Aizik Volpert

Vol'pert desarrolló un algoritmo eficaz para calcular el índice de un problema elíptico antes de que apareciera el teorema del índice de Atiyah-Singer : ^{[ 10 ]} También fue el primero en demostrar que el índice de un operador matricial singular puede ser distinto de cero. ^{[ 11 ]}

Fue uno de los principales contribuyentes a la teoría de las funciones BV : introdujo el concepto de superposición funcional , que le permitió construir un cálculo para dichas funciones y aplicarlo en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales . ^{[ 12 ]} Precisamente, dada una función continuamente diferenciable${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R} }$y una función de variación acotada${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=(u_{1}({\boldsymbol {x}}),\ldots ,u_{p}({\boldsymbol {x}}))}$con${\displaystyle {\boldsymbol {x}}\in {\mathbb {R}}^{n}}$y${\displaystyle n\geq 1}$, él demuestra que${\displaystyle f\circ {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}$es nuevamente una función de variación acotada y se cumple la siguiente fórmula de la regla de la cadena : ^{[ 13 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial f({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}{\partial x_{i}}}=\sum _{k=1}^{p}{\frac {\partial {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial {u_{k}({\boldsymbol {x}})}}{\partial x_{i}}}\qquad \forall i=1,\ldots ,n}$

dónde${\displaystyle {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}$es la superposición funcional ya citada de ${\displaystyle f}$y${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$. Utilizando sus resultados, es fácil demostrar que las funciones de variación acotada forman un álgebra de funciones discontinuas : en particular, utilizando su cálculo para${\displaystyle n=1}$, es posible definir el producto${\displaystyle H\cdot \delta }$de la función escalón de Heaviside${\displaystyle H(x)}$y la distribución de Dirac${\displaystyle \delta (x)}$en una variable . ^{[ 14 ]}

Su trabajo sobre cinética química e ingeniería química lo llevó a definir y estudiar ecuaciones diferenciales en gráficos . ^{[ 15 ]}

• Hudjaev, Sergei Ivanovich; Vol'pert, Aizik Isaakovich (1985), Análisis en clases de funciones discontinuas y ecuaciones de física matemática , Mecánica: análisis, vol.  8, Dordrecht – Boston – Lancaster: Martinus Nijhoff Publishers , págs.  xviii + 678, ISBN 90-247-3109-7, MR 0785938 , Zbl 0564.46025  . Uno de los mejores libros sobre funciones BV y su aplicación a problemas de física matemática , en particular cinética química .
• Vol'pert, Aizik I.; Vol'pert, Vitaly A.; Vol'pert, Vladimir A. (1994), Soluciones de ondas viajeras de sistemas parabólicos , Traducciones de monografías matemáticas, vol.  140, Providence, RI : American Mathematical Society , pp.  xii+448, ISBN 0-8218-3393-6, MR 1297766 , Zbl 1001.35060  .

• Vol'pert, Aizik Isaakovich (1967),Пространства BV и квазилинейные уравнени, Matematicheskii Sbornik , (NS) (en ruso), 73(115) (2): 255– 302, MR 0216338 , Zbl 0168.07402  Un artículo fundamental donde se estudian exhaustivamente los conjuntos de Caccioppoli y las funciones BV , y se introduce el concepto de superposición funcional y se aplica a la teoría de ecuaciones diferenciales parciales : también se tradujo como Vol'Pert, AI (1967), "Espacios BV y ecuaciones cuasilineales", Matemáticas de la URSS-Sbornik , 2 (2): 225– 267, Bibcode : 1967SbMat...2..225V , doi : 10.1070/SM1967v002n02ABEH002340 , hdl : 10338.dmlcz/102500 , MR 0216338 , Zbl 0168.07402  .
• Vol'pert, Aizik Isaakovich (1972),Diferencias entre gráficos, Matematicheskii Sbornik , (NS) (en ruso), 88(130) (4(8)): 578– 588, MR 0316796 , Zbl 0242.35015  , traducido al inglés como Vol'Pert, AI (1972), "Ecuaciones diferenciales en gráficas" , Matemáticas de la URSS-Sbornik , 17 (4): 571– 582, Bibcode : 1972SbMat..17..571V , doi : 10.1070/SM1972v017n04ABEH001603 , Zbl 0255.35013 .
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• Vol'pert, AI (1976), "Métodos cualitativos de investigación de ecuaciones de cinética química", Preimpresión (en ruso), Instituto de Física Química, Chernogolovka.
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• Vol'pert, VA; Vol'pert, AI; Merzhanov, AG (1982b), "Análisis de modos de combustión no unidimensionales mediante métodos de teoría de bifurcación", Doklady Akademii Nauk SSSR (en ruso), 263 (4): 918– 921.
• Vol'pert, VA; Vol'pert, AI; Merzhanov, AG ( 1983), "Aplicación de la teoría de bifurcaciones al estudio de regímenes inestables de combustión", Fizika Goreniya i Vzryva (en ruso), 19 : 69–72, traducido al inglés como Vol'Pert, VA; Vol'Pert, AI; Merzhanov, AG (1983), "Aplicación de la teoría de bifurcaciones a la investigación de regímenes de combustión no estacionarios", Combustion, Explosion, and Shock Waves , 19 (4): 435– 438, Bibcode : 1983CESW...19..435V , doi : 10.1007/BF00783642 , S2CID 97950149 .
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• Vol'pert, VA; Vol'pert, AI (1998), "Inestabilidad convectiva de frentes de reacción: análisis de estabilidad lineal", European Journal of Applied Mathematics , 9 (5): 507– 525, doi : 10.1017/S095679259800357X , MR 1662311 , S2CID 121533943 , Zbl 0918.76027   .