Número Aleph

En matemáticas , particularmente en la teoría de conjuntos , los números alef son una secuencia de números que se utilizan para representar la cardinalidad (o tamaño) de conjuntos infinitos . ^{[ a ]} ​​Fueron introducidos por el matemático Georg Cantor ^{[ 1 ]} y reciben su nombre del símbolo que utilizó para denotarlos, la letra hebrea alef (ℵ). ^{[ 2 ] [ b ]}

La cardinalidad más pequeña de un conjunto infinito es la de los números naturales , denotada por${\displaystyle \aleph _{0}}$(léase aleph-cero , aleph-cero o aleph-nulo ); la siguiente cardinalidad mayor de un conjunto bien ordenado es${\displaystyle \aleph _{1},}$entonces${\displaystyle \aleph _{2},}$entonces${\displaystyle \aleph _{3},}$y así sucesivamente. Siguiendo este procedimiento, es posible definir un número cardinal infinito.${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$para cada número ordinal${\displaystyle \alpha ,}$como se describe a continuación.

El concepto y la notación se deben a Georg Cantor , ^{[ 5 ]} quien definió la noción de cardinalidad y se dio cuenta de que los conjuntos infinitos pueden tener diferentes cardinalidades .

Los números aleph difieren del infinito (${\displaystyle \infty }$) comúnmente encontrados en álgebra y cálculo, en el sentido de que los alephs miden los tamaños de los conjuntos, mientras que el infinito se define comúnmente como un límite extremo de la recta numérica real (aplicado a una función o secuencia que " diverge al infinito" o "crece sin límite"), o como un punto extremo de la recta numérica real extendida .

${\displaystyle \aleph _{0}}$( aleph-cero , aleph-cero o aleph-nulo ) es la cardinalidad del conjunto de todos los números naturales y es un cardinal infinito . El conjunto de todos los ordinales finitos , llamado${\displaystyle \omega }$o${\displaystyle \omega _{0}}$(dónde${\displaystyle \omega }$es la letra griega minúscula omega ), también tiene cardinalidad${\displaystyle \aleph _{0}}$. Un conjunto tiene cardinalidad${\displaystyle \aleph _{0}}$Si y solo si es infinitamente numerable , es decir, existe una biyección (correspondencia biyectiva) entre él y los números naturales. Ejemplos de tales conjuntos son:

• el conjunto de los números naturales , independientemente de si se incluye o se excluye el cero,
• el conjunto de todos los números enteros ,
• cualquier subconjunto infinito de los enteros, como el conjunto de todos los números cuadrados o el conjunto de todos los números primos ,
• el conjunto de todos los números racionales ,
• el conjunto de todos los números construibles (en el sentido geométrico),
• el conjunto de todos los números algebraicos ,
• el conjunto de todos los números computables ,
• el conjunto de todas las funciones computables ,
• el conjunto de todas las cadenas binarias de longitud finita, y
• el conjunto de todos los subconjuntos finitos de cualquier conjunto infinito numerable dado.

Entre los conjuntos infinitos numerables se encuentran ciertos ordinales infinitos, ^{[ c ]} incluyendo, por ejemplo${\displaystyle \omega }$,${\displaystyle \omega +1}$,${\displaystyle \omega \cdot 2}$,${\displaystyle \omega ^{2}}$,${\displaystyle \omega ^{\omega }}$, y${\displaystyle \varepsilon _{0}}$. ^{[ 6 ]} Por ejemplo, la secuencia (con tipo de orden)${\displaystyle \omega \cdot 2}$) de todos los enteros impares positivos seguidos de todos los enteros pares positivos${\displaystyle \{1,3,5,7,9,\cdots ;2,4,6,8,10,\cdots \}}$es un buen ordenamiento del conjunto (con cardinalidad${\displaystyle \aleph _{0}}$) de enteros positivos.

Si se cumple el axioma de elección numerable (una versión más débil del axioma de elección ), entonces${\displaystyle \aleph _{0}}$es menor que cualquier otro cardinal infinito.

${\displaystyle \aleph _{1}}$es la cardinalidad del conjunto de todos los números ordinales contables . ^{[ 7 ]} Este conjunto se denota por${\displaystyle \omega _{1}}$(o a veces Ω). El conjunto${\displaystyle \omega _{1}}$es en sí mismo un número ordinal mayor que todos los números contables, por lo que es un conjunto no contable . Por lo tanto, ${\displaystyle \aleph _{1}}$es la cardinalidad más pequeña que es mayor que${\displaystyle \aleph _{0},}$la cardinalidad infinita más pequeña.

La definición de${\displaystyle \aleph _{1}}$implica (en ZF, teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección) que ningún número cardinal está entre${\displaystyle \aleph _{0}}$y${\displaystyle \aleph _{1}.}$Si se utiliza el axioma de elección , se puede demostrar además que la clase de números cardinales está totalmente ordenada y, por lo tanto,${\displaystyle \aleph _{1}}$es el segundo número cardinal infinito más pequeño. Se puede demostrar una de las propiedades más útiles del conjunto .${\displaystyle \omega _{1}}$: Cualquier subconjunto contable de${\displaystyle \omega _{1}}$tiene un límite superior en${\displaystyle \omega _{1}}$(esto se deduce del hecho de que la unión de un número contable de conjuntos contables es en sí misma contable). Este hecho es análogo a la situación en${\displaystyle \aleph _{0}}$Todo conjunto finito de números naturales tiene un máximo, que también es un número natural, y las uniones finitas de conjuntos finitos son finitas.

Un ejemplo de aplicación del ordinal${\displaystyle \omega _{1}}$es "cerrar" con respecto a operaciones de aridad numerable ; por ejemplo, intentar describir explícitamente el álgebra σ generada por una colección arbitraria de subconjuntos (véase, por ejemplo, la jerarquía de Borel ). Esto es más difícil que la mayoría de las descripciones explícitas de "generación" en álgebra ( espacios vectoriales , grupos , etc.) porque en esos casos solo tenemos que cerrar con respecto a operaciones finitas: sumas, productos, etc. El proceso implica definir, para cada ordinal numerable, mediante inducción transfinita , un conjunto "introduciendo" todas las posibles uniones y complementos numerables , y tomando la unión de todos los que sobre todos los${\displaystyle \omega _{1}.}$

La cardinalidad del conjunto de los números reales ( cardinalidad del continuo ) es 2.^{${\displaystyle \aleph _{0}}$}No se puede determinar a partir de ZFC ( teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel aumentada con el axioma de elección ) dónde encaja exactamente este número en la jerarquía de números aleph, pero se deduce de ZFC que la hipótesis del continuo (CH) es equivalente a la identidad

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$. ^{[ 8 ]}

El CH afirma que no existe ningún conjunto cuya cardinalidad se encuentre estrictamente entre la de los números naturales y la de los números reales. ^{[ 9 ]} El CH es independiente de ZFC: no puede probarse ni refutarse dentro del contexto de ese sistema axiomático (siempre que ZFC sea consistente ). Que el CH es consistente con ZFC fue demostrado por Kurt Gödel en 1940, cuando mostró que su negación no es un teorema de ZFC. Que es independiente de ZFC fue demostrado por Paul Cohen en 1963, cuando mostró, a la inversa, que el CH mismo no es un teorema de ZFC, utilizando el método (entonces novedoso) de forzamiento . ^{[ 8 ] [ 10 ]}

Aleph-omega es${\displaystyle \aleph _{\omega }=\aleph _{n}^{n\in \omega }=\aleph _{n}^{n\in \{0,1,2,\cdots \}}}$donde el ordinal infinito más pequeño se denota como${\displaystyle \omega }$. Es decir, el número cardinal${\displaystyle \aleph _{\omega }}$es el límite superior más bajo de${\displaystyle \aleph _{n}^{n\in \{0,1,2,\cdots \}}}$.

Notablemente,${\displaystyle \aleph _{\omega }}$es el primer número cardinal no numerable que se puede demostrar dentro de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que no es igual a la cardinalidad del conjunto de todos los números reales.${\displaystyle 2^{\aleph _ {0}}}$: Para cualquier número natural${\displaystyle n\geq 1}$, podemos asumir consistentemente que${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{n}}$y además es posible suponer que${\displaystyle 2^{\aleph _ {0}}}$es al menos tan grande como cualquier número cardinal que nos guste. La principal restricción que ZFC impone al valor de${\displaystyle 2^{\aleph _ {0}}}$es que no puede ser igual a ciertos cardinales especiales con cofinalidad${\displaystyle \aleph _{0}}$. Un cardinal infinito no numerable${\displaystyle \kappa }$tener cofinalidad${\displaystyle \aleph _{0}}$significa que hay una secuencia (de longitud contable)${\displaystyle \kappa _{0}\leq \kappa _{1}\leq \kappa _{2}\leq \cdots }$de cardenales${\displaystyle \kappa _ {i}<\kappa}$cuyo límite (es decir, su cota superior mínima) es${\displaystyle \kappa }$(véase el teorema de Easton ). Según la definición anterior,${\displaystyle \aleph _{\omega }}$es el límite de una secuencia de longitud contable de cardinales más pequeños.

Para definir${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$para un número ordinal arbitrario${\displaystyle \alpha }$, debemos definir la operación cardinal sucesora , que asigna a cualquier número cardinal${\displaystyle \rho }$el siguiente cardenal más grande y bien ordenado${\displaystyle \rho ^{+}}$(si se cumple el axioma de elección , este es el siguiente cardinal mayor (único)).

Podemos entonces definir los números aleph de la siguiente manera:

${\displaystyle \aleph _{0}=\omega }$

${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=(\aleph _{\alpha })^{+}}$

${\displaystyle \aleph _{\lambda }=\bigcup \{\aleph _{\alpha }|\alpha <\lambda \}}$para${\displaystyle \lambda }$un ordinal de límite infinito ,

El${\displaystyle \alpha }$-ésimo ordinal inicial infinito está escrito${\displaystyle \omega _ {\alpha }}$Su cardinalidad está escrita${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$.

Alternativamente, para cada cardinal infinito${\displaystyle \kappa }$que puede estar bien ordenado, un índice puede definirse como el ordinal del conjunto bien ordenado de todos los cardinales infinitos que preceden${\displaystyle \kappa }$Entonces se puede demostrar por inducción transfinita que si${\displaystyle \alpha }$en el índice de${\displaystyle \kappa }$entonces${\displaystyle \kappa =\aleph _{\alpha }}$

De manera informal, la función aleph${\displaystyle \aleph$ :{\text{On}}\rightarrow {\text{Cd}}} es una biyección de los ordinales a los cardinales infinitos que pueden estar bien ordenados. Formalmente, en ZFC ,${\displaystyle \aleph }$no es una función , sino una clase similar a una función, ya que no es un conjunto (debido a la paradoja de Burali-Forti ).

Para cualquier ordinal${\displaystyle \alpha }$tenemos${\displaystyle \alpha \leq \omega _{\alpha }}$.

En muchos casos${\displaystyle \omega _ {\alpha }}$es estrictamente mayor que α . Por ejemplo, es cierto para cualquier ordinal sucesor :${\displaystyle \alpha +1\leq \omega _{\alpha }<\omega _{\alpha +1}}$se cumple. Sin embargo, existen algunos ordinales límite que son puntos fijos de la función omega, debido al lema de punto fijo para funciones normales . El primero de ellos es el límite de la secuencia

${\displaystyle \omega ,\omega _{\omega },\omega _{\omega _{\omega }},\cdots }$

que a veces se denota${\textstyle \omega _{\omega _{\ddots }}}$.

Cualquier cardinal débilmente inaccesible es también un punto fijo de la función aleph. ^{[ 11 ]} Esto se puede demostrar en ZFC de la siguiente manera. Supongamos que${\displaystyle \kappa =\aleph _ {\lambda }}$es un cardinal débilmente inaccesible. Si${\displaystyle \lambda }$eran un ordinal sucesor , entonces${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$sería un cardinal sucesor y, por lo tanto, no débilmente inaccesible. Si${\displaystyle \lambda }$eran un límite ordinal menor que${\displaystyle \kappa }$entonces su cofinalidad (y por lo tanto la cofinalidad de${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$) sería menor que${\displaystyle \kappa }$y entonces${\displaystyle \kappa }$no sería regular y, por lo tanto, no débilmente inaccesible. Por lo tanto${\displaystyle \lambda \geq \kappa }$y, en consecuencia,${\displaystyle \lambda =\kappa}$, lo que lo convierte en un punto fijo.

La cardinalidad de cualquier número ordinal infinito es un número aleph. Todo aleph es la cardinalidad de algún ordinal. El menor de estos es su ordinal inicial . Cualquier conjunto cuya cardinalidad sea un aleph es equinumérico con un ordinal y, por lo tanto, es bien ordenable .

Cada conjunto finito es bien ordenable, pero no tiene aleph como su cardinalidad.

En ZF, la suposición de que la cardinalidad de cada conjunto infinito es un número aleph equivale a la existencia de un buen ordenamiento de cada conjunto, lo cual, a su vez, equivale al axioma de elección . La teoría de conjuntos ZFC, que incluye el axioma de elección, implica que cada conjunto infinito tiene un número aleph como su cardinalidad (es decir, es equinumérico con su ordinal inicial), y por lo tanto, los ordinales iniciales de los números aleph sirven como una clase de representantes para todos los posibles números cardinales infinitos.

Cuando se estudia la cardinalidad en ZF sin el axioma de elección, ya no es posible demostrar que cada conjunto infinito tiene algún número aleph como su cardinalidad; los conjuntos cuya cardinalidad es un número aleph son precisamente los conjuntos infinitos que pueden ser bien ordenados. El método del truco de Scott se utiliza a veces como una forma alternativa de construir representantes para números cardinales en el contexto de ZF. Por ejemplo, se puede definir${\displaystyle {\text{tarjeta}}(S)}$ser el conjunto de conjuntos con la misma cardinalidad que${\displaystyle S}$del rango mínimo posible. Esto tiene la propiedad de que${\displaystyle {\text{tarjeta}}(S)={\text{tarjeta}}(T)}$si y solo si${\displaystyle S}$y${\displaystyle T}$tienen la misma cardinalidad. (El conjunto${\displaystyle {\text{tarjeta}}(S)}$no tiene la misma cardinalidad de${\displaystyle S}$en general, pero todos sus elementos sí.)

• Número de Beth
• Función Gimel
• cardenal regular
• Infinidad
• Número transfinito
• Número ordinal

• "Aleph-zero" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Aleph-0" . MathWorld .