La secuencia de Alcuino

En matemáticas , la sucesión de Alcuino , llamada así por Alcuino de York , es la sucesión de coeficientes del desarrollo en serie de potencias de: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\frac {x^{3}}{(1-x^{2})(1-x^{3})(1-x^{4})}}=x^{3}+x^{5}+x^{6}+2x^{7}+x^{8}+3x^{9}+\cdots .}$

La secuencia comienza con estos números enteros:

0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8, 12, 10, 14, 12, 16, 14, 19, 16, 21 (secuencia A005044 en el OEIS )

El n -ésimo término indexado desde cero, es decir, el coeficiente de${\displaystyle x^{n}}$en la serie de potencias, es el número de triángulos con lados enteros y perímetro n . ^{[ 1 ]} También es el número de triángulos con lados enteros distintos y perímetro n + 6, es decir, el número de ternas ( a , b , c ) tales que 1 ≤ a < b < c < a + b , a + b + c = n + 6.                       

Si se eliminan los tres ceros iniciales, entonces es el número de maneras en que n barriles vacíos, n barriles medio llenos de vino y n barriles llenos pueden distribuirse entre tres personas de tal manera que cada una reciba el mismo número de barriles y la misma cantidad de vino. Esta es la generalización del problema 12 que aparece en Propositiones ad Acuendos Juvenes ("Problemas para agudizar a los jóvenes"), generalmente atribuido a Alcuino. Ese problema se plantea como:

Problema 12: Un padre falleció y dejó como herencia a sus tres hijos 30 frascos de vidrio, de los cuales 10 estaban llenos de aceite, otros 10 medio llenos y otros 10 vacíos. Divide el aceite y los frascos de manera que los tres hijos reciban una parte igual de ambos bienes. ^{[ 2 ]}

En latín: " XII. Propositio de quodam paterfamilias et tribus filius eius  : Quidam paterfamilias moriens dimisit haereditatem tribus filiis suis, XXX ampullas uitreas, quarum decem fuerunt plenae oleo. Aliae decem dimidiae. Tertiae decem uacuae. Diuidat, qui potest, oleum et ampullas ut unicuique eorum de tribus filiis aequaliter obueniat tam de uitro, quam de oleo " ^{[ 3 ]}

El término «secuencia de Alcuino» puede remontarse al libro de D. Olivastro de 1993 sobre juegos matemáticos, Ancient Puzzles: Classical Brainteasers and Other Timeless Mathematical Games of the Last 10 Centuries (Bantam, Nueva York). ^{[ 4 ]}

La secuencia con los tres ceros iniciales eliminados es equivalentemente la secuencia de coeficientes de la expansión en serie de potencias de ^{[ 5 ] [ 6 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{(1-x^{2})(1-x^{3})(1-x^{4})}}=1+x^{2}+x^{3}+2x^{4}+x^{5}+3x^{6}+\cdots .}$

Esta secuencia también ha sido denominada secuencia de Alcuino por algunos autores. ^{[ 6 ]}