Funciones del estrés

En elasticidad lineal , las ecuaciones que describen la deformación de un cuerpo elástico sujeto únicamente a fuerzas superficiales (o fuerzas de cuerpo que podrían expresarse como potenciales) en el límite son (usando notación de índices ) la ecuación de equilibrio:

${\displaystyle \sigma _{ij,i}=0\,}$

dónde${\displaystyle \sigma }$es el tensor de tensiones y las ecuaciones de compatibilidad de Beltrami-Michell:

${\displaystyle \sigma _{ij,kk}+{\frac {1}{1+\nu }}\sigma _{kk,ij}=0}$

Una solución general de estas ecuaciones puede expresarse en términos del tensor de tensiones de Beltrami . Las funciones de tensión se derivan como casos particulares de este tensor de Beltrami, que, si bien es menos general, a veces proporciona un método de solución más manejable para las ecuaciones elásticas.

Se puede demostrar ^{[ 1 ]} que una solución completa a las ecuaciones de equilibrio se puede escribir como

${\displaystyle \sigma =\nabla \times \Phi \times \nabla }$

Utilizando la notación de índices:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\varepsilon _{ikm}\varepsilon _{jln}\Phi _{kl,mn}}$

dónde${\displaystyle \Phi _{mn}}$es un campo tensorial de segundo rango simétrico pero por lo demás arbitrario que es al menos dos veces diferenciable , y se conoce como el tensor de tensión de Beltrami . ^{[ 1 ]} Sus componentes se conocen como funciones de tensión de Beltrami .${\displaystyle \varepsilon }$es el pseudotensor de Levi-Civita , con todos los valores iguales a cero excepto aquellos en los que los índices no se repiten. Para un conjunto de índices no repetidos, el valor del componente será +1 para permutaciones pares de los índices y -1 para permutaciones impares. Y${\displaystyle \nabla }$es el operador Nabla . Para que el tensor de tensiones de Beltrami satisfaga las ecuaciones de compatibilidad de Beltrami-Michell además de las ecuaciones de equilibrio, se requiere además que${\displaystyle \Phi _{mn}}$es al menos cuatro veces continuamente diferenciable.

Las funciones de tensión de Maxwell se definen asumiendo que el tensor de tensión de Beltrami${\displaystyle \Phi _{mn}}$está restringido a ser de la forma. ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \Phi _{ij}={\begin{bmatrix}A&0&0\\0&B&0\\0&0&C\end{bmatrix}}}$

El tensor de tensiones que obedece automáticamente la ecuación de equilibrio se puede escribir ahora como: ^{[ 2 ]}

La solución al problema elastostático consiste ahora en encontrar las tres funciones de tensión que dan un tensor de tensión que obedece las ecuaciones de compatibilidad de Beltrami-Michell para la tensión. Sustituyendo las expresiones para la tensión en las ecuaciones de Beltrami-Michell se obtiene la expresión del problema elastostático en términos de las funciones de tensión: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \nabla ^{4}A+\nabla ^{4}B+\nabla ^{4}C=3\left({\frac {\partial ^{2}A}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}C}{\partial z^{2}}}\right)/(2-\nu ),}$

Estos también deben generar un tensor de tensiones que cumpla con las condiciones de contorno especificadas.

La función de tensión de Airy es un caso especial de las funciones de tensión de Maxwell, en el que se supone que A=B=0 y C es una función solo de x e y. ^{[ 2 ]} Por lo tanto, esta función de tensión solo se puede utilizar para problemas bidimensionales. En la literatura sobre elasticidad, la función de tensión${\displaystyle C}$suele estar representado por${\displaystyle \varphi }$y las tensiones se expresan como

${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}~;~~\sigma _{y}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}~;~~\sigma _{xy}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial y}}-(f_{x}y+f_{y}x)}$

Dónde${\displaystyle f_{x}}$y${\displaystyle f_{y}}$son valores de las fuerzas del cuerpo en la dirección correspondiente.

En coordenadas polares las expresiones son:

${\displaystyle \sigma _{rr}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \theta ^{2}}}~;~~\sigma _{\theta \theta }={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial r^{2}}}~;~~\sigma _{r\theta }=\sigma _{\theta r}=-{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \theta }}\right)}$

Las funciones de tensión de Morera se definen asumiendo que el tensor de tensión de Beltrami${\displaystyle \Phi _{mn}}$El tensor está restringido a tener la forma ^{[ 2 ].}

${\displaystyle \Phi _{ij}={\begin{bmatrix}0&C&B\\C&0&A\\B&A&0\end{bmatrix}}}$

La solución al problema elastostático consiste ahora en encontrar las tres funciones de tensión que dan un tensor de tensión que obedece las ecuaciones de compatibilidad de Beltrami-Michell. Sustituyendo las expresiones de la tensión en las ecuaciones de Beltrami-Michell se obtiene la expresión del problema elastostático en términos de las funciones de tensión: ^{[ 4 ]}

La función de tensión de Prandtl es un caso especial de las funciones de tensión de Morera, en la que se supone que A=B=0 y C es una función solo de x e y. ^{[ 4 ]}

• Elasticidad (física)
• Módulo de elasticidad
• Teoría de la deformación infinitesimal
• elasticidad lineal
• Mecánica de sólidos
• Estrés (mecánica)

• Sadd, Martin H. (2005). Elasticidad: teoría, aplicaciones y métodos numéricos . Nueva York: Elsevier Butterworth-Heinemann. ISBN 0-12-605811-3OCLC 162576656​​ 
• Knops, RJ (1958). "Sobre la variación del coeficiente de Poisson en la solución de problemas elásticos". The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics . 11 (3). Oxford University Press: 326– 350. doi : 10.1093/qjmam/11.3.326 .