Subbase

En topología matemática, una subbase (o subbase , prebase , prebase ) para la topología τ de un espacio topológico ( X , τ) es una subcolección.${\displaystyle B}$de${\displaystyle \tau }$que genera${\displaystyle \tau ,}$en el sentido de que${\displaystyle \tau }$es la topología más pequeña que contiene${\displaystyle B}$como conjuntos abiertos. Algunos autores utilizan una definición ligeramente diferente, y existen otras formulaciones equivalentes útiles de la definición; estas se analizan a continuación.

El concepto de subbase es más débil que el de base para una topología.

Dejar${\displaystyle X}$ser un espacio topológico con topología${\displaystyle \tau .}$Una subbase de${\displaystyle \tau }$se define generalmente como una subcolección${\displaystyle B}$de${\displaystyle \tau }$que cumpla una de las tres condiciones equivalentes siguientes:

1. ${\displaystyle \tau }$es la topología más pequeña que contiene${\displaystyle B}$: cualquier topología${\displaystyle \tau ^{\prime }}$en${\displaystyle X}$que contiene${\displaystyle B}$También debe contener${\displaystyle \tau .}$
2. ${\displaystyle \tau }$es la intersección de todas las topologías en${\displaystyle X}$que contiene${\displaystyle B.}$
3. La colección de conjuntos abiertos que consta de${\displaystyle X}$y todas las intersecciones finitas de elementos de${\displaystyle B}$constituye una base para${\displaystyle \tau .}$^{[ 1 ] [ nota 1 ]} Esto significa que todoconjunto abiertoen${\displaystyle \tau }$se puede escribir como una unión de intersecciones finitas de elementos de${\displaystyle B.}$Explícitamente, dado un punto${\displaystyle x}$en un conjunto abierto${\displaystyle U\subsetneq X,}$Hay un número finito de conjuntos.${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}}$de${\displaystyle B,}$de tal manera que la intersección de estos conjuntos contiene${\displaystyle x}$y está contenido en${\displaystyle U.}$

Si además asumimos que${\displaystyle B}$cubiertas${\displaystyle X}$, o si usamos la convención de intersección nula , entonces no hay necesidad de incluir${\displaystyle X}$en la tercera definición.

Si${\displaystyle B}$es una subbase de${\displaystyle \tau }$, decimos que${\displaystyle B}$genera la topología${\displaystyle \tau .}$Esta terminología se origina a partir de la construcción explícita de${\displaystyle \tau }$de${\displaystyle B}$utilizando la segunda o tercera definición anterior.

Los elementos de una subbase se denominan conjuntos subbásicos (abiertos) . Una cubierta compuesta por conjuntos subbásicos se denomina cubierta subbásica (abierta) .

Para cualquier subcolección${\displaystyle S}$del conjunto de potencia${\displaystyle \wp (X),}$existe una topología única que tiene${\displaystyle S}$como una subbase; es la intersección de todas las topologías en${\displaystyle X}$que contiene${\displaystyle S}$En general, sin embargo, lo contrario no es cierto, es decir, no existe una subbase única para una topología dada.

Así, podemos partir de una topología fija y encontrar subbases para esa topología, y también podemos partir de una subcolección arbitraria del conjunto potencia.${\displaystyle \wp (X)}$y conforman la topología generada por esa subcolección. Podemos usar libremente cualquiera de las definiciones equivalentes anteriores; de hecho, en muchos casos, una de las tres condiciones es más útil que las demás.

La topología generada por cualquier subconjunto${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \{\varnothing ,X\}}$(incluyendo por el conjunto vacío${\displaystyle {\mathcal {S}}:=\varnothing }$) es igual a la topología trivial${\displaystyle \{\varnothing ,X\}.}$

Si${\displaystyle \tau }$es una topología en${\displaystyle X}$y${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es una base para${\displaystyle \tau }$luego la topología generada por${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es${\displaystyle \tau .}$Por lo tanto, cualquier base${\displaystyle {\mathcal {B}}}$para una topología${\displaystyle \tau }$es también una subbase para${\displaystyle \tau .}$ Si${\displaystyle {\mathcal {S}}}$es cualquier subconjunto de${\displaystyle \tau }$luego la topología generada por${\displaystyle {\mathcal {S}}}$será un subconjunto de${\displaystyle \tau .}$

La topología usual en los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$tiene una subbase que consiste en todos los intervalos abiertos semiinfinitos de la forma${\displaystyle (-\infty ,a)}$o${\displaystyle (b,\infty ),}$dónde${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son números reales. Juntos, estos generan la topología usual, ya que las intersecciones${\displaystyle (a,b)=(-\infty ,b)\cap (a,\infty )}$para${\displaystyle a\leq b}$generar la topología usual. Se forma una segunda subbase tomando la subfamilia donde${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son racionales . La segunda subbase también genera la topología habitual, ya que los intervalos abiertos${\displaystyle (a,b)}$con${\displaystyle a,}$${\displaystyle b}$Los modelos racionales son la base de la topología euclidiana habitual.

La subbase que consta de todos los intervalos abiertos semiinfinitos de la forma${\displaystyle (-\infty ,a)}$solo, donde${\displaystyle a}$es un número real, no genera la topología usual. La topología resultante no satisface el axioma de separación T ₁ , ya que si${\displaystyle a<b}$cada conjunto abierto que contiene${\displaystyle b}$también contiene${\displaystyle a.}$

La topología inicial en${\displaystyle X}$definido por una familia de funciones${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i},}$donde cada${\displaystyle Y_{i}}$tiene una topología, es la topología más gruesa en${\displaystyle X}$de tal manera que cada${\displaystyle f_{i}}$es continua . Debido a que la continuidad se puede definir en términos de las imágenes inversas de conjuntos abiertos, esto significa que la topología inicial en${\displaystyle X}$se da tomando todo${\displaystyle f_{i}^{-1}(U),}$ dónde${\displaystyle U}$abarca todos los subconjuntos abiertos de${\displaystyle Y_{i},}$como subbase.

Dos casos especiales importantes de la topología inicial son la topología de producto , donde la familia de funciones es el conjunto de proyecciones del producto a cada factor, y la topología de subespacio , donde la familia consta de una sola función, el mapa de inclusión .

La topología compacta-abierta en el espacio de funciones continuas desde${\displaystyle X}$a${\displaystyle Y}$tiene para una subbase el conjunto de funciones $${\displaystyle V(K,U)=\{f:X\to Y\mid f(K)\subseteq U\}}$$ dónde${\displaystyle K\subseteq X}$es compacto y${\displaystyle U}$es un subconjunto abierto de${\displaystyle Y.}$

Supongamos que${\displaystyle (X,\tau )}$es un espacio topológico de Hausdorff con${\displaystyle X}$que contiene dos o más elementos (por ejemplo,${\displaystyle X=\mathbb {R} }$con la topología euclidiana ).${\displaystyle Y\in \tau }$sea ​​cualquier subconjunto abierto no vacío de${\displaystyle (X,\tau )}$(Por ejemplo,${\displaystyle Y}$podría ser un intervalo abierto acotado no vacío en${\displaystyle \mathbb {R} }$) y deja${\displaystyle \nu }$denotemos la topología del subespacio en${\displaystyle Y}$eso${\displaystyle Y}$hereda de${\displaystyle (X,\tau )}$(entonces${\displaystyle \nu \subseteq \tau }$). Luego la topología generada por${\displaystyle \nu }$en${\displaystyle X}$es igual a la unión${\displaystyle \{X\}\cup \nu }$(véase la nota al pie para una explicación), ^{[ nota 2 ]} donde${\displaystyle \{X\}\cup \nu \subseteq \tau }$(desde${\displaystyle (X,\tau )}$es Hausdorff, la igualdad se mantendrá si y solo si${\displaystyle Y=X}$). Tenga en cuenta que si${\displaystyle Y}$es un subconjunto propio de${\displaystyle X,}$entonces${\displaystyle \{X\}\cup \nu }$es la topología más pequeña en${\displaystyle X}$que contiene${\displaystyle \nu }$todavía${\displaystyle \nu }$no cubre${\displaystyle X}$(es decir, la unión)${\displaystyle \bigcup _{V\in \nu }V=Y}$es un subconjunto propio de${\displaystyle X}$).

Una ventaja de las subbases es que la continuidad de una función solo necesita comprobarse en una subbase del rango. Es decir, si${\displaystyle f:X\to Y}$es un mapa entre espacios topológicos y si${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es una subbase para${\displaystyle Y,}$entonces${\displaystyle f:X\to Y}$es continua si y solo si${\displaystyle f^{-1}(B)}$está abierto en${\displaystyle X}$por cada${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$ Una red (o secuencia )${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$converge a un punto${\displaystyle x}$si y solo si cada vecindario subbásico de${\displaystyle x}$contiene todo${\displaystyle x_{i}}$para suficientemente grande${\displaystyle i\in I.}$

• Base (topología) – Colección de conjuntos abiertos que se utilizan para definir una topología. 

• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ] . Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. doi : 10.1007/978-3-642-61701-0 . ISBN 978-3-540-64241-1OCLC 18588129 .​ 
• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7OCLC 395340485​​ 
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• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5OCLC 21163277​​ 
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