {({\sqrt {3}}-1)^{2}}{3-1}}=2-{\sqrt {3}},}$

y

${\displaystyle \tan 75^{\circ}=\cot 15^{\circ}={\frac {{\sqrt {3}}+1}{{\sqrt {3}}-1}}={\frac {({\sqrt {3}}+1)^{2}}{3-1}}=2+{\sqrt {3}}.}$

Una construcción alternativa (también de Ailles) coloca un triángulo de 30°–60°–90° en el medio con lados de , , y . Sus catetos son cada uno la hipotenusa de un triángulo de 45°–45°–90°, uno con catetos de longitud y otro con catetos de longitud . ^{[4] [5]} El triángulo de 15°–75°–90° es el mismo que el anterior. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {6}}}$${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$${\estilo de visualización 1}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

• Valores trigonométricos exactos